专题06 统计（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦统计核心考点，整合黑龙江、吉林等地多所中学期末真题，通过古代数学典籍、奥运会数据、AI用户调查等情境，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|15题|分层抽样、数字特征、频率分布直方图|结合《九章算术》“米谷粒分”题考查分层抽样，用奥运会奖牌数计算百分位数| |填空题|10题|数字特征、分层抽样均值方差|通过5人投篮数据综合考查中位数、众数、百分位数| |多选题|7题|平均数方差性质、频率分布直方图|辨析频率分布直方图中平均数与中位数关系，结合实际数据判断统计结论| |解答题|11题|频率分布直方图应用、分层抽样方差|以AI用户年龄分布、外卖骑手单量为背景，考查直方图绘制、均值方差计算及概率综合应用|

专题06 统计 6大高频考点概览 考点01分层抽样 考点02数字特征（中位数/百分位数） 考点03数字特征（平均数/方差） 考点04数字特征（众数/极差） 考点05频率分布直方图 考点06分层抽样的均值与方差 地 城 考点01 分层抽样 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（    ） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，可计算出夹谷的频率，从而得解． 【详解】设这批米内夹谷约为石，根据样本的性质可得，求得， 即这批米内夹谷约为230石， 故选：C. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（   ） A．33家 B．20家 C．5家 D．10家 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为， 所以应抽取大型商铺（家）. 故选：C 3．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（   ）人. A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】利用分层抽样的计算方法计算. 【详解】设抽取样本人数为人，所以. 故选：B 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 【答案】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量_______． 【答案】 【分析】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式，由此可求结果. 【详解】由条件可知：， 所以， 故答案为：. 地 城 考点02 数字特征（中位数/百分位数） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知一组数据3，7，4，11，15，6，8，13，去掉一个最大值和一个最小值后所得数据的上四分位数为（   ） A．4 B．6 C．11 D．13 【答案】C 【分析】把新数据按由小到大排列，利用上四分位数的定义求解即得. 【详解】依题意，所得新数据按由小到大排列为：4，6，7，8，11，13， 由，得所得数据的上四分位数为11. 故选：C 2．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 【答案】B 【分析】运用百分位数的求法求这组数据的上四分位数即可. 【详解】由题设，数据从小到大为，且， 所以数据的上四分位数为. 故选：B 3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的分位数为（   ） A．26 B．40 C．35 D．38 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】这组数据从小到大的排列为26，28，32，38，38，40，48. 因为，所以这组数据的分位数为40. 故选：B 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)样本数据91，80，86，88，100，93，86，95的第一四分位数为（   ） A．87 B．86 C．94 D．93 【答案】B 【分析】将给定数据由小到大排列，再利用第一四分位数的定义求得答案. 【详解】样本数据由小到大排列为：80，86，86，88，91，93，95，100， 由，得第一四分位数为. 故选：B 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据百分位数求解规则直接求解即可. 【详解】由题知该组数据共有10个， ， 组数据的40%分位数为. 故选：C. 二、填空题 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 【答案】7 【分析】根据百分位数的概念求解． 【详解】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个， 又，则样本数据的分位数为． 故答案为：7． 7．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是_________． 【答案】9.5 【分析】根据统计量计算中中位数、众位数、极差以及百分数的概念，结合多个条件构造符合条件的数据组求解. 【详解】设这5个数据从小到大为: 已知中位数为第三个数，故； 唯一众数为11，故d，e至少含11，且11出现次数至少2次，故； 极差为3，即； 若，则10和11均出现2次，众数不唯一；若，则8和11均出现2次，众数不唯一. 因此，. 综上，数据为：8，9，10，11，11. 根据百分位数公式：设数据个数为n，第百分位数的位置. 已知，，故. 当i为整数时，第百分位数位第项与第项的平均值，即 故答案为：9.5. 地 城 考点03 数字特征（平均数/方差） 一、多选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断； 【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误． 对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确； 故选：AD． 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 【答案】CD 【分析】根据分层抽样的概念以及平均数、中位数、方差公式计算判断. 【详解】对A，直方图如下： 由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，错误； 对B，设这组数据为，，…，，平均数为，方差为， 所以每个数都减去同一个非零常数a，平均数为， 方差为，所以平均数改变，方差不变，错误； 对C，有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为，正确； 对D，若样本数据，，…，的标准差为8，方差为64，则数据，，…，的方差为，标准差为16，正确. 故选：CD 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（   ） A．这组数据的平均数为 B．这组数据的分位数为 C．去掉一个样本数据后方差变小 D．每个样本数据都减后方差变小 【答案】AC 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A对； 对于B选项，将这组数据由小到大排列依次为：、、、、、、、、， 共个数据，因为，故这组数据的分位数为，B错； 对于C选项，原数据的方差为， 去掉一个样本数据后，平均数为， 方差为，， 所以，去掉一个样本数据后方差变小，C对； 对于D选项，将这九个数据分别记为、、、、， 将每个样本数据都减后，新数据为、、、、， 由方差的性质可知，方差不变，D错. 故选：AC. 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 【答案】5 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 由，得， 所以. 故答案为：5 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 【答案】18 【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解. 【详解】方法一：因为，，，的方差为2 所以，，，的方差为； 方法二：设，，，的平均数为，则， 显然，，，的平均数为：， 所以它们的方差为, 故答案为：18. 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差_________． 【答案】2.9 【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为 则，所以． ，所以． 当加入新数据3，5，7后， 平均数， 方差 ． 故答案为：2.9． 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 【答案】14 【分析】先根据已知数据平均数和方差的定义解出两个关系，再由这两个关系来新数据的方差. 【详解】因为数据数据，，，的平均数为2，方差为4. 所以，即——① ， ， ， 即——②. 设数据，，，，，，，的平均数为. 设数据，，，，，，，的方差为. . 故答案为：14. 地 城 考点04 数字特征（众数/极差） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 【答案】C 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（   ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 【答案】C 【分析】应用极差，中位数，平均数，众数定义计算求解各个选项. 【详解】样本数据从小到大排列为， 则极差为，A选项错误； 中位数是，B选项错误； 平均数是，C选项正确； 众数不是8，D选项错误； 故选：C. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（    ） A． B．该组数据的均值一定为90 C．该组数据的众数一定为84和96 D．若要使该总体的标准差最小，则 【答案】ABD 【分析】依题意可得，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D； 【详解】解：因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确． 故选：ABD 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)（多选）如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（   ） A．该地这10天日平均气温的众数是33℃ B．该地这10天日平均气温的极差是11℃ C．该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃ D．该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 【答案】ABD 【分析】对于ABD，由众数，极差，百分位数计算公式可判断选项正误；对于D，由图象数据波动情况可判断选项正误． 【详解】对于A，由图中数据可知该地这10天日平均气温中，33出现2次，其他数据只出现一次， 则该地这10天日平均气温的众数是33℃，A正确； 对于B，该地这10天最高日平均气温为38℃，最低日平均气温为27℃， 则该地这10天日平均气温的极差是38－27＝11℃，B正确； 对于C，将该地这10天日平均气温从小到大排列为27，29，30，31，32，33，33，36，37，38， 因为10×70%＝7，所以该地这10天日平均气温的70%分位数是，C错误； 对于D，由图可知该地前5天日平均气温的波动小于后5天日平均气温的波动， 则该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差，D正确． 故选：ABD. 6．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（   ） A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 【答案】ACD 【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：， B地月降雨量按升序排列可得：， 对于选项A：可知A地月平均降雨量为， B地月平均降雨量为， 因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确； 对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为， 因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误； 对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为， 因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确； 对于选项D：因为， 可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40， 且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD. 地 城 考点05 频率分布直方图 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论. 【详解】因为，， 所以应在， 所以，解得. 故最接近的数为. 故选：A. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】先求出三个分数段的同学的频率之比，从而求出抽取成绩50~60分的人数. 【详解】从频率分布直方图可以看出三个分数段的同学的频率之比为， 所以抽取成绩50~60分的人数为， 故选：B 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 4．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 【答案】A 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等， 平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得： 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数． 故选：A． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 二、多选题 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)（多选）某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（    ） A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B．如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C．样本的中位数为520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【答案】BD 【分析】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【详解】  由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误； 样本数据低于600的频率为，B正确； 对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确． 故选：BD 三、解答题 7．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 【答案】(1)0.006 (2)76.2 (3) 【分析】（1）根据频率直方图中频率之和为1求解； （2）根据频率直方图，结合题给中点值概念，求平均数； （3）先求出 的人数，再求频率，最终求得概率. 【详解】（1）频率直方图中，所有组的频率和为1，组距为10，则： 解得： （2） （3）人数： 人数： 总体情况：从10人中抽3人， 符合条件：2人评分在，1人评分在，即 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. (1)估计此批棉花纤维长度的众数； (2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） (3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 【答案】(1) (2)下四分位数约为，中位数约为 (3) 【分析】（1）由众数的定义即可求解； （2）由百分位数、中位数的定义即可求解； （3）由平均数的定义即可求解. 【详解】（1）由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为； （2）因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为， 因为前三组的频率之和，前四组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为； （3）估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 9．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【答案】(1)，中位数75 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出，然后利用中位数的定义求出中位数的值. （2）先确定分层抽样比和抽样人数，然后确定样本空间和这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】(1)，平均数为74分 (2)60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【详解】（1）由题意知，解得；     所以该次测试分数的平均数的为： (分)． （2）由频率分布直方图知 ， (分)，       (分)，(分)    ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 11．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； (3)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出答案； （2）利用平均数计算公式和频率分布直方图进行求解； （3）求出年龄在内的频率，进而求出人数. 【详解】（1）由题意可得， 解得. （2）， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁； （3）由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在内的频率为， 则这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为. 12．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)估算这40名学生测试成绩的中位数； (3)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 【答案】(1)，平均数为74.5分； (2)75分； (3)中有5人，中有2人. 【分析】（1）由频率和为1求参数，再由频率直方图求平均数； （2）根据中位数定义求40名学生测试成绩的中位数； （3）根据分层抽样的等比例性质求抽取和的学生人数. 【详解】（1）由图，可得， 由图知分. （2）设中位数为且在内，则，可得； （3）由频率分布直分布知与两组频率分别为0.25、0.1，比例为， 故用分层抽样抽取7人中，中有5人，中有2人． 13．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表： 单量/单 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图； (2)根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）； (3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表： 日单量/单 类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手 装备价格/元 2500 4000 4800 根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本. 【答案】(1)答案见解析 (2)29.2 (3)估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元 【分析】（1）计算出第二组和第四组的频率，得出对应小矩形的高，在图中标出即可； （2）根据已知，分别求出样本数据分布在以及之间的频率，得出中位数，进而列出方程，求解即可得出答案； （3）根据已知得出不同类别骑手的人数，计算平均数即可得出答案. 【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下： （2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为； 样本数据分布在之间的频率为. 设样本数据的中位数为，则， 且有， 解得，即样本数据的中位数约为29.2. （3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人）， 精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人）， 所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元）， 所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元. 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： (1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； (2)求频率分布直方图中a的值； (3)估计当天游客满意度分值的分位数. 【答案】(1)50；40；10 (2) (3). 【分析】（1）由题意可先确定抽样比为，分别计算可求得结果； （2）由频率分布直方图中所有小正方形面积为1，即可解得； （3）由百分位数的定义计算即可得游客满意度分值的分位数为. 【详解】（1）老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人， 中青年人数为人， 少年人数为人； （2）易知组距为10，由频率分布直方图可得，， 解得； （3）设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内，则，解得， 可知估计当天游客满意度分值的分位数为. 15．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．    (1)求，的值； (2)设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时，其月奖励金额为0.3千元；当时，其月奖励金额为0.8千元；当不低于时，其月奖励金额为1.1千元．根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值． 【答案】(1)， (2)0.699（千元）． 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1并结合即可求解； （2）先求第75百分位数，然后确定奖励方案，进而估算出月奖励金额的平均值. 【详解】（1）由已知得， 所以，又因为， 所以，． （2）由于，所以员工月销售额的第75百分位数为20， 所以，当时，奖励金额为0.3千元； 当时，奖励金额为0.8千元； 当时，奖励金额为1.1千元， 所以，该商场一位员工的月奖励金额的平均值为： （千元）． 地 城 考点06 分层抽样的均值与方差 一、填空题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 【答案】 【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差. 【详解】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案为： 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为______． 【答案】36 【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【详解】由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式． 故答案为：36. 3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为________小时，方差为________； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 【答案】 【分析】对于平均数，根据分层抽样中各层人数比例与各层平数来计算总体平均数； 对于方差，利用给定的分层抽样方差公式进行计算. 【详解】该市学生的男女生人数比为，设男生人数为，女生人数为， 男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，故个男生睡眠时长为小时； 女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，故个女生睡眠时长为小时， 则该市学生每天睡眠时长的平均数为（小时）； 由题干可得，，，，，， 代入公式得， . 故答案为：；. 二、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】(1)0.015 (2)76.25，75 (3)17 【分析】(1)根据频率直方图的性质：概率之和为1求解即可，（2）利用频率直方图求解平均数求解即可，（3）利用分组方差的求法求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，有，   解得； （2）学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为，           由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； （3）这两组数据的平均数为，     这两组数据的总方差为 ． 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求值； (2)根据频率分布直方图，求400件样本中尺寸在内的样本数； (3)已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为1和，平均值分别为93和94.5，求抽出数据的均值和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)； (2)72件； (3)均值、方差分别为94、. 【分析】（1）利用频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图估计400件样本中尺寸在内的样本数即可； （3）利用分层抽样中各层样本与总体均值、方差间的关系求总体的均值和方差. 【详解】（1）由图知，可得； （2）由图知400件样本中尺寸在内的样本数为件； （3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个， 所以抽出数据的均值为， 抽出数据的方差为. 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计 6大高频考点概览 考点01分层抽样 考点02数字特征（中位数/百分位数） 考点03数字特征（平均数/方差） 考点04数字特征（众数/极差） 考点05频率分布直方图 考点06分层抽样的均值与方差 地 城 考点01 分层抽样 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（    ） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（   ） A．33家 B．20家 C．5家 D．10家 3．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（   ）人. A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量_______． 地 城 考点02 数字特征（中位数/百分位数） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知一组数据3，7，4，11，15，6，8，13，去掉一个最大值和一个最小值后所得数据的上四分位数为（   ） A．4 B．6 C．11 D．13 2．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的分位数为（   ） A．26 B．40 C．35 D．38 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)样本数据91，80，86，88，100，93，86，95的第一四分位数为（   ） A．87 B．86 C．94 D．93 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 二、填空题 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 7．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是_________． 地 城 考点03 数字特征（平均数/方差） 一、多选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（   ） A．这组数据的平均数为 B．这组数据的分位数为 C．去掉一个样本数据后方差变小 D．每个样本数据都减后方差变小 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差_________． 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 地 城 考点04 数字特征（众数/极差） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（   ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（    ） A． B．该组数据的均值一定为90 C．该组数据的众数一定为84和96 D．若要使该总体的标准差最小，则 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)（多选）如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（   ） A．该地这10天日平均气温的众数是33℃ B．该地这10天日平均气温的极差是11℃ C．该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃ D．该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 6．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（   ） A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 地 城 考点05 频率分布直方图 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 4．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 二、多选题 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)（多选）某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（    ） A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B．如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C．样本的中位数为520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 三、解答题 7．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. (1)估计此批棉花纤维长度的众数； (2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） (3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 9．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 11．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； (3)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 12．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)估算这40名学生测试成绩的中位数； (3)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 13．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表： 单量/单 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图； (2)根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）； (3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表： 日单量/单 类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手 装备价格/元 2500 4000 4800 根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本. 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： (1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； (2)求频率分布直方图中a的值； (3)估计当天游客满意度分值的分位数. 15．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．    (1)求，的值； (2)设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时，其月奖励金额为0.3千元；当时，其月奖励金额为0.8千元；当不低于时，其月奖励金额为1.1千元．根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值． 地 城 考点06 分层抽样的均值与方差 一、填空题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为______． 3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为________小时，方差为________； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 二、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求值； (2)根据频率分布直方图，求400件样本中尺寸在内的样本数； (3)已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为1和，平均值分别为93和94.5，求抽出数据的均值和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；记总的样本平均数为，样本方差为，则． 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计 地 城 考点01 分层抽样 一、单选题 1．C. 2．C 3．B 二、填空题 4． 5．. 地 城 考点02 数字特征（中位数/百分位数） 一、单选题 1．C 2．B 3．B 4．B 5．C. 二、填空题 6．7． 7．9.5 地 城 考点03 数字特征（平均数/方差） 一、多选题 1．AD 2．CD 3．AC 二、填空题 4．5 5．18 6．2.9． 7．14 地 城 考点04 数字特征（众数/极差） 一、单选题 1．C 2．C. 3．A 二、多选题 4．ABD 5．ABD 6．ACD 地 城 考点05 频率分布直方图 一、单选题 1．A 2．B 3．C 4．A． 5．C 二、多选题 6．BD 三、解答题 7．【详解】（1）频率直方图中，所有组的频率和为1，组距为10，则： 解得： （2） （3）人数： 人数： 总体情况：从10人中抽3人， 符合条件：2人评分在，1人评分在，即 8．【详解】（1）由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为； （2）因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为， 因为前三组的频率之和，前四组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为； （3）估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 9．【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 10．【详解】（1）由题意知，解得；     所以该次测试分数的平均数的为： (分)． （2）由频率分布直方图知 ， (分)，       (分)，(分)    ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 11．【详解】（1）由题意可得， 解得. （2）， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁； （3）由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在内的频率为， 则这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为. 12．【详解】（1）由图，可得， 由图知分. （2）设中位数为且在内，则，可得； （3）由频率分布直分布知与两组频率分别为0.25、0.1，比例为， 故用分层抽样抽取7人中，中有5人，中有2人． 13．【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下： （2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为； 样本数据分布在之间的频率为. 设样本数据的中位数为，则， 且有， 解得，即样本数据的中位数约为29.2. （3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人）， 精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人）， 所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元）， 所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元. 14．【详解】（1）老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人， 中青年人数为人， 少年人数为人； （2）易知组距为10，由频率分布直方图可得，， 解得； （3）设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内，则，解得， 可知估计当天游客满意度分值的分位数为. 15．【详解】（1）由已知得， 所以，又因为， 所以，． （2）由于，所以员工月销售额的第75百分位数为20， 所以，当时，奖励金额为0.3千元； 当时，奖励金额为0.8千元； 当时，奖励金额为1.1千元， 所以，该商场一位员工的月奖励金额的平均值为： （千元）． 地 城 考点06 分层抽样的均值与方差 一、填空题 1． 2．36. 3．； 二、解答题 4．【详解】（1）根据频率分布直方图，有，   解得； （2）学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为，           由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； （3）这两组数据的平均数为，     这两组数据的总方差为 ． 5．【详解】（1）由图知，可得； （2）由图知400件样本中尺寸在内的样本数为件； （3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个， 所以抽出数据的均值为， 抽出数据的方差为. 6．【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $