27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过功一定时功率与时间的反比例关系图象导入，引导学生从图象获取信息、求解析式及取值范围，搭建从反比例函数概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合物理、生活等跨学科实例，通过观察数据、建立模型培养数学眼光与思维，如气体压强与体积的实验数据建模过程。采用“问题探究-巩固练习-课堂检测”结构，帮助学生提升用数学语言解决实际问题的能力，也为教师提供了结构化的教学资源。

27.3 实际问题与反比例函数 (第2课时) 人教版 数学 九年级 上册 导入新知 在功W一定的条件下，功率P与做功时间t成反比例，功率P与做功时间t的函数关系如图所示. （1）从图中你可以获取哪些信息？ 图象过点(40,30) （2）根据图象求出函数解析式； P= （3）当30≤t≤50时，求P的取值范围. 24≤P≤40 2. 面对不同的实际问题，根据数据及其图象特征选择合适的函数模型，利用函数解决问题. 1. 利用反比例函数图象求解析式并解决实际问题，注意题目中的限制条件. 学习目标 3. 体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W; 探究新知 知识点 1 利用图象解决实际问题 O s/m F/N 10 (10,50) 50 解：由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m， 此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 探究新知 (2)写出s关于F的函数解析式; (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. O s/m F/N 10 (10,50) 50 解：当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系. 由(1)可知其解析式为. 解：将s=100 代入，可得 F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m,力F要大于5N. 近视眼镜镜片的度数y(单位:度)是关于镜片焦距x(单位:m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式; (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 巩固练习 O y/度 x/m 0.25 (0.25,400) 400 解：（1）由图象可知，当x=0.25时，y=400， ∴. （2）将y=500代入，得， 解得x=5. ∴焦距为5m. 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位:km/h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围; 探究新知 知识点 2 在限制条件内的实际问题 解：甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系. 由图可知，当t=2时，v=120，于是有. ① 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. 60 120 O v/(km·h-1) t/h 1 2 3 4 5 探究新知 (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 60 120 O v/(km·h-1) t/h 1 2 3 4 5 解：客车上午8时从甲地出发， 若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=h，代入①，可得v=90(km/h)； 若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代入①，可得v=80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80 ≤v≤90. 收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节，某用电器内置可变电阻R的范围为110~220Ω，电压U为220V.已知功率，回答下列问题: (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系? 巩固练习 解：由题意，得. 七彩城就梦想 (2) 这个用电器的功率P的范围是多少? 解：对于函数，当R>0时，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值(W)； 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为220~440 W. 巩固练习 探究新知 知识点 3 选择合适的函数模型解决问题 某物理实验小组研究气体的压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据，如下表. 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系?如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 探究新知 分析： 由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图， 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 探究新知 (2) 建立模型.设函数解析式为，根据表中的数据，分别求出k的值. V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 计算所有k的平均值，得 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 ① 2000 2016 2030 1968 1956 2010 探究新知 (4)求解问题.将p=132代入①，得 解得 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL. (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. 归纳总结 （1）画图:将数据绘制成图,观察点的分布规律,绘制一条尽可能贴合所有点的曲线,根据曲线形状选择相近的函数类型; （2）建立模型:设函数解析式,代入已知数据求解参数k的值; （3）检验模型:将数据代入函数模型,验证是否基本吻合; （4）求解问题:代入已知条件,求解未知量. 建立函数模型解决实际问题的一般步骤 （吉林长春中考）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　） A.24 B.27 C.45 D.50 C 链接中考 解析：设P关于t的函数解析式为， 将(60,20)代入解析式，得k=1200. ∴. 当t=25时， 当t=40时，. ∵功率P随着做功时间t的增大而减小， ∴功率P的范围是30≤P≤48. C 课堂检测 1.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例. 下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ） 基础巩固题 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于 C O 60 V/m3 p/kPa 1.6 课堂检测 18 七彩城就梦想 3.如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于60km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） 课堂检测 A.0.15h B.0.32h C.0.45h D.0.5h B 课堂检测 能力提升题 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快,因此气瓶的使用时间会缩短.经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t(分钟)是潜水深度h(米)的反比例函数,其部分图象如图所示. (1)当潜水深度为30米时,求气瓶可用时间; (2)为保证安全,计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内 ? 解：（1）设t关于h的函数解析式为， 将点(10,60)代入，得， 将h=30代入，得 ∴当潜水深度为30米时,气瓶可用时间为20分钟. （2）将t=15代入，得，得h=40； 将t=40代入，得，得h=15. ∵t随h的增大而减小， ∴潜水深度应控制在15≤h≤40的范围内. 解得k=600. ∴ 某学校为了方便学生饮水，新安装了智能饮水机.饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时,每分钟上升10℃，加热到100℃时,停止加热,水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系,直至水温降至20℃时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序.若水温为20℃时，接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示. (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； 课堂检测 解：（1）水温上升时,即当0≤x≤8时,设y关于x的函数解析式为y=kx+b, 将点(0,20)，(8,100)代入y=kx+b,得 解得 水温下降时，即当x>8时，设y关于x的函数解析式为. 将点(8,100)代入，得， 解得m=800. ∴. ∴y=10x+20. 拓广探索题 课堂检测 解：（2）当0≤x≤8时,y=10x+20， 令y=40,得40=10x+20，解得x=2. 当x>8时，, 令y=40，得,解得x=20. 由图象可知，当y≥40时，2≤x ≤20. 20-2=18(min). ∴在一个循环内水温不低于40℃的时间为18min. (2)求在一个循环内水温不低于40℃的时长. 课堂小结 实际问题中的反比例函数 根据反比例函数图象解决实际问题 在限制条件内的实际问题 选择合适的函数模型解决实际问题 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 谢谢观看 $