27.3 第1课时 实际问题中的反比例函数 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数在实际问题中的应用，通过“拉面小哥做拉面”等生活情境导入，结合路程速度、工程效率等模型，以实例分析为支架衔接函数概念与实际应用。 其亮点在于立足真实情境（如研学活动、智能机器人）培养数学眼光，通过归纳解题步骤（确定关系、求k值等）发展数学思维，用函数解析式和图表表达关系提升数学语言能力。分层练习题和跨学科案例（杠杆、压强）帮助学生巩固，为教师提供系统教学资源。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月2日 27.3 第1课时 实际问题中的反比例函数 第27章 反比例函数 27.3 第1课时 实际问题中的反比例函数 练习题（含解析） 本次练习题适配人教版九年级上册27.3第1课时教学内容，聚焦实际场景中的反比例函数建模，重点考查路程速度时间、工程效率、面积体积、总价单价数量等常见定值模型，侧重实际问题转化为函数解析式、自变量实际取值、利用增减性求解最值等核心考点，题型循序渐进，贴合课后巩固与基础拔高需求，帮助掌握反比例函数的实际应用方法。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 从甲地到乙地的路程为定值，若行驶速度为$$x$$，行驶时间为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数关系是（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 2. 矩形的面积为24（定值），设矩形的长为$$x$$，宽为$$y$$，下列说法正确的是（） A. $$y$$与$$x$$成正比例 B. $$y$$与$$x$$成反比例 C. $$y$$随$$x$$的增大而增大 D. $$x、y$$可取任意实数 3. 一批货物总量固定，若每天卸货$$x$$吨，卸完货物所需天数为$$y$$，已知$$y=\frac{120}{x}$$，则这批货物总重量为（） A. 12吨 B. 60吨 C. 120吨 D. 240吨 4. 已知工程总量一定，甲队完成工程的时间$$t$$（天）与工作效率$$v$$（每天工作量）成反比例，若效率$$v$$提高，则完成时间$$t$$会（） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 5. 下列实际问题中，变量间成反比例函数关系的是（） A. 单价固定，总价与购买数量 B. 圆的周长与半径 C. 压力一定时，压强与受力面积 D. 身高与体重 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 已知路程一定，若速度$$x=50\mathrm{km/h}$$，时间$$y=4\mathrm{h}$$，则$$y$$与$$x$$的函数解析式为________。 7. 圆柱体体积为定值60，圆柱底面积为$$S$$，高为$$h$$，则$$S$$关于$$h$$的函数关系式为________。 8. 完成某项工作的总工作量固定，工作效率$$x$$与工作时间$$y$$成反比例，若效率为2时，时间为10，则效率为4时，时间为________。 9. 实际问题中的反比例函数，自变量取值通常要满足________（填取值范围特征）。 10. 已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$表示实际问题，当$$x=6$$时$$y=3$$，则定值$$k=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）某校组织研学活动，总路程为180km。设行驶速度为$$x$$（km/h），行驶时间为$$y$$（h）。（1）求$$y$$关于$$x$$的函数解析式；（2）若行驶速度不低于60km/h，求最短行驶时间；（3）若行驶时间不超过3h，求行驶速度的最小值。 12.（20分）仓库有一批物资，总质量固定，若每天搬运$$x$$吨，$$y$$天可以搬完，已知当$$x=8$$时，$$y=15$$。（1）求$$y$$与$$x$$的反比例函数解析式；（2）若要求10天内搬完，每天至少搬运多少吨物资？（3）若每天最多搬运12吨，至少需要多少天搬完？ 13.（20分）已知矩形面积为定值36，设矩形的长为$$x$$，宽为$$y$$。（1）写出$$y$$关于$$x$$的函数解析式及自变量取值范围；（2）当长$$x=9$$时，求矩形的宽；（3）若长不小于4，求宽的取值范围。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：路程$$s=xy$$（定值），满足反比例函数$$y=\frac{s}{x}$$形式，为反比例函数关系。 2. B 解析：矩形面积$$xy=24$$（定值），长和宽成反比例，$$k=24＞0$$，$$x$$增大时$$y$$减小，且实际边长为正数。 3. C 解析：反比例函数$$y=\frac{120}{x}$$中$$k$$为定值总量，即货物总重量120吨。 4. B 解析：工程总量固定，$$k＞0$$，反比例函数在自变量正值范围内，效率$$v$$越大，时间$$t$$越小。 5. C 解析：压力定值时，压强×受力面积=定值，成反比例关系；其余选项均为正比例关系。 填空题 6. $$y=\frac{200}{x}(x>0)$$ 7. $$S=\frac{60}{h}(h>0)$$ 8. 5 9. 正数（$$x>0$$） 10. 18 解答题 11. （1）由路程公式得$$xy=180$$，解析式为$$y=\frac{180}{x}(x>0)$$；（2）$$x\geq60$$，函数单调递减，$$x=60$$时，$$y_{最小}=3\mathrm{h}$$；（3）$$y\leq3$$，代入得$$x\geq60$$，速度最小值为60km/h。 12. （1）设$$y=\frac{k}{x}$$，代入$$x=8、y=15$$得$$k=120$$，解析式为$$y=\frac{120}{x}(x>0)$$；（2）$$y\leq10$$，解得$$x\geq12$$，每天至少搬运12吨；（3）$$x\leq12$$，解得$$y\geq10$$，至少需要10天。 13. （1）解析式为$$y=\frac{36}{x}(x>0)$$；（2）将$$x=9$$代入，得$$y=4$$；（3）$$x\geq4$$，函数单调递减，得$$0<y\leq9$$。 核心知识点总结：1. 实际问题反比例模型：定值=变量1×变量2，常见路程、工程、面积、体积、压强等定值场景；2. 实际自变量必须取正数，函数图象仅为第一象限双曲线分支；3. $$k＞0$$时，自变量越大，函数值越小，可利用增减性求解实际最值问题。 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点) 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点) 学习目标 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？ 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量. 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )，所以 v 关于 t 的函数解析式为 分析：根据“平均装载速度＝货物总量÷装载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ (2) 把 t＝6 代入 ，得 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 . 当 t > 0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过 6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物. 想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 v 的值，求自变量 t 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 1. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 【练一练】 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5 = 60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆 这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (立方米). 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6 = 120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是 120÷12 = 10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆). 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6 = 480 (千米). 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt = 480， 整理得 (t ＞0). 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 【归纳总结】 反比例函数的实际应用一般步骤： (1) 确定函数关系，设出 ； (2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ； (3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ； (4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 函数解析式 k 值　 取值范围 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 古希腊科学家阿基米德(公元前287—前212 ) 发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为： 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂. 阻力 动力 阻力臂 动力臂 支点 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m)有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力? 对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此 时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l =1.5 m 时， 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动 力臂 l 至少要加长多少? (2) 对于函数 ，当 l＞0，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F = 400× = 200 代入 ，得 由 200 = ，得 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5 =1.5 (m). 想一想：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? 根据杠杆平衡条件 F1×L1 = F2×L2，撬同一物体时，阻力与阻力臂的乘积 F2×L2 为定值 k，即 ，动力 F1 与动力臂 L1 成反比例关系. 当动力臂 L1 越长，动力 F1 越小，因此越省力. 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么： (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？ 解：由 ，得 p 是 S 的反比例函数． 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 16 (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 解：当 S ＝ 0.2 m2 时， 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa． (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？ 解：当 p = 6000 时，由 得 对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2. 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 4. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为 220 W ~ 440 W. 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 其他学科中的反比例函数: ① 电压 U 一定时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例函数关系，解析式为 ； ② 压力F一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比 例函数关系，解析式为 ； ③ 气体质量 m 一定时，密度 ρ 与体积 V 成反比 例函数关系，解析式为 . I＝　 ρ＝　 p＝　 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 知识点1 利用反比例函数解实际问题 1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则 汽车行驶时间单位：关于行驶速度单位： 的函 数解析式是( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 2. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已 融入人们的日常生活中.如图，是某酒店的智能送餐 机器人，其最快移动速度 是载重后总质量 的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重 1 前的质量时，它的最快移动速度 ，当 其载重后总质量时，它的最快移动速度是___ . 中考考法 23 知识点2 利用反比例函数解跨学科问题 3. [2026深圳期末] 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达 到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力 的 反比例函数．已知当张力时，频率 即达到标准音高．若要使频率升高到 即达到标准 音高 ，应该如何调整张力？( ) D A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 中考考法 24 （第4题） 4. 社团活动中，同学用自制密 度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在 密度为 单位： 的液体中，浸在液 体中的高度单位：与液体的密度 的 关系式为 ，橘子汁的密度是水的密度 1 的 倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多 ．则水的密度为___． 中考考法 25 （第4题） 【点拨】 设密度计悬浮在水中的高度为 ，则悬浮 在橘子汁中的高度为 . 橘子汁的密度是水的密度的 倍， ， 解得，经检验， 是原分式方程 的解, 水的密度为 . 中考考法 26 知识点3 利用反比例函数的图象解决问题 （第5题） 5. 小颖和小亮玩掷 骰子游戏，每人分别先后掷两次 得到，，并约定点 落在如 图所示的反比例函数 图象内为小亮胜， 落在图象外则小颖胜，落在图象 A A. 小颖 B. 小亮 C. 都一样 D. 无法确定 上为平局，你认为谁获胜的希望较大？( ) 中考考法 27 【点拨】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 中考考法 28 所有等可能的结果有36种，落在函数 图象内的 有13种，落在图象外的有19种， 小颖获胜的希望较大，故选A. （第5题） 中考考法 （第6题） 6.某气球内充满了一定质量的气 体，当温度不变时，气球内气体 的气压是气体体积 的反比例函数，其函数图象如图 所示.当气体体积为 时，气压 是____ . 48 中考考法 30 （第7题） 7. 如图，某校计划利用已有的一堵长为 的墙，用篱笆围一个面积为 的 矩形园子.设， ，则下 列说法正确的是( ) C A. 关于的函数解析式为 B. 自变量的取值范围为，且随 的增大而减小 C. 当时，的取值范围为 D. 当时， 中考考法 31 （第7题） 【点拨】根据矩形园子的面积为 ， 可知 ， ，故A选项错误，不符合题意； 墙长为 ， ，,解得 ，故B选项错误，不 符合题意；当时，则，解得， 的取值范围 中考考法 32 为 ，故C选项正确，符合题意； 当时， ，故 D选项错误，不符合题意.故选C. （第7题） 中考考法 8. 如图①，区间测速是指检测 机动车在两个相邻测速监控点之间 的路段（测速区间）上平均速度的 方法.小聪发现安全驾驶且不 B A. B. C. D. 超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 段的平均 行驶速度与行驶时间 是反比例函数关系（如图②）， 已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 ，最低车速不得低于 ，小聪的爸爸按照此规 定通过该限速区间 段的时间可能是 ( ) 中考考法 34 【点拨】由题意可设 ，将 点 的坐标代入，得 ， . 当时，；当 时， . 按照规定通过该限速区间段的时间不超过 ，不低 于 ，观察各选项，只有B符合题意. 中考考法 35 9. 人工智能逐渐融入我们的生活.如图所示，某餐厅购进 一个送餐机器人，这个机器人与地面的接触面积是可以调整 的.下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间 的关系： 地面所受压强 接触面积 中考考法 36 （1）地面所受压强与接触面积 满足 怎样的函数关系？并写出压强 关 于接触面积 的函数解析式. 【解】由表格可知压强与接触面积 的 乘积为定值480，则压强与接触面积 满足反比例函数关系. 压强关于接触面积的函数解析式为 . 中考考法 （2）若送餐机器人要经过一段玻璃通 道，且这段玻璃通道能承受的最大压强 为 ，问这个机器人与地面的 接触面积至少为多少平方米? 当时， . 答：这个机器人与地面的接触面积至少为 . 中考考法 38 实际问题中的反比例函数 实际问题与反比例函数 反比例函数与其他学科知识的综合 课堂小结 $