27.3实际问题与反比例函数第1课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过港口起重机卸货实例导入，联系已学反比例关系，搭建从生活现象到数学模型的学习支架，衔接后续港口装卸、杠杆原理等应用问题。 其亮点是选取港口、杠杆、行程等跨学科实例，培养数学眼光，通过“审列解写验答”步骤发展推理能力与运算能力，构建函数模型体现模型观念。丰富实例和结构化小结，助学生提升应用能力，为教师提供实用教学资源。

27.3实际问题与反比例函数 课时 1 第二十七章 反比例函数 1.能从实际问题中抽象出反比例函数模型，综合函数的概念和性质分析问题、解决问题，发展运算能力、推理能力、几何直观. 2.在解决实际问题的过程中，能够运用多领域知识，选择合适的方法解决问题，提高应用意识和模型观念. 学习目标 2 同学们，大家平时在港口见过起重机装货卸货吗？假设一艘轮船上装了一堆货物，总量是固定的，那如果我们想快点把货卸完，是让起重机每小时多卸一点，还是少卸一点？ 当货物总量不变时，卸得越快，用的时间就越短，卸得越慢，用的时间就越长. 像这种 “总量固定，一个量变大，另一个量反而变小” 的关系，其实就是我们学过的反比例关系！ 今天我们就一起来看看，怎么用反比例函数，解决港口装卸、杠杆撬石头这些生活里的实际问题！ 多卸一点. 课堂导入 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度  (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间  (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 例1 分析：根据“平均装载速度×装载总时间 = 货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量； 再根据“平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9=6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕.那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 例1 解：(2)把 t=6 代入，得 1 050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数，当t >0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系. 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数. 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. 解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性. 实际问题 建立反比例函数模型求解 实际问题的解 自变量的取值范围一般有两个方面的限制： 一是解析式本身的限制， 二是实际问题的具体要求. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （1）写出v关于t的函数解析式. （2）若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？ 跟踪训练 解：（1）v关于t的函数解析式为v=. （2）把v=80代入v=，得80=， 解得t=5. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A地匀速行驶到B地至少要5 h. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （3）若此人上午7点开车从A 地出发，他能否在上午10点40分之前到达B 地？请说明理由． 跟踪训练 解：（3）把v=100代入v=，得100=， 解得t=4. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴速度不超过100 km/h的条件下，此人从A地出发至少用4 h才能到达B地. 又∵从上午7点到上午10点40分，间隔3 h，3 h＜4 h， ∴他不能在上午10点40分之前到达B地． 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 例2 解： (1) 根据“杠杆原理”，得 1 200×0.5. 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l=1.5 m 时，400 (N). 对于函数 ，当 l=1.5 m 时，F=400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 例2 解： (2) 对于函数 F，当 l >0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F200 代入 ，得 200 l3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 思考 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积 S（单位：）与漏斗的深 h（单位：）有怎样的函数关系？ 解：(1) 圆锥的容积（体积）公式为 V. 将 V=120 代入，得 120Sh， 整理，得 S . 随堂练习 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (2) 如果漏斗口的面积不超过 ，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 解：(2) 漏斗口的面积不超过 50 ，即 0<S≤50. 将 S=50 代入 ，得 50， 解得 h=7.2. 因为 h>0 时，S 随 h 的增大而减小， 所以 0< S ≤50 时，h ≥7.2, 故漏斗的深 h 至少为 7.2 cm. 随堂练习 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元.他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元. (1) y 与 x 有怎样的函数关系？ (2) 如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ 解： (1) 余款为 18-6=12（万元），函数关系为 y（1≤x≤36，x 为正整数）. (2) 当 x20 时，y, 所以他平均每月应还款  万元. 随堂练习 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元.他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元. (3) 如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解： (3) 5 000 元 0.5 万元. 将 y=0.5 代入 ，得 x=24. 因为 x>0 时，y 随 x 的增大而减小， 所以 0<y≤0.5 时，x≥24. 因此，他至少要 24 个月才能结清余款. 随堂练习 3.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当 x=20 cm时，y=30 N． (1) 求y关于x的函数解析式； 解：（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 （k为常数，且 k≠0）， 将 x=20，y=30 代入 ， 得 30，解得 k=600, ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y. 随堂练习 3.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当 x=20 cm时，y=30 N． (2) 移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； 解：（2）∵100÷2=50（cm）， ∴ 0＜x≤50. 对于函数 y，当0＜x≤50时，y随x的增大而减小， ∴当 x=50 时， y的值最小， 12（N）. 答：弹簧秤的示数 y 的最小值为 12 N. 随堂练习 3.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当 x=20 cm时，y=30 N． (3) 若弹簧秤的最大量程是100 N，求x 的取值范围． 解：（3）把y=100代入 y，得100=， 解得 x=6. ∵x＞0时，y随x的增大而减小，且弹簧秤的最大量程是100 N，即y≤100， ∴x≥6. 又∵ 0<x≤50，∴ 6≤x≤50. 随堂练习 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 课堂小结 $