27.1 反比例函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的概念，通过预习导学中的实际问题（如人口与绿地面积、火车速度与时间）导入，衔接正比例函数知识，以具体情境为支架抽象出函数定义及三种表示形式，构建从实际到数学的认知脉络。 其亮点是借助思维导图串联知识体系，从实际问题到概念、图象、性质及应用，体现模型观念。通过农场人数与人均粮食等实例培养抽象能力，课堂小结系统归纳待定系数法步骤，助力学生发展运算能力与应用意识，教师可利用分层训练提升教学效率。

27.1 反比例函数的概念 1.探究并理解反比例函数的概念与表示形式，发展抽象概括能力； 2.会画出反比例函数的图象，结合图象探究反比例函数的性质，能利用性质解决有关问题，培养数形结合的思维意识； 3.根据实际问题中的数量关系，建立反比例函数模型解决简单实际问题，发展建模能力与运算求解能力，形成模型观念； 4.理解k的几何意义，体会反比例函数的生活应用价值，提高综合解题能力. 27.1反比例函数的概念 27.2反比例函数的图象和性质 27.3实际问题与反比例函数 数学活动 小结复习 综合与实践 1课时 3课时 2课时 1课时 1课时 1课时 一、预习导学（预习P64－65，完成以下内容） 第1课时　反比例函数的概念 问题导入 1.若某城市人口x万人，绿地面积1 000万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数解析式为　 　.  2.上海世博会召开后，更多的人从北京坐火车去上海参观.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的全程运行时间t（单位：h）与此次列车的平均速度v（单位：km/h）的函数关系式是　 　.  反比例函数 3.形如　 　的函数叫作反比例函数，自变量x的取值范围是　 　.  4.反比例函数的三种表示形式：①y=；②y=kx－1；③xy=k（k≠0）. y= t= y=（k为常数，k≠0） 不等于0的一切实数 二、探究新知 反比例函数的概念 例1在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=3x B.y= C.y= D.y= 【变式】已知函数y=（m－2）x|m|－3是反比例函数，则m=　 　.  C －2 待定系数法求反比例函数的解析式 例2已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（－6，－3）. （1）求y与x的函数解析式； 解：设y与x的函数解析式为y=， 将（－6，－3）代入，得－3=，解得k=18， ∴y与x的函数解析式为y=. 解：将y=9代入y=，得9=，解得x=2. （2）当y=9时，求x的值. 三、巩固训练 1.下列不是y关于x的反比例函数的是（ ）　　　　　　　　　 A.y=3x－1 B.y=－ C.xy=5 D.y= 2.已知函数y=（m+2）是关于x的反比例函数，则m的值 是　 　.  B 2 3.列出下列问题中的函数解析式，并判断它们是否为反比例函数. （1）某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数解析式； （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数解析式； 解：y=，是反比例函数； 解：y=4.75x，是正比例函数，不是反比例函数； （3）小明完成100 m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数解析式. 解：t=，是反比例函数. 4.已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（－3，－1）. （1）求y与x的函数解析式； 解：设y与x的函数解析式为y=， ∵函数图象经过点（－3，－1）， ∴k=－1×（－3）=3. ∴y与x的函数解析式为y=. （2）当y=－4时，求x的值. 解：将y=－4代入y=，得x=－. 5.（2025·杭州期末）已知y与z成正比例，z与x成反比例.当x=－4时，z=3，y=－4. （1）求y关于x的函数解析式； 解：∵y与z成正比例，z与x成反比例， ∴设y=k1z，z=. ∴y=. 把x=－4，y=－4代入，得k1k2=16， ∴y关于x的函数解析式为y=. （2）在平面直角坐标系中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求△OAB的面积. 解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为4， ∴A（2，8），B（4，4），如图， S矩形ODCE=4×8=32，S△AEO=×2×8=8， S△ABC=×2×4=4，S△OBD=×4×4=8. ∴S△OAB=32－8－4－8=12. 四、课堂小结 1.形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，有三种表示形式：①y=；②y=kx－1；③xy=k； 2.待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤：①设，②列，③解，④答. 反比例函数的概念 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y＝2x＋1 B.y＝ C.y＝－ D.2y＝x B 2.下列各对相关联的量中，成反比例关系的是（ ） A.汽车匀速行驶的路程与时间 B.将一批糖果按每袋质量相等分装，袋数与每袋的质量 C.往同一个圆柱形容器中注入水的体积与水的高度 D.购买苹果和香蕉的总费用一定，购买苹果的金额和香蕉的金额 B 3.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 f＝（k为常数，k≠0），若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为200 Hz，则k的值为（ ） A.160 B.170 C.180 D.190 4.已知反比例函数y＝，当y＝6时，x＝  　.  5.已知y＝（n－1）x|n|－2是关于x的反比例函数，则n＝　 　.  C －1 6.写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数. （1）火车从石家庄驶往相距约277 km的北京，若火车的平均速度为60 km/h，求火车距石家庄的距离s（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系式； 解：根据题意，得s＝60t是正比例函数，比例系数是60. （2）某中学现有存煤20 t，如果平均每天烧煤x t，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式； （3）一个游泳池容积为1 000a（m3），注满游泳池所用的时间y（h）随注水速度x（m3/h）的变化而变化，求y与x之间的函数关系式. 解：根据题意，得y＝是反比例函数，比例系数是20. 解：根据题意，得y＝是反比例函数，比例系数是1 000a. 待定系数法求反比例函数的解析式 7.已知y是x的反比例函数，并且当x＝6时，y＝1. （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x＝－2时，求y的值. 解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0）， ∵当x＝6时，y＝1，∴k＝6×1＝6. ∴y关于x的函数解析式为y＝. 解：当x＝－2时，y＝＝－3. 8.已知函数y＝（m－2）x|m|－3是反比例函数. （1）求m的值； 解：根据题意，得|m|－3＝－1且m－2≠0， 解得m＝±2且m≠2. ∴m＝－2. （2）当x＝3时，求y的值. 解：当m＝－2时，原函数变为y＝－， 当x＝3时，y＝－. 9.已知y＝y1＋y2，y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例，当x＝0时，y＝－3，当x＝1时，y＝－1. （1）求y的解析式； 解：∵y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例， ∴设y1＝k1（x－1），y2＝. ∵y＝y1＋y2，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1. ∴解得 ∴y＝x－1－. （2）求当x＝－时y的值. 解：当x＝－时，y＝－－1－＝－. 10.已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数. （1）当z＝－时，y＝6；当x＝6时，z＝4.求y与x之间的函数关系式； 解：∵y是z的反比例函数， ∴设y＝（a≠0）. ∵当z＝－时，y＝6， ∴a＝6×＝－4. ∴y＝－.① ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0）. 又∵当x＝6时，z＝4， ∴b＝＝. ∴z＝x，② 将②代入①，得y＝－. （2）求证：y是x的反比例函数. 证明：由（1），得y＝（a≠0），z＝bx， ∴y＝. ∴y是x的反比例函数. $