27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质(2) 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过回顾反比例函数图象为双曲线及性质与k的关系，搭建旧知支架，逐步引入待定系数法求解析式、k的几何意义及与一次函数的综合应用。 其亮点在于以合作探究（如k的几何意义从具体点矩形面积到一般证明）和例练结合（如探究点1例1与练一练），培养学生几何直观与推理意识，课堂小结结构化梳理面积问题、函数综合等，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月2日 27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质(2) 第27章 反比例函数 27.2 第1课时 反比例函数的图象和性质(1) 练习题（含解析） 本次练习题聚焦人教版九年级上册27.2第1课时核心内容，围绕反比例函数的图象形状、象限分布、增减性、图象特征等基础考点设计，题型经典基础、重难点贴合课本，适合课后巩固新知，帮助熟练掌握反比例函数图象的基本性质与简单应用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 反比例函数$$y=\frac{6}{x}$$的图象大致是（） A. 过一、三象限的双曲线 B. 过二、四象限的双曲线 C. 过一、二象限的直线 D. 过三、四象限的直线 2. 已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（） A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0 3. 在反比例函数$$y=\frac{3}{x}$$的图象上，下列点在图象上的是（） A. (1,2) B. (2,3) C. (3,1) D. (-1,3) 4. 对于反比例函数$$y=-\frac{2}{x}$$，下列说法正确的是（） A. 图象经过原点 B. 图象在第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 5. 若点A(2，$$y_1$$)、B(3，$$y_2$$)在反比例函数$$y=\frac{4}{x}$$图象上，则$$y_1$$、$$y_2$$的大小关系是（） A. $$y_1＞y_2$$ B. $$y_1＜y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 反比例函数的图象是________，它的两支曲线永远________坐标轴。 7. 若反比例函数$$y=\frac{m-1}{x}$$的图象在第一、三象限，则m的取值范围是________。 8. 已知点(-4，2)在反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象上，则该函数图象位于第________象限。 9. 在反比例函数$$y=\frac{5}{x}$$中，当x＞0时，y随x的增大而________。 10. 反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(1，-5)，则该函数的增减性为________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{8}{x}$$。（1）判断该函数图象所在象限；（2）说出函数在每一象限内的增减性；（3）判断点(4,2)、(-2,4)是否在函数图象上。 12.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$（k≠0）的图象经过点(-3，-4)。（1）求该函数的解析式；（2）判断图象所在象限；（3）当x＜0时，分析y随x的变化规律。 13.（20分）已知反比例函数$$y=(2k-5)x^{-1}$$，根据下列条件求k的取值范围。（1）函数图象在第一、三象限；（2）在每一象限内，y随x的增大而增大。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. A 解析：$$k=6＞0$$，反比例函数图象为双曲线，分布在第一、三象限。 2. B 解析：反比例函数图象过二、四象限的核心条件是比例系数$$k＜0$$。 3. C 解析：将点代入解析式，横、纵坐标乘积等于k=3，仅(3,1)满足$$3×1=3$$。 4. C 解析：$$k=-2＜0$$，图象在二、四象限，不过原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而增大。 5. A 解析：$$k=4＞0$$，在第一象限内y随x增大而减小，2＜3，故$$y_1＞y_2$$。 填空题 6. 双曲线；无限接近，永不相交 7. m＞1 8. 二、四 9. 减小 10. 在每一象限内，y随x的增大而增大 解答题 11. （1）$$k=8＞0$$，图象位于第一、三象限；（2）在每一象限内，y随x的增大而减小；（3）$$4×2=8$$，点(4,2)在图象上；$$-2×4=-8≠8$$，点(-2,4)不在图象上。 12. （1）将(-3,-4)代入得$$k=12$$，解析式为$$y=\frac{12}{x}$$；（2）$$k＞0$$，图象在第一、三象限；（3）x＜0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小。 13. （1）图象在一、三象限，则$$2k-5＞0$$，解得$$k＞\frac{5}{2}$$；（2）每一象限内y随x增大而增大，则$$2k-5＜0$$，解得$$k＜\frac{5}{2}$$。 核心知识点总结：反比例函数$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$图象为双曲线；$$k＞0$$时，图象在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；$$k＜0$$时，图象在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大，且图象永不与坐标轴相交。 1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力. 2.掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征.（重点） 3.理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义.（难点） 学习目标 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(－2，4) 在第二象限， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. (2) 点 B (1，-8)，C ( ， )，D (2，4) 是否在这个函数的图象上？ 因此，这个反比例函数的解析式为 . 解：设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 A (-2，4) 在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 解得 k = -8. 即 因为点 B，C 的坐标都满足 ，点 D 的坐标不满足 ，所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 1. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 【练一练】 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． 当 x = -1， 当 x = 3， (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ O x y 例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以 m－5＞0，解得 m＞5. 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5＞0， 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此，当 x1＞x2 时，y1＜y2. O x y 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 2. 如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 【练一练】 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 【合作探究】 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. B P A S 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA， SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 做一做 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4. ∴ 反比例函数的解析式为 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 y x O P A k 的绝对值为12 图象在第二、四象限，故 k＜0 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 4. 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易 知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于 点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2， 而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3. F S1 S2 S3 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 y D B A C x 例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___. 3 2 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形. O 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 5.如图，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 y＝－ 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 【合作探究】 k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 6. 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是 ． －1 2 y x O A B x < －1 或 0 < x < 2 【练一练】 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 知识点1 反比例函数图象的对称性 1. 已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于，两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 中考考法 32 （第2题） 2. [2026北京四中期末] 如图，正方形四 个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则实数 的值 为( ) A A. B. C. D. 3 中考考法 33 【点拨】如图，连接正方形 的对 角线，易知对角线交于原点，过点 ， 分别作轴的垂线，垂足分别为， . 根据题意可设点的坐标为 , 则,. 四边形 是正 中考考法 34 方形，， . .又 , , . 点在第二象限， 点 的坐标为 . 点在反比例函数 的图 象上， 故选A. 中考考法 知识点2 反比例函数中 的几何意义 （第3题） 3. 如图，这是反比例函数 的图象， 点 是反比例函数图象上任意一点， 过点作轴于点,连接 ,则 的面积是( ) B A. 1 B. C. 2 D. 中考考法 36 （第4题） 4. [2025山东] 如图，在平面直角坐标系 中，，两点在坐标轴上，四边形 是面积为4的正方形.若函数 的 图象经过点，则满足的 的取值范 围为( ) A A. B. C. D. 中考考法 37 知识点3 反比例函数和一次函数的综合 5. 已知关于的一元二次方程 无实数根， 则函数与函数 的图象交点个数为( ) C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【点拨】 关于的一元二次方程 无实数 根，，解得 函数 的图 象经过第二、四象限. 函数 的图象位于第二、四象 限， 两个函数图象有2个交点. 中考考法 38 6. 通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不 等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.请利用直角 坐标系构造恰当的图形，判断不等式 的解集是( ) B A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 中考考法 39 【点拨】设 ， 由图象可知，不等式的解集是 或 . 作函数 的图象和函数 的图象如图所示. 中考考法 40 7. 若双曲线与直线 的两个交点分别为，，且 ， 则下列结论一定成立的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 41 8. 已知反比例函数，对于正数，当自变量 满 足时，函数的最小值为 ，则当 时，函数 有( ) D A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 中考考法 42 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 $