山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末冲刺训练卷

**基本信息** 立足高一数学核心知识，以防电信诈骗竞赛、答辩活动等真实情境为载体，通过基础概念辨析（如向量共线）到综合应用（如立体几何二面角计算）的分层设问，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配期末冲刺训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|平面向量、概率独立与互斥、立体几何直观图、分层抽样|以基础概念辨析为主，如第2题结合概率性质判断事件关系，培养推理意识| |多选题|3/18|线面关系、向量夹角、频率分布直方图|第11题通过方差与百分位数计算，考查数据分析与数学运算能力| |填空题|3/15|随机数表抽样、向量投影、三棱锥外接球|第14题结合二面角求外接球表面积，体现空间观念与创新意识| |解答题|5/77|解三角形、复数、统计（频率分布直方图）、立体几何证明与二面角、概率应用|第17题综合计算百分位数与合并方差，第19题答辩活动多情境概率求解，突出数学语言表达现实问题的应用能力|

山东省泰安市2025-2026高一下学期期末冲刺训练卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 2．（本题5分）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 3．（本题5分）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（    ）． A．4 B． C． D．8 4．（本题5分）某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（本题5分）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（本题5分）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）已知非零向量的夹角为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 11．（本题6分）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000     49840128     66175168      39682927     43772366     27096623 92580956    43890890      06482834      59741458     29778149     64608925 13．（本题5分）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影______． 14．（本题5分）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 16．（本题15分）已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数. (1)求n的值； (2)若与的夹角为钝角，求m的取值范围. 17．（本题15分）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 18．（本题17分）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 19．（本题17分）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D C B D BC BCD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 2．A 【分析】利用相互独立事件的判断方法即，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 3．A 【分析】先根据平面图形的直观图与原图形的关系，求出原图形的边长，再利用三角形面积公式计算原图形面积即可. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为． 4．C 【分析】根据题意结合分层抽样的性质运算求解即可. 【详解】样本按比例分配，男女比例为. 所以应抽取的男生人数为. 故选：C. 5．D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 6．C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及互斥事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，，且相互独立， 则2个球中恰有1个红球的概率为． 故选：C 7．B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 8．D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 9．BC 【分析】对于A，由答案不完备即可判断；对于B，由线面垂直的性质判断即可；对于C，由线面平行的判定定理判断即可；对于D，由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，又，，故B正确； 对于C，由线面平行的判定定理可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC. 10．BCD 【分析】根据平面向量的夹角公式即可判断A；根据平面向量共线定理即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断CD. 【详解】对于A，若，则，所以或，故A错误； 对于B，由为非零向量及可知， 所以，所以，故B正确： 对于C，若，则， 得，所以，又为非零向量 所以，故C正确； 对于D，若，则，得， 即， 又不共线，所以，故D正确. 11．BD 【分析】对于A选项，频率分布直方图里各长方形面积和为，把各区间频率系数相加乘组距得到总面积表达式，令其等于，即可求出； 对于B选项，先算出前几个矩形面积和，通过与比较，确定分位数所在区间.再根据百分位数的定义，用已有的面积和加上该区间的面积等于，列方程求解百分位数； 对于C选项，根据加权平均的方法，以比例为权重乘以对应数值，即可求解平均数； 对于D选项，根据方差公式，以不同区域的比例为权重，分别计算每个区间数值与平均数差值的平方加上给定值，再求和得到方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 12．175 【分析】根据随机数表抽样规则，从指定起始位置向右逐次读取三位编号，舍去超出001~900范围的编号，统计得到第5个有效编号即可. 【详解】读取规则为从随机数表第1行第4列开始向右连续读取，每次取3位数字，凡不在001~900范围内的编号跳过，与已读取编号重复的也跳过： 首次读取得到260，属于有效范围，为第1个样本编号； 接下来读取得到004，属于有效范围，为第2个样本编号； 继续读取得到984，超出最大编号900，舍去；继续读取得到012，属于有效范围，为第3个样本编号； 继续读取得到866，属于有效范围，为第4个样本编号； 继续读取得到175，属于有效范围，为第5个样本编号。 因此得到的第5个样本的编号为175. 13．/0.5 【分析】根据向量投影的概念计算即可. 【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影. 故答案为： 14． 【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果. 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向， 过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 容易得到:点在双曲线上， 同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上， 由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为, 所以为平面的平面角,所以中，， 由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则， 所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为， 记为外接球球心，则平面平面， 则四点共面，且四边形中，， 因为，所以， ， 在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 15．(1)6 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得结果； （2）利用面积公式可得，然后使用余弦定理可知，最后使用面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由题可知：，则， 且， 又，所以. （2）作边上的高，如图： ，由（1）可知，所以， 则， 16．(1)； (2)且. 【分析】（1）由复数加法及复数类型求参数值即可； （2）写出复数对应向量的坐标表示，根据夹角为钝角及向量夹角的坐标运算求参数范围，注意反向共线情况. 【详解】（1）由题设为实数，则； （2）由题设及（1）知，则， 由与的夹角为钝角， 则，所以， 若与反向共线时，有， 综上，且. 17．(1)，第80百分位数为，样本平均数为74； (2)，. 【分析】（1）由频率之和为1即可求a，先依次求出前4组和前5组频率之和得到样本成绩的第80百分位数所在区间即可计算求解，由频率分布直方图的平均数计算公式直接计算即可求平均数； （2）先依次求出两区间的样本个数、样本平均成绩、方差，再由总体平均数公式和总体方差公式即可计算两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【详解】（1）由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； （2）由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 18．(1)证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. (2)①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ② 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）①略 ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $