专题04二元一次方程组专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学

**基本信息** 聚焦二元一次方程组的概念理解、解法体系与实际应用，以消元法为核心，通过分层题型构建“概念-解法-建模”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择4题/填空2题|方程解的定义、方程组解的含义|从解的验证到参数求解，夯实概念基础| |解法应用|解答3题/选择3题|代入消元法、加减消元法、换元法|从基础消元到技巧换元，提升运算能力| |实际建模|选择6题/解答4题|行程/利润/分配问题建模|从古代问题到现代生活，强化模型意识| |拓展提升|选择2题/解答1题|含参方程组、方案设计|从静态求解到动态决策，发展推理意识|

专题04二元一次方程组专项训练-【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学暑假专项训 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是方程的一个解，则m的值是（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 7．某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 8．下列说法：①二元一次方程的解有无数个；②方程的自然数解只有1组；③方程组的解为．正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 10．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 11．为了响应建设美丽家园的号召，现计划给甲、乙两校各若干株树苗．若甲校得到乙校所有树苗的，则甲校的树苗总数变为株．若乙校得到甲校所有树苗的，那么乙校的树苗总数也变为株．设计划分给甲校株树苗，乙校株树苗，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 12．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题 13．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 14．已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 15．已知，满足方程组，则的值为__________． 16．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．已知小明有2题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是_______． 三、解答题 17．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 18．解方程组： (1)； (2)； 19．小明在用加减消元法解方程组时，部分过程如下： 解：由，得，③……第一步 ，得，……第二步 解得．……第三步 (1)小明的解题过程从第_______步开始出错； (2)请你用加减消元法解此方程组． 20．为保持空气质量的良好率，降低空气污染．昭通某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车．据了解，若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆，共需315万元；若购买A型公交车2辆和B型公交车1辆，共需270万元． (1)求每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？ (2)该公交公司计划同时购买两种型号的新能源公交车共10辆，由于资金受限，公司最多能拿出840万元来购买．请你帮忙算算该公交公司有哪几种方案可以选择？ 21．先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 22．某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进件甲产品和件乙产品需要成本元，购进件甲产品和件乙产品需要成本元销售时，每件甲产品售价为元，每件乙产品售价为元． (1)求每件甲、乙产品的成本价； (2)若商店从工厂购进甲、乙两种产品共件，其中甲产品不超过件，且全部销售完以后利润不低于元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？ 23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 24．【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题04二元一次方程组专项训练-【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版七年级下册数学暑假专项训》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A A A D C A B 题号 11 12 答案 A D 1．A 【详解】∵ 是方程的一个解， ∴ 将，代入方程中，即， 整理得，解得， 则m的值是． 2．A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 3．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（几何问题），读懂题意，根据题中的几何关系正确列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意得，解方程组即可求出、的值，然后根据“”即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 故选：． 4．A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设人数有人，鸡的价钱是钱， 根据题意，得， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买个种奖品，个种奖品，分购买1个种奖品及购买2个种奖品两种情况考虑，利用总价单价数量，结合钱全部用完，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出可供选择的方案总数，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买个种奖品，个种奖品， 当购买1个种奖品时， ， ， ，均为正整数， ， ，，， 此时有5种购买方案可供选择； 当购买2个种奖品时，， ， ，均为正整数， ，，， 此时有4种购买方案可供选择． （种． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，正确掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解是解题的关键． 【详解】①二元一次方程的解有无数个，正确； ②方程的自然数解有，，共2组，错误， ③ 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴方程组的解为，故正确． 综上所述，正确的个数为2． 故选：C． 9．A 【分析】设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可． 【详解】解：设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子， 由题意得： 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子． 10．B 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：根据题意，得 整理，得， 得， ∴， 将代入②得，， ∴． 故选B． 11．A 【分析】设计划分给甲校株树苗，乙校株树苗，根据“若甲校得到乙校所有树苗的，则甲校的树苗总数变为株．若乙校得到甲校所有树苗的，那么乙校的树苗总数也变为株”即可得出关于、的二元一次方程组． 【详解】解：设计划分给甲校株树苗，乙校株树苗， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据等量关系列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 12．D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 13．0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 14． 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 将，代入方程得：， 整理得：， 移项得：，即， 系数化为得：． 15．/ 【分析】将两个方程相加，整理后即可得到的值． 【详解】， ，得， 等式两边同除以，得． 16．16 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明答对的题数为x道，则答错的题数为道，总分为，根据总分不低于70分列出不等式，解不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：设小明答对的题数为x道，则答错的题数为道． 由题意得， 解得， x为整数， x最小为16． 故答案为：16． 17．(1) (2) 【分析】本题考查用代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）先将②变形为，再用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得：． 把代入①，得． 故这个方程组的解为． （2）解：由②，得③， 把③代入①，得，解得：． 把代入③，得． 故这个方程组的解为． 18．(1) (2) 【分析】用加减消元法或代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ②－①×2得：， 解得， 将代入①得：， 原方程组的解为：； （2）， ③－②得：，解得， 将代入①得：④， ②＋④得：，解得， 将代入②得：， 原方程组的解为：． 19．(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）利用加减消元法解方程． 【详解】（1）解：小明的解题过程从第一步开始出错； 故答案为：一； （2）解： 由，得，③ ，得， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以，方程组的解为． 20．(1)每辆A型公交车75万元，每辆B型公交车120万元 (2)共有两种购车方案可以选择：方案一：购买A型车8辆，B型车2辆；方案二：购买A型车9辆，B型车1辆 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用： （1）设出未知数，列二元一次方程组，解方程即可； （2）设购买A型公交车辆，则购买B型公交车为辆，根据题意列不等式，求出不等式的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设每辆A型公交车和每辆B型公交车分别是万元、万元， 则， 解得： 答：每辆A型公交车75万元，每辆B型公交车120万元； （2）解：设购买A型公交车辆，则购买B型公交车为辆， 则， 解得， 由题得， 又因为应为正整数，所以应取，所以共有两种购车方案可以选择： 方案一：购买A型车8辆，B型车2辆； 方案二：购买A型车9辆，B型车1辆． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）设，利用换元法计算求解即可； （2）设，利用换元法计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 （2）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 22．(1)每件甲产品的成本为元，每件乙产品的成本为元 (2)共有种方案，分别是：方案：购进甲产品件、乙产品件；方案:购进甲产品件、乙产品件；方案:购进甲产品件、乙产品件；方案购进甲产品件、乙产品件利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进甲产品件，则购进乙产品件，设利润为元，则，根据题意列关于的一元一次不等式组并求其解集，从而求出符合条件的的值，进而分别写出写出这些方案，计算对应利润并比较大小即可． 【详解】（1）解：设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元． 根据题意得：， 解得：， 答：每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元； （2）设购进甲产品件，则购进乙产品件，设利润为元， 则， 根据题意得：， 解得：， 为非负整数， ，，， 当时，件， 当时，（件）， 当时，（件）， 共有种方案，分别是： 方案：购进甲产品件、乙产品件，利润为（元）， 方案: 购进甲产品件、乙产品件，利润为（元）， 方案: 购进甲产品件、乙产品件，利润为， ， 方案购进甲产品件、乙产品件利润最大，最大利润是元． 23．(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 24．这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $