暑假作业09 不等式及其不等式组实际应用（巩固培优，10大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 该专项以“六步解题法”为核心，系统整合不等关系识别、题型分类与实际应用，构建从方法到题型的完整逻辑链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心方法|4知识点+10题型|“审设列解验答”六步法、关键词符号转化、单/多重条件分类、整数/连续量取值|步骤→工具→分类→应用，层层递进，以题载法|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 不等式及其不等式组实际应用 【知识点1 核心解题步骤】 解决不等式(组)实际应用题分为六步：审、设、列、解、验、答。注：每一步缺一不可，检验是区分纯计算与实际应用题的关键步骤； 分步说明 ① ：通读题目，找出已知量、未知量，抓取表示不等关系的关键词； ② ：合理设未知数，直接设所求量为x,设句中不出现“至少、至多、不少于”等限制词；③列：根据题意中的不等关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组； ④ ：解不等式(组),求出未知数的取值解集； ⑤ ：双重检验，一检验数值是否满足不等式，二检验数值是否符合现实意义； ⑥ ：结合题意与实际取值，写出完整规范答案。 【知识点2 常见不等关键词与对应符号】 ·大于、超过、多于：> ·小于、不足、少于：< ·至少、不少于、不低于、最低：≥ 至多、不超过、不高于、最多：≤ 注：判断不等号，应根据文字描述匹配，易混淆词：不大于对应≤，不小于对应≥ 【知识点3 两类应用题型判断标准】 ①单一限制条件，仅存在一组不等关系，列 求解，常求最大、最小数值； ②双重及多重限制条件，存在两处及以上不等约束，列 求解，取多个不等式解集的公共部分； 注：不等式组的所有解必须同时满足组内每一个不等式，不符合任意一个的数值都要舍去。 【知识点4 两类应用题型判断标准】 若未知数代表人数、件数、车辆、个数等实物数量，解集中的小数、分数无实际意义，只取解集内的正整数； 若未知数代表长度、金额、时间、重量等连续量，解集内所有实数均符合题意。 【题型1 列一元一次不等式】 1．“一个数的与的差不大于这个数的2倍加上4所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 2．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 3．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 4．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【题型2 一元一次不等式实际应用之答题问题】 1．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（    ） A．13题 B．14题 C．15题 D．16题 2．在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明答对的题数至少为(    ) A．36道 B．35道 C．34道 D．33道 3．某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 4．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【题型3 利用一元一次不等式解决几何问题】 1．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 2．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 3．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 4．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【题型4 列一元一次不等式组】 1．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 3．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 4．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【题型5 不等式组的行程问题】 1．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 2．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 3．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 4．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【题型6 不等式组的经济问题】 1．某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 2．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 3．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 4．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【题型7 不等式组的分配问题】 1．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 2．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 3．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 4．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 5．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【题型8 不等式组的方案选择问题】 1．阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 (1)成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； (2)求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； (3)根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 2．某出租汽车公司计划购买型和型两种节能汽车，若购买型汽车4辆，型汽车7辆，共需310万元；若购买型汽车10辆，型汽车15辆，共需700万元． (1)型和型汽车每辆的价格分别是多少万元？ (2)该公司计划购买型和型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且型汽车的数量少于型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 3．信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． (1)求普通信阳红和精品信阳红的单价； (2)已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 4．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 5．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【题型9 不等式组的解题收费问题】 1．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 2．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 4．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【题型10 不等式组中其他实际应用问题】 1．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． (1)若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． (2)在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 2．如图，这是某品牌感冒口服液的部分说明书．若王大婶感冒期间严格按照说明书上用法用量进行口服，求王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围． 3．综合实践： 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知购进1个篮球和2个排球共花费320元，购进2个篮球和1个排球共花费340元． 素材2 学校花费1580元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”． 素材3 学校花费1580元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决： (1)任务1（探求商品单价）：请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价； (2)任务2（求商品的数量）：利用素材2，求出该校花费1580元购买的篮球和排球的所有可行的方案； (3)任务3（确定抵扣方式）：基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 4．根据以下销售方式，分析销售情况． 销售情况分析 问题背景 瓯柑作为温州特产，以温州别称“瓯”而得名，种植大户为了能让市民品尝到质优价廉的瓯柑，对1800斤的瓯柑进行打包优惠出售． 打包方式及售价 圆篮 方篮 每篮5斤，每篮售价25元 每篮9斤，每篮售价36元 市场调查 用这两种打包方式恰好能全部装完这1800斤瓯柑． 任务解决： (1)任务一：若圆篮和方篮各销售出篮共收入5490元时，求的值． (2)任务二：若1800斤瓯柑全部售完，销售总收入恰好为8280元，请问圆篮和方篮各包装了多少篮？ (3)任务三：若种植大户留下篮圆篮送人，其余瓯柑全部售出，总收入仍为8280元，求的所有可能值． 5．【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客，，，在排队等候，若把，，，到达时间看作0分钟，，，…表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … (1)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人，“新顾客”每4分钟来一位）． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 ６ 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ (2)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现与表达】 (3)发现1：“新顾客”服务结束的时间______“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． (4)发现2：若______，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“≥”“≤”或“=”） (5)结论：如果服务窗口办理业务的速度为每a分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每b分钟到达一位（）．服务窗口开始服务前已经有m位顾客在等待，假设从第n位“新顾客”开始不需要排队，当______时，排队现象消失（直接写出a，b，m与n的关系）． 1．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 2．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 3．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 4．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 1．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 2．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 3．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是，每张的价格是元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是，乙型尺寸是．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料． (1)按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； (2)按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； (3)按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是______，______，______； (4)如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料个，乙型基础材料个，且按照方法二裁剪的木板不超过张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 不等式及其不等式组实际应用 【知识点1 核心解题步骤】 解决不等式(组)实际应用题分为六步：审、设、列、解、验、答。注：每一步缺一不可，检验是区分纯计算与实际应用题的关键步骤； 分步说明 ①审：通读题目，找出已知量、未知量，抓取表示不等关系的关键词； ②设：合理设未知数，直接设所求量为x,设句中不出现“至少、至多、不少于”等限制词；③列：根据题意中的不等关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组； ④解：解不等式(组),求出未知数的取值解集； ⑤验：双重检验，一检验数值是否满足不等式，二检验数值是否符合现实意义； ⑥答：结合题意与实际取值，写出完整规范答案。 【知识点2 常见不等关键词与对应符号】 ·大于、超过、多于：> ·小于、不足、少于：< ·至少、不少于、不低于、最低：≥ 至多、不超过、不高于、最多：≤ 注：判断不等号，应根据文字描述匹配，易混淆词：不大于对应≤，不小于对应≥ 【知识点3 两类应用题型判断标准】 ①单一限制条件，仅存在一组不等关系，列一元一次不等式求解，常求最大、最小数值； ②双重及多重限制条件，存在两处及以上不等约束，列一元一次不等式组求解，取多个不等式解集的公共部分； 注：不等式组的所有解必须同时满足组内每一个不等式，不符合任意一个的数值都要舍去。 【知识点4 两类应用题型判断标准】 若未知数代表人数、件数、车辆、个数等实物数量，解集中的小数、分数无实际意义，只取解集内的正整数； 若未知数代表长度、金额、时间、重量等连续量，解集内所有实数均符合题意。 【题型1 列一元一次不等式】 1．“一个数的与的差不大于这个数的2倍加上4所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将文字语言转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为，按题意拆解列出不等式即可． 【详解】解：的为，与的差为，的2倍加上4的结果为， ∵“不大于”对应的不等号为， ∴可列不等式为． 2．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题中数量关系，结合“不低于”表示大于等于的含义，即可列出正确不等式． 【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题， ∴答错或不答的题数为道， 根据题意得． 3．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 4．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 【题型2 一元一次不等式实际应用之答题问题】 1．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（    ） A．13题 B．14题 C．15题 D．16题 【答案】D 【分析】设答对题数为未知数，根据题目给定的得分规则列出不等式，求解后取符合题意的最小整数即可得到结果． 【详解】解：设小亮答对x道题，则答错或不答的题数为道，由题意得： ， 解得：， ∴小亮至少要答对16题． 2．在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明答对的题数至少为(    ) A．36道 B．35道 C．34道 D．33道 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．根据竞赛得分规则列出不等式，结合题数为正整数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题． 根据题意，得 去括号整理得 解得 ∵题数为正整数 ∴小明答对题数至少为35道． 3．某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】B 【分析】设出答对题数，根据得分规则和得分要求列出不等式，求解后取最小整数得到结果． 【详解】解：设小明答对的题数为，则答错或不答的题数为． ∵答对一题得5分，答错或不答扣2分，小明得分不低于86分， ∴列不等式得： 展开整理得： 解得： ∴小明答对的题数至少为18． 4．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【答案】19 【分析】设出答对题目的数量，根据得分不低于及格分列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【详解】解：设飞飞答对道题，则不答或答错的题数为道，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最小值为， 故她至少要答对19道题． 【题型3 利用一元一次不等式解决几何问题】 1．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 2．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解： ， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 3．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 4．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 【题型4 列一元一次不等式组】 1．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 2．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 3．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 4．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 5．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 【题型5 不等式组的行程问题】 1．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 2．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 3．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 4．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【题型6 不等式组的经济问题】 1．某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 【答案】(1) 购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元. (2) 当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算. 【分析】（1）根据购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元列出方程组，解方程组即可； （2）分别用的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可. 【详解】（1）解：设购买1份A材料的费用为元，购买1份B材料的费用为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元； （2）解：在甲超市购买的费用为（元），在乙超市购买的费用为（元）， 当甲超市费用高于乙超市费用时，， 解得， ∴当时，选择乙超市购买更合算； 当甲超市费用和乙超市费用一样多时，， 解得， ∴当时，选择两家超市购买费用相同； 当甲超市费用低于乙超市费用时，， 解得， 又， ∴， ∴当时，选择甲超市购买更合算； 综上，当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算 2．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 3．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 4．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 【题型7 不等式组的分配问题】 1．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 2．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 3．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 4．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 5．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2) 解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）略 （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 【题型8 不等式组的方案选择问题】 1．阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 (1)成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； (2)求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； (3)根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 【答案】(1)9；32.4 (2)该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克 (3)共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 【分析】（1）先计算出每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量，根据碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍，单独计算出脂肪含量，即可求蛋白质含量； （2）设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，根据“总质量为300克，蛋白质总含量为8%”，列二元一次方程组求解； （3）设选择A套餐天，根据中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克，列不等式求解． 【详解】（1）解：每100克谷物食品中， 蛋白质和脂肪含量为：（克）， 脂肪含量为：（克）， 蛋白质含量为：（克）， ∴被污损的数字从上到下分别为9；32.4； （2）解：设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，则： ， 解得：， 答：该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克； （3）解：设选择A套餐天，则： ， 解得：， 又，且为整数， 可取值为1、2，共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 2．某出租汽车公司计划购买型和型两种节能汽车，若购买型汽车4辆，型汽车7辆，共需310万元；若购买型汽车10辆，型汽车15辆，共需700万元． (1)型和型汽车每辆的价格分别是多少万元？ (2)该公司计划购买型和型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且型汽车的数量少于型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)型汽车每辆的价格为25万元，型汽车每辆的价格为30万元 (2)费用最省的方案是购买型汽车4辆，型汽车6辆，该方案所需费用为280万元 【分析】（1）设型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元，根据题意建立方程组，解方程组即可； （2）设购买型汽车辆，则购买型汽车辆，根据题意建立一元一次不等式组，解不等式组，结合是整数解答即可． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元， 由题意得：， 解得， 答：型汽车每辆的价格为25万元，型汽车每辆的价格为30万元． （2）解：设购买型汽车辆，则购买型汽车辆， 由题意得：， 解得， 是整数， 或4， 当时，，则该方案所需费用为（万元）； 当时，，则该方案所需费用为（万元）； 答：费用最省的方案是购买型汽车4辆，型汽车6辆，该方案所需费用为280万元． 3．信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． (1)求普通信阳红和精品信阳红的单价； (2)已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 【答案】(1)普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元 (2)一共有五种采购方案 【分析】（1）设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元，根据“购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍”； （2）设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红斤，根据题意列出不等式组，再求出整数解即可． 【详解】（1）解：设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元， 根据题意得 解得 答：普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元； （2）解：设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红（40-x）斤， 根据题意，可知， 解得， ∵采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的， ∴，解得， ∴， ∵斤数取整数， ∴x取20、21、22、23、24， ∴一共有五种采购方案． 4．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元 (2)共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】（1）设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元， 依题意，得， 解得， 答：每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元． （2）解：设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副， 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴或37或38或39或40， 共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 5．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 【题型9 不等式组的解题收费问题】 1．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 2．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 4．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【题型10 不等式组中其他实际应用问题】 1．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． (1)若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． (2)在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒 (2)最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张 【分析】（1）根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； （2）分别计算三种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案： ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； （2）解：由题意，根据（1）中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张． 2．如图，这是某品牌感冒口服液的部分说明书．若王大婶感冒期间严格按照说明书上用法用量进行口服，求王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组，并求解即可． 【详解】解：由图可知，每天的用量为，分次服用， ∴单次最小用量为每天次，共计；单次最大用量为每天次，共计， ∴， 解得． 答：王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围为． 3．综合实践： 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知购进1个篮球和2个排球共花费320元，购进2个篮球和1个排球共花费340元． 素材2 学校花费1580元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”． 素材3 学校花费1580元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决： (1)任务1（探求商品单价）：请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价； (2)任务2（求商品的数量）：利用素材2，求出该校花费1580元购买的篮球和排球的所有可行的方案； (3)任务3（确定抵扣方式）：基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】(1)排球的单价为100元，篮球的单价为120元 (2)方案一：购买篮球4个，购买排球11个；方案二：购买篮球9个，购买排球5个 (3)排球中使用抵扣券的数量为1个 【分析】（1）设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设购买篮球个，购买排球个，根据题意可得，变形得，结合、都是非负整数可得，或，分别计算并写出方案即可； （3）根据使不使用抵扣券，价格可分为单价元、单价元、单价元三档，设元档买了个，元档买了个，则元档买了个，根据题意可得，整理得，结合实际意义列出不等式组，求解出，因此，． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，则排球的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元． （2）解：设购买篮球个，购买排球个， 根据题意可得：， ∴， ∵、都是非负整数， ∴是5的倍数，且， ∴或， ①当时， ∴，； ②时， ∴，； 答：方案一：购买篮球4个，购买排球11个；方案二：购买篮球9个，购买排球5个． （3）解：设第二次购买时，原价购买的篮球有个，使用抵扣券购买的排球有个， ∵（元）， ∴使用了抵扣券购买的篮球和没使用抵扣券购买的排球价格相同， 根据题意，购买的总球数为个， ∴使用了抵扣券购买的篮球和没使用抵扣券购买的排球共有个， ∴， 整理，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵是整数， ∴， ∴． 答：排球中使用抵扣券的数量为1个． 4．根据以下销售方式，分析销售情况． 销售情况分析 问题背景 瓯柑作为温州特产，以温州别称“瓯”而得名，种植大户为了能让市民品尝到质优价廉的瓯柑，对1800斤的瓯柑进行打包优惠出售． 打包方式及售价 圆篮 方篮 每篮5斤，每篮售价25元 每篮9斤，每篮售价36元 市场调查 用这两种打包方式恰好能全部装完这1800斤瓯柑． 任务解决： (1)任务一：若圆篮和方篮各销售出篮共收入5490元时，求的值． (2)任务二：若1800斤瓯柑全部售完，销售总收入恰好为8280元，请问圆篮和方篮各包装了多少篮？ (3)任务三：若种植大户留下篮圆篮送人，其余瓯柑全部售出，总收入仍为8280元，求的所有可能值． 【答案】(1)90 (2)圆篮包装了216篮，方篮包装了80篮 (3)的所有可能值为9，18，27 【分析】（1）利用销售收入销售单价销售数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设圆篮包装了x篮，方篮包装了y篮，根据“1800斤瓯柑全部售完，销售总收入恰好为8280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设圆篮包装了m篮，则方篮包装了篮，根据总收入为8280元，可列出关于m，b的二元一次方程，结合，，均为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为90； （2）解：设圆篮包装了x篮，方篮包装了y篮， 根据题意得：， 解得：． 答：圆篮包装了216篮，方篮包装了80篮； （3）解：设圆篮包装了m篮，则方篮包装了篮， 根据题意得：， ∴， 又∵，，均为非负整数， ∴，且m应为9的倍数， 解得， ∴或或． 答：b的所有可能值为9，18，27． 5．【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客，，，在排队等候，若把，，，到达时间看作0分钟，，，…表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … (1)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人，“新顾客”每4分钟来一位）． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 ６ 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ (2)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现与表达】 (3)发现1：“新顾客”服务结束的时间______“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． (4)发现2：若______，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“≥”“≤”或“=”） (5)结论：如果服务窗口办理业务的速度为每a分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每b分钟到达一位（）．服务窗口开始服务前已经有m位顾客在等待，假设从第n位“新顾客”开始不需要排队，当______时，排队现象消失（直接写出a，b，m与n的关系）． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4) (5) 【分析】由不等关系：到达时间上一位顾客服务结束时间即可得． 【详解】（1）解：根据题意推算可知第位“新顾客”是第分钟到达，上一位顾客是第分钟结束服务的，所以第位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客； （2）根据题意推算可知第位“新顾客”是第分钟到达，上一位顾客是分钟结束服务的，第4位“新顾客”是第分钟到达，上一位顾客是分钟结束服务的，第5位“新顾客”是第分钟到达，上一位顾客是分钟结束服务的，所以第位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客； （3）服务连续进行，前一位新顾客服务结束后，立即开始下一位新顾客的服务，因此服务结束时间等于服务开始时间； （4）是的到达时间，是前一位的服务结束时间，若到达时，前一位顾客服务已结束，即时，无需排队； （5）第位新顾客到达时间为，轮到开始服务时，已经服务完了原有位顾客及位新顾客，总耗时，无需排队满足． 1．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 2．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元 (2)A种型号的电风扇最多能采购31台 (3)能实现利润超过2080元的目标，采购方案为：方案一：采购A型号29台，B型号31台；方案二：采购A型号30台，B型号30台；方案三：采购A型号31台，B型号29台 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题目给出的两组销售收入条件列二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）设采购A种型号电风扇m台，根据总采购金额不超过7830元列一元一次不等式，结合m为非负整数即可求出m的最大值； （3）根据利润超过2080元的要求列不等式，结合第二问得到的m的取值范围，找出所有符合条件的正整数m，即可得到对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元． 根据题意可得 ， 解得 ， 答：A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元； （2）解：设A种型号电风扇采购台，则B种型号电风扇采购台． 根据题意可得 ， 化简得， 解得， 因为为非负整数， 所以的最大值为31． 答：A种型号的电风扇最多能采购31台． （3）解：∵要使利润超过2080元， ∴， 化简得，， 解得， 由（2）可知，且为正整数， 因此可取29，30，31． 当时，， 当时，， 当时，， 因此该电器商城销售完这60台电风扇能实现利润超过2080元的目标， 对应的采购方案为：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇31台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇30台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇29台． 3．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 4．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 【答案】(1)款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； (2)共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； (3)销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【分析】（1）设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元，列方程组求解即可； （2）设售出款礼盒件，则售出款礼盒件，列不等式组求出，根据为款礼盒的件数，必须为整数，求出的取值，根据的值得到销售方案； （3）分别计算种销售方案所获的利润，通过比较得出最佳方案． 【详解】（1）解：设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； （2）解：设售出款礼盒件，则售出款礼盒件， 根据题意得：， 解得：， 取整数， 可取，，，， 共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； （3）解：根据题意得： 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） ， 销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 1．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是100元，跳绳的单价是20元 (2)1240元 (3)购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条 【分析】（1）设足球的单价是元，跳绳的单价是元，根据题意列出方程组即可求解； （2）按优惠方式计算即可求解； （3）设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，根据条件可得，由优惠方式可得，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得， 解得． 答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元． （2）解：（元）． 答：优惠后实际只需支付1240元． （3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元， 由题意得，，， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条． 2．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】(1)② (2)种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元 (3)应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析与的含义，结合选项判断被覆盖的条件． （2）设、两种品牌足球的单价分别为元、元，根据“品牌单价比品牌高元”和“购买个、个共花费元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价． （3）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，根据“总费用不超过元”和“品牌数量不少于个”列一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数确定所有购买方案，再分别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元， 方程中，表示种品牌足球的单价， 种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， 故被覆盖的条件为②． （2）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元； （3）解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意，得， 解得， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种购买方案， 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； ∵， ∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个． 3．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是，每张的价格是元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是，乙型尺寸是．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料． (1)按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； (2)按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； (3)按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是______，______，______； (4)如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料个，乙型基础材料个，且按照方法二裁剪的木板不超过张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)；； (4)元 【分析】（1）要求每张裁剪个甲型、个乙型，因此先在木板内沿长度方向划分出个的区域放置甲型材料，再在剩余空间内合理排布个的乙型材料，据此在图1中画出对应示意图即可； （2）方法二要求每张木板裁剪个甲型、个乙型，因此先在的木板内划分出个的区域放置甲型材料，再在剩余空间内按的尺寸合理排布个乙型材料，据此在图2中画出对应示意图即可； （3）用木板总面积依次减去对应方法中各材料的总面积，即可得到每种方法的余料面积； （4）先设按方法一、二、三裁剪的木板分别为张、张、张，根据甲型材料共个、乙型材料共个列出方程组，再通过消元将方程组转化为关于、的不定方程，结合不超过且、、均为正整数的条件，枚举的取值找到符合要求的正整数解，确定、、的取值后，计算总木板数，再用每张木板的价格元乘以总木板数，得到购买木板的总费用． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：方法一：； 方法二： ； 方法三： ； 故答案为：；；； （4）解：设按方法一、二、三裁剪的木板分别为张、张、张（，，为正整数，且）， ， 由①得 ， 把③代入②，得 ， 整理得 ， ∵，为正整数，且， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 把，代入③得 ， ∴总木板数为张， ∴总费用为：元； 答：张力购买的这些木板费用是元． 【点睛】本题综合考查图形的分割与拼接、面积计算以及不定方程的整数解应用，是典型的“方案设计+方程求解”类综合应用题，绘制裁剪示意图时，核心是先固定大尺寸的摆放位置，再利用剩余空间填充小尺寸，遵循“先大后小”的布局原则，确保不超出木板边界；第（4）问的核心是消元法转化不定方程，得到后，需结合整数限制条件（，，为正整数，且）进行枚举验证． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $