湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高二创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题

衡阳县2026年上学期高二创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上． 3．将答案写在答题卡上．写在试题卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁4名同学计划在以下4个地方各选1处进行活动（1处1人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居．其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这4名同学不同去法有（ ）种． A．10 B．12 C．14 D．16 4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，，为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数（ ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 6．已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（ ） A． B． C． D． 7．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，且，、两点在轴上方．则下列结论中不成立的是（ ） A． B．四边形面积最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 8．已知函数（其中为自然对数的底数）有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B．若随机变量，满足，，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的．男生人数为，则服从超几何分布 10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．例如：，，．以下结论正确有（ ）． A． B．集合，的元素个数为9 C．存在，对任意的，有 D．对任意都成立，则实数的取值范围是 11．某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的50%，则通过考核．学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立．若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线在处的切线方程是____________________． 13．在锐角三角形中，，则______________． 14．人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，．平面的方程为（），则平面与平面夹角的余弦值的最大值为_______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15．（13分）从高二一个创新实验班随机抽取6名同学，记为，，，，，，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文、数学、英语（满分均为150分）三科的成绩制成下表： 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138． （1）求出，； （2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”．现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文、数学、英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望． 16．（15分）在数列中，，． （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足． （ⅰ）求的值； （ⅱ）记数列的前项和为．若，求的值． 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：； （2）若侧面是等边三角形，点满足，过，两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成的角为，求的值． 18．（17分）设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间． （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有． ①将不等关系转化为对应的含，的不等式； ②证明：当，时，恒成立． 19．（17分）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为 （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期高二创新实验班期末质量检测 数学答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.A2.D3.C4.B5.D6.D7.B8.C 二、多选题 9.ACD 10.AD 11.AD 三、填空题 个 1 12.er-y-e+1=013.314.2 四、解答题 15.(13分) (1)将己知的5个语文成绩从小到大排序得：115,117,118,124,132， 118+x=119→x=120 由6名同学语文成绩的中位数是119可知， 2 136+147+y+123+137+145=138→y=140 由6名同学数学成绩的平均数是138可知， (2)由题意，A没有优势学科，B、C、E、F均有1个优势学科，D有2个优势学科.X的可能取 的值为0,1,2. Px=0叭-是6Px==是-号Px-2-是-8 故X的分布列为 X 0 1 P 1 6 3 2 EX=0×+1×2+2×=1 数学期望 6 3 6 16.(15分) 1)因为01+a,=3×2”,所以01-2=-(a,-2"） 又4=1，所以4-2=-1≠0，所以a-2}是以-1为首项，-1为公比的等比数列， （2)（1)由1)可得4，-2”=(-1，所以4，=2”+(-八，所以0=2：2”-（-1， 则b=a+1-a,=(2-2)2”-(1+2)(-1)°， 因为数列也.}为等比数列，所以号=6b,即(7-52)=(5-2)17-7)， 化简得22-元-2=0，解得元=2或元=-1，又九>0，所以九=2， b1=-1 当2=2时，6.=-3(-1八，此时b,为定值，符合题意， (i)由(i)可知6，=3如(-”，当%得数时.S=3到-2)+3-华+…+--] 7a明-4安 2, 当为奇数时.8=30-2+3-4++6-2-6-1+] 074明2"空3 3i+32 ,为偶数 S,= 2 为奇数 所以 ，易知S·S2>0,所以S1>0,所以i为偶数， 3i+32） 十 36+2+30+2y]=15x3++30+ 因为SS2=15S1,所以 2 2 2 化简得+3i-10=0,解得i=2或=-5（舍去），所以i=2. 17.(15分) 1):BC=2AB=2,∠ABC= 3,∴由余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos LABC=5-4cos=3 3 AB2+AC2=BC,即AB⊥AC,作BF⊥PA,垂足为F, :平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,BFc平面PAB, ·BF⊥平面PAC,又ACC平面PAC,.BF⊥AC: BF∩AB=B,BF,ABC平面PAB,.AC⊥平面PAB, PBC平面PAB,.PB⊥AC. (2):ACIa,平面∩平面PAC=DE,.AC/DE, 又PD=Pi(0<<).P厘=PC(0<<) 以点A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴， 过点A垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， C nn0传a4狼a明c5】 网-ax廊-（ m-（刘厘c-要 设平面BDE,即平面Q的法向量i=(x,少，2)， m=-+小9小-0 m=小-告=0 令x=5-V3,解得：y=0,2=1+元，六i=(5-50,1+ 公 :直线PC与平面0所成角为6， .incos(. PC. 1 PC-园2V31-y+1+2y2 满e0<<1,2=号 、1 解得： 18.(17分) -nx*+ (1)因为 的定义建为0+切）.8()-士+ &0=1闪o-1g- 当x∈(0,1)时，G()<0,当x∈(0，+o)时.G(x)>0, 故G()=g(x)在x∈(0,1)上单调递减，在x∈（山，+o)上单调递增， 所闭=血x+方间为L+四，区同为@)， (2)①对于凹函数y=m()定义域中的任意两个自变量，(：≠乃)， 46》.kenc7a5】 2 》 c--产 em,有5学 ②对不等式 动学子jas 沙罗 2恒成立， 构造函数 =n+.x02 即()+a(≥2n x+y 2恒成立， Y+ ,令()=h(x) e-2x+--3x+1.-+4r+1 (x3+x月 (+x) 今'()20，即x-4x2-1≤0，解得0<x2≤2+V5, 所@v2 是函数（的四区间， (02到=0v2+写，所以当e（0,2)时.（▣数。 由①知， A+a)22n) 当x=y时，等号成立， 州以1e@2. e+0小2fnt j 19.(17分) y.y=3 x2y2 )设点Tx),由下B三4知，x+2x-24,化简得4+。 =1 x2 y2 又7与1、B不能重合，所以动点T的轨达方程为4十方=1(x2) (2)(1)可设直线I方程为=少+1，点P(,出)，Q(:,) x=y+1 足+ 联立+3得.(6r+4加2+6g-9=0 -6t -9 △=362+36(3r+4)=144+144>0.则片+%3+4,5=3+4. 。D40a1,x+2x2+2+2)月 M46）N46 分别与x=4联立，得（x+2,“(”x+2 -3 F=3，% (”x2+2 ∴.FM·FN=9+ 36y1y2 =9+ 36yy2 、=9+ 36yy2 (x+2)(x2+2)(y+3)(y2+3)tPyy2+3(4+y2)+9 -9 36 =9+ 3t2+4 =0 4ty49 -92 ,所以，FM⊥FN. (i)先证明，在任意三角形OS7中，若OS=(m,m）,OT=(p,9), 自角形OST的面积S=51oSo7 sin 2507 2×m+m.Vp+g-cos305.07 1 mp+ng m2+n2p2+q2 _mg-np 2 M =4 由(i)知 FP=(x-1,)=(4,y), 623y(9-3) 3(少2-3) +32+3 22+3 94y2(y-3)(2-3)_94Pyy-3(4+y2)+9 4(+3)(y2+3) 4t2yy2+3(y+y2)+9 -9t2,18t2 =9.9 ,+9 3t2+43t2+4 81(2+1 43t2+4 -9t2.-18t2 +9 432+4) 3t2+43t2+4 s-州-2 6y91-9y 又 2x+2x2+2x+2x2+2 9y(y2+3) 9y2(%+3) 27(4-) (y+3)(y2+3)(y+3)(2+3)(+3)(2+3) 27(4-2) -6t -9 7+31(0+%)+9.因为当+%3x+4,530+4, -6t)2 36=12P+1 所以 -为=0y+)-4%=3+4+32+43r+4, 皮+0+为H9 218t2 36 +9= 32+432+432+4, S= 27(y-y2) 故F+3(0+5)+9 =92+1 由S号=20S,S2知， 43r2+4）) 解得 3 所以直线l的方程为V5x+y-V5=0或V5x-y-V3=0