湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷，以机器人销量、图书日竞赛等真实情境为载体，融合函数、统计、立体几何等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、相关系数、充分必要条件、双曲线离心率|基础概念辨析，如相关系数与相关性判断| |填空题|3题15分|导数计算、圆锥体积最值、函数最值|考查空间观念与数学抽象，如圆锥母线与体积关系| |解答题|5题77分|回归分析（机器人销量）、数列证明、立体几何（线面垂直与夹角）、正态分布（图书日竞赛）、函数单调性与极值|情境真实，如机器人销量残差计算；综合考查逻辑推理与模型意识，如函数极值点讨论|

湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 5．双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设A，B，C为同一单位圆上的三个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 8．已知，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列说法中错误的有（    ） A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量服从两点分布，其中，则， D．随机变量，若，则 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则___________ 13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______． 14．函数，若，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 16．已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 17．如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18．为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.    (1)求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19．已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B C A D C AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据求导公式逐个判断各个选项即可． 【详解】解：A．，故正确，不符合题意； B．，故正确，不符合题意； C．，故正确，不符合题意； D．，故选项错误，符合题意；． 故选：D． 2．A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 3．D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4．B 【分析】根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D.. 【详解】对于A，对，且， 则， 所以，不满足题意，故A错误； 对于B，对，且， 则 ， 所以，满足题意，故B正确； 对于C，对，且， 则 ， 所以，不满足题意，故C错误； 对于D，对，且， ， 由基本不等式可得， 所以， 即， 所以，不满足题意，故D错误. 5．C 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 6．A 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】不妨以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，，则， 因 ， 故当时，取得最小值为， 由于，故当时，取得最小值为， 此时，符合题意，故的最小值为. 7．D 【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 8．C 【分析】根据已知条件和的性质，结合换底公式以及指数、对数函数的性质，找到相应参照基准，比较大小，最终得出. 【详解】， ， 又， . 根据换底公式： ， 已知， ，由于底数，且真数，底数越大，对数值越小, 因此， 所以. 综上，，即. 故选：C. 9．AC 【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D． 【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，若，则，，， 所以，，故C错误； 对于D，随机变量，若，则，故D正确； 故选：AC． 10．ABD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】对A，对求导，利用极值点的求法，直接求出极值点，即可求解；对B，令，根据条件可得，构造函数，，将问题转化成求两函数图象交点，对求导，求出其单调区间和极值，进而得其图象，数形结合，即可求解；对C，根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，即可求解；对D，根据条件得恒成立，从而得到关于的方程组，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则， 令，得到或，当或时，，当，， 所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确， 对于B，令，得到，显然不满足方程，所以， 令，，则，令，得到， 由，得以，且，由，得或， 即的增区间为，减区间为， 又，当时，， 当（从左侧）时，，当（从右侧）时，， 当时，，图象如图， 由图知，当或时，与有三个交点， 即有三个零点，所以B正确， 对于C，因为，由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减， 所以，即，故C错误， 对于D，因为，所以， 整理得到，所以，解得，故D正确， 故选：ABD. 12．2或7 【分析】根据组合数的性质来求解的值. 【详解】由组合数的性质， 则有或， 解得或. 故答案为：2或7. 13． 【分析】由线面角的定义得出，从而得出，再由导数求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知. 圆锥的体积为 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即，此时. 故答案为：； 14． 【分析】利用导数判断函数在为增函数，计算求得，从而得到，由基本不等式即可求得答案. 【详解】因为的定义域为， ，所以在为增函数， ，所以， 又，在为增函数，所以，即， 因为，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 15．(1) (2)；残差为 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【详解】（1）由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. （2）由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 16．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 17．(1)证明见解析； (2)直线与平面所成角的正弦值为； (3)平面与平面夹角的余弦值为. 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面； (2)求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，与交于点，的中点为， 所以，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，即，又，平面，所以平面； （2）由(1)，，所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，，取，可得， 所以向量为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）由(1)，，，设平面的法向量为， 则，，所以，，取，则，所以为平面的一个法向量， 又向量为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1)； (2)① ；②分布列见解析 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可. 【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：， 所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. （2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， ， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 19．(1) (2)存在； (3) 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【详解】（1），则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. （2）设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. （3） ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $