河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测（二）数学试题

**基本信息** 立足高一核心知识，通过司马迁雕像测量、社团统计等真实情境，梯度设计检测数学眼光、思维与语言，适配月考巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、立体几何关系、向量运算|基础概念与空间想象结合，如第2题充要条件判断| |多选题|3/18|复数、统计概率|情境化数据分析，如第10题社团分层抽样| |填空题|3/15|圆锥体积、概率、解三角形|文化与数学建模融合，如第14题雕像高度测量| |解答题|5/77|复数、向量、统计、立体几何|综合应用与逻辑推理，如第19题圆台二面角计算|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D D D B B A AD ABD BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．8 13． 14． 15．(1)； (2)2； (3). 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算得解. （2）利用复数是实数的充要条件，结合实数大于0，列式求解即得. （3）利用复数除法及复数模的意义求解即得. 【详解】（1）由，得， 由z是纯虚数，得，解得， 所以m的值是. （2）由，得，解得， 所以m的值为2. （3）当时，，则， 所以. 16．（1）或；（2） 【分析】（1）设，由 和求解； （2）根据，得到，然后由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设， 因为向量，的夹角为，且，， 所以 , 解得, 又因为， 所以， 即或. （2）因为， 所以，即， 所以， 所以， ， ， 所以，当时，有最小值为. 17．(1)30人 (2)①3人，2人，1人；② 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 18．(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2)①；②． 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【详解】（1）证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．向量，，为第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）    A． B． C．6 D．5 5．已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．中，，是角的平分线，且，则的最小值为（    ） A． B． C．    · D． 7．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 8．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．，为纯虚数的充要条件是 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10．某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 11．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）    A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C．若保持，则点M的运动轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为等腰梯形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为______． 13．如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 14．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数，m为实数． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值； (3)若﹐求的值． 16．（15分）已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 17．（15分）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 18．（17分）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 19．（17分）如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． (1)证明：； (2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $