河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期6月测试（一）数学试题

**基本信息** 高一下期数学月考卷，以复数、立体几何、概率统计等核心知识为载体，通过动态立体几何（如第19题折叠问题）、统计分析（如第17题两校成绩对比）等综合性题目，考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配高一学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数模、线面关系、向量夹角|基础概念辨析，如第2题线面位置关系判断| |多选题|3/18|复数几何意义、解三角形|多选项分层考查，如第10题结合中点性质考查三角形最值| |填空题|3/15|斜二测画法、方差计算|空间直观与数据处理，如第13题新增数据后方差计算| |解答题|5/77|三点共线、统计分析、立体几何动态问题|综合性强，如第17题通过两校成绩分布考查数据建模，第19题折叠问题考查空间观念与逻辑推理|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则a，b，c共面 C．若，则 D．若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 3．已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（    ） A．1 B．-1 C． D．- 4．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（  ） A．9 B．11 C．13 D．15 6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 7．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则| C． D． 10．在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的周长的取值范围是 D．的最大值为 11．已知函数，则（   ） A．是周期函数 B．在区间上单调递减 C．的值域为 D．的图象关于直线对称，但不关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 14．如图，与存在对顶角，，且，若，则的长_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 16．（15分）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 17．（15分）A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.    (1)求的值； (2)若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？ (3)现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值. 18．（17分）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 19．（17分）如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： (1)当平面时，求的值； (2)若，，求与平面所成角的正弦值； (3)若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C B B C B D BC ABD ABD 12． 13． 14． 15．(1)5 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）， 又，三点共线，设， 则，故，故； （2）（ⅰ）由（1）可知，， 故， 又，，故； （ⅱ）四边形构成平行四边形，故， 又，设，则， 故，所以，解得， 故点的坐标为 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值． 【详解】（1）由，可得．   由正弦定理可得．   故．   由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则，   当且仅当即时取等号．   此时最大，且．   所以．   解得． 17．(1)； (2)72分以上 (3)最小为， . 【分析】（1）根据频率和为1求解. （2）根据频率分布直方图可知所求的分数应该在；列出方程求解即可. （3）写出的解析式，根据函数的单调性求的最值. 【详解】（1）由频率之和为1，故之和为， 解得：. （2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为， 则，解得，所以应该奖励72分以上的学生. （3），则时， ， 时， ， 由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 19．(1) (2)与平面所成角的正弦值 (3)取得最大值时 【分析】（1）连接交于点M，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面所成的角，求解即可； （3）作于，连接，所以即为与平面所成的角为，过作，垂足为，连结，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值. 【详解】（1）连接交于点M，连接， 因为，，所以， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； （2）因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； （3）作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，平面，所以平面， 又平面，.所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. 1 学科网（北京）股份有限公司 $