精品解析：安徽省合肥市长丰县第二中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 12，13，14 B. 24，25，26 C. 9，30，31 D. 9，40，41 3. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，点，分别是，的中点，点是上一点，．若，，则边的长是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 7. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 8. 如图，，是四边形的对角线，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 10. 如图，点M，N是菱形的对角线上的两点，若，，，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 代数式的最小值是________． 12. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 13. 如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 14. 如图，是正方形的对角线，点E，F分别为边，上的点，将和分别沿着，折叠，使得与重合，与重合，点B，D的落点都是点G． （1）________； （2）若分别交，于点P，Q，且，，则的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 计算：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 18. 如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为________个； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的倍，求的值． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 六、（本题满分12分） 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： （1）求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； （2）为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 某九年一贯制学校中的小学部和初中部各有1200名学生，为了了解小学部和初中部学生对宝岛台湾的相关知识掌握情况，该校政教处举办“宝岛台湾，中华瑰宝，美丽家园”的爱国主义活动，从小学部和初中部择优各选取20名学生参加关于台湾的历史、地理等相关知识竞赛，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】小学部20名学生测试成绩统计如下： 70，64，69，74，58，78，95，71，77，56，91，86，86，86，67，92，70，84，78，86． 【整理数据】小学部20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）如图所示： 初中部20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 小学部 初中部 81 74 【问题解决】 （1）___________，___________，补全频数分布直方图； （2）估计全校小学部对关于台湾的相关知识竞赛成绩在80分及以上的大约有多少人； （3）通过以上数据的分析，你认为小学部和初中部哪个部门的学生对台湾的相关知识掌握更好？请说明理由（两条即可）． 八、（本题满分14分） 23. 已知是平行四边形的对角线，是经过中点的直线且与，分别交于点，． （1）如图1，连接，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将平行四边形沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）如图3，连接，判断和之间的位置关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据绝对值、平方、二次根式的性质化简每个选项，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断结果即可． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A ：化简得 ，， 不是负数； B： 化简得 ，， 是负数； C： 化简得 ，， 不是负数； D ：化简得 ，， 不是负数． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 12，13，14 B. 24，25，26 C. 9，30，31 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A：∵ ，，， ∴ 12，13，14不是勾股数； B：∵ ，， ， ∴ 24，25，26不是勾股数； C：∵ ，， ， ∴ 9，30，31不是勾股数； D：∵ ， ∴ 9，40，41是勾股数． 3. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用二次根式的性质和绝对值的性质求解，根据等式得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： ，且， ∴， ∴， 移项，得， 两边同除以，得． 5. 如图，在中，于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 6. 如图，在中，点，分别是，的中点，点是上一点，．若，，则边的长是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【详解】解：，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，是的中点， ． 7. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误． 故选：C． 8. 如图，，是四边形的对角线，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质得出，，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质得出，即可判断D选项，其他选项条件不够，即可求解． 【详解】解：∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形； 当时，不能得出四边形是菱形，故A不正确； 当时，不能得出四边形是矩形，故B不正确； 当时，不能得出四边形是菱形，故C不正确； 当时， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ 当时， ， 即，则四边形是矩形，故D正确． 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10. 如图，点M，N是菱形的对角线上的两点，若，，，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，作，作，与交于点，连接，则四边形是平行四边形，进而可得当点，，共线时，有最小值，最小值为的长，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，作，作，与交于点，连接，则四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是菱形，与交于点，，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． 当点，，共线时，有最小值，最小值为的长， 即最小值为． 的最小值为，故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 代数式的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性，得到的取值范围，进而可求出代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，代数式取得最小值． 12. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，将三项测试成绩分别乘以对应的权重，求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩为： （分）． 13. 如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【答案】114 【解析】 【分析】连接，，作正六边形的外接圆，先根据正六边形的性质及圆周角定理，证明是直径，并求出，然后计算五边形的内角，求得，再根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，，作正六边形的外接圆， 则，，， 是直径，， 又正五边形的内角， ， ， ， 是等边三角形， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． 【点睛】用正多边形的外接圆及圆周角定理求正多边形中的角是常用的方法。 14. 如图，是正方形的对角线，点E，F分别为边，上的点，将和分别沿着，折叠，使得与重合，与重合，点B，D的落点都是点G． （1）________； （2）若分别交，于点P，Q，且，，则的长为________． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】（1）利用折叠角相等，推出是直角的一半，求得；（2）连接、，通过全等转化线段得、，证出，再用勾股定理算出． 【详解】（1）由折叠可知，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． （2）如图，连接，， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴． 由折叠的性质得 ，，，， 在和中 ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴，， 由折叠得，， ， 故E、G、F三点在同一条直线上， ∴， 在中 ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式运算，然后化简后合并即可； 【详解】解：原式 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将其代入可以求出答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，即， ， ， ，即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程，即， ，， ， ， 解得或． 18. 如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出的长，进而可以得到的各边长，再根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，进而得到所求面积为的面积减去的面积，即可得到答案； 【详解】解：∵， ， ， ， 是直角三角形，且 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解决此题的关键是合理的利用勾股定理逆定理． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为________个； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的倍，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 【小问2详解】 第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意得，， ∴ 解得：或（舍去） 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在菱形中，， 又∵点E是的中点， ∴，是的中位线． ∴，即． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形对角线互相平分、点是中点，判定为中位线，得到即，结合已知，证出四边形是平行四边形，再由得出一个内角是直角，进而证明该平行四边形为矩形． （2）利用菱形对角线互相垂直平分求出、长，通过勾股定理算出边长，再由三角形中位线性质求出，借助两种面积表达式用等面积法求出，最后用矩形邻边相乘求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∴． 由（1）知，四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴． ∴四边形的面积为． 六、（本题满分12分） 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： （1）求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； （2）为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】（1）利用增长率公式建立方程：，其中为增长次数，这里第一周到第三周经过2次增长，代入数据求解即可； （2）根据“日利润=每单利润×日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较低的配送费作为解． 【小问1详解】 解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得． 解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为． 【小问2详解】 解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得． 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元． 七、（本题满分12分） 22. 某九年一贯制学校中的小学部和初中部各有1200名学生，为了了解小学部和初中部学生对宝岛台湾的相关知识掌握情况，该校政教处举办“宝岛台湾，中华瑰宝，美丽家园”的爱国主义活动，从小学部和初中部择优各选取20名学生参加关于台湾的历史、地理等相关知识竞赛，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】小学部20名学生测试成绩统计如下： 70，64，69，74，58，78，95，71，77，56，91，86，86，86，67，92，70，84，78，86． 【整理数据】小学部20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）如图所示： 初中部20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 小学部 初中部 81 74 【问题解决】 （1）___________，___________，补全频数分布直方图； （2）估计全校小学部对关于台湾的相关知识竞赛成绩在80分及以上的大约有多少人； （3）通过以上数据的分析，你认为小学部和初中部哪个部门的学生对台湾的相关知识掌握更好？请说明理由（两条即可）． 【答案】（1） ；86； 补全频数分布直方图如下： （2）全校小学部对关于台湾的相关知识竞赛成绩在80分及以上的大约有480人 （3） 初中部学生对台湾的相关知识掌握更好． 理由如下： 初中部学生测试成绩的平均数、中位数均比小学部的高，而且初中部的方差较小，故初中部学生对台湾的相关知识掌握得更好． 【解析】 【分析】（1）先将小学部20名学生测试成绩从小到大排列，找出中间两个成绩，取平均值，即为m的值；找出出现次数最多的数据，即为n的值；求出这一组的成绩的个数，即可补全频数分布直方图； （2）小学部20个测试成绩中80分及以上的有8个，可用样本中成绩在80分及以上的人数占比去估计全校小学部对关于台湾的相关知识竞赛成绩在80分及以上的人数占比，即可求得答案； （3）从平均数、中位数及方差三个方面进行比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解:小学部20名学生测试成绩从小到大排列为 56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78， 84，86，86，86，86，91， 92， 95， 其中中间两个成绩为77，78， 所以其中位数； 由于20个成绩中86分有4个，为最多， 所以其众数； 由于这一组的成绩有7个； 【小问2详解】 解：小学部20个测试成绩中80分及以上的有8个， （人）， 答：全校小学部对关于台湾的相关知识竞赛成绩在80分及以上的大约有480人； 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知是平行四边形的对角线，是经过中点的直线且与，分别交于点，． （1）如图1，连接，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将平行四边形沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）如图3，连接，判断和之间的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． 又∵． ∴四边形是平行四边形． （2）（ⅰ）证明：如答图1，延长，交于点． 由（1）得． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 由折叠的性质知，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． （ⅱ）解：，证明如下： 如答图2，过点作，交于点， ∴． 由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 由（ⅰ）可知， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，得出，进而证明，得出，结合，即可得证； （2）（ⅰ）延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （ⅱ）过点作，交于点，证明，由（ⅰ）可知，，进而可得，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $