精品解析：安徽合肥市第四十二中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

八年级练习 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 3. 已知正多边形的每一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4. 若关于的方程的一个根是，则的值是() A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，对角线和相交于点O，且，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 8 6. 已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，以下判断中正确的是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，在中，对角线、交于点，点和点分别在、的延长线上．添加以下条件，不能说明四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 8. 若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（ ） A. 5，20 B. 5，22 C. 7，20 D. 7，22 9. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 12. 设、是方程的两个根，则的值为______． 13. 若一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差是______． 14. 如图，在菱形中，，F、E分别是、上的动点，满足． （1）的度数为______； （2）若，则周长的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 16. 已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的对角线共有多少条． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，是的边上一点，分别是、的中点，若的周长为，，求的长度． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上． （1）在给定的网格中作出一个以点为其中三个顶点的平行四边形； （2）利用无刻度直尺，求作射线，使其平分．（要求：保留作图痕迹） 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：______________________________； （2）写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） （3）根据上面的结论计算： ． 20. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 六、（本大题满分12分） 21. 【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 成绩 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）任务1：心理健康课前测试成绩在组的有______人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.6分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为54，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”? 七、（本大题满分12分） 22. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 八、（本大题满分14分） 23. 如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接、．若平分，求的度数； （3）如图3，若为中点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级练习 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件∶被告开方数为非负数，本题属于基础题型． 根据二次根式有意义的条件，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意 ，得 解得：． 故选：D． 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 3. 已知正多边形的每一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解． 【详解】解：∵所有内角都是135°， ∴每一个外角的度数是180°-135°=45°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷45°=8， 即这个多边形是八边形． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一． 4. 若关于的方程的一个根是，则的值是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的概念，直接代入根即可求解参数关系．将根代入方程，得到关于和的方程，通过代数变形求解． 【详解】解：是方程的根， 代入得， 即， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，矩形中，对角线和相交于点O，且，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】易得为含30度角的直角三角形，进而求出的长，再根据矩形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形的面积是. 6. 已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，以下判断中正确的是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状即可. 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， 该三角形是直角三角形， 又∵， ∴该三角形是等腰直角三角形. 7. 如图，在中，对角线、交于点，点和点分别在、的延长线上．添加以下条件，不能说明四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理一一判断即可． 【详解】解：在中，，， A、添加，不能说明四边形是平行四边形，故符合题意； B、， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故不符合题意； C、， ， 即， ， 四边形是平行四边形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形．故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理． 8. 若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（ ） A. 5，20 B. 5，22 C. 7，20 D. 7，22 【答案】C 【解析】 【分析】各数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，据此可求出平均数；各数据都加上一个数（或减去一个数）时，离差平方和不变，即可求出数据的离差平方和． 【详解】解：∵一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20， ∴数据，，，…，的平均数是，离差平方和是20. 9. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 10. 如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，过点作，可证，根据全等三角形的性质可知，设，则，，根据四边形的面积为，可得，根据线段之间的关系可得：，根据勾股定理可得：，解方程求出的值即为的长度． 【详解】解：如下图所示，连接交于点，过点作， 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则，， 四边形的面积为， ， 即， 整理可得：， ， ， 由折叠可知， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 的长度为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 12. 设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 13. 若一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位数的定义求出的值，再计算这组数据的平均数，最后根据方差公式计算方差即可． 【详解】解：这组数据共有个，是奇数，将数据从小到大排列后，中间位置的数为这组数据的中位数，已知中位数为，可得排列后第三个数为， ， 计算这组数据的平均数：， 根据方差公式计算方差：． 14. 如图，在菱形中，，F、E分别是、上的动点，满足． （1）的度数为______； （2）若，则周长的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，即可求解度数； （2）证明是等边三角形，再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可． 【详解】解：（1）如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， （2）∵， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵，， ∴, ∴， ∴,即的最小值为， ∴周长的最小值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】通过移项将右侧式子移到左边，提取公因式，利用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：移项，得 ， ， 提取整体公因式： ， 解得，． 16. 已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的对角线共有多少条． 【答案】 35 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出该多边形的边数，再利用n边形对角线条数的计算公式计算对角线的总条数，用到多边形内角和与对角线条数的相关性质.  【详解】解：设这个多边形的边数为 由题意，， 解得， ∴这个多边形的对角线共有条. 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，是的边上一点，分别是、的中点，若的周长为，，求的长度． 【答案】的长度为 【解析】 【分析】根据平行四边形周长与边长比例求出底边长度，再利用三角形中位线定理分别为中点，则是的中位线，，代入长度即可得到长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平行四边形周长， ， 已知，设，， 则， ， 解得， ， 分别是的中点， 是的中位线， 根据中位线性质：， 代入得： ． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上． （1）在给定的网格中作出一个以点为其中三个顶点的平行四边形； （2）利用无刻度直尺，求作射线，使其平分．（要求：保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）平行四边形判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知三点，分三种情况确定第四个顶点：①、为邻边；②、为邻边；③、为邻边，任选一种画出即可； （2）取格点、，连接、交于点，连接即为所求． 【小问1详解】 解：以、为一组邻边，过点作的平行线，沿网格横向向右平移，长度等于得到点，则四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：取格点、，连接、交于点， 则点是的中点， ， 平分． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：______________________________； （2）写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） （3）根据上面的结论计算： ． 【答案】（1） （2） （为正整数） （3） 【解析】 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； 【小问2详解】 解：第个等式：（为正整数）； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 六、（本大题满分12分） 21. 【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 成绩 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）任务1：心理健康课前测试成绩在组的有______人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.6分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为54，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”? 【答案】（1）12， （2） （3）解：该校开设的心理健康课达到“效果显著”，计算说明如下： 心理健康课前这50名同学的平均分为（分）， ∵心理健康课后的这50名同学的平均分为分， ∴， ∴该校开设的心理健康课达到“效果显著”． 【解析】 【分析】（1）先求出课前测试成绩为的人数，则可得在组和组的人数，据此补全频数分布直方图即可； （2）先分别求出心理健康课后测试成绩为、、、的人数，再根据中位数的定义求解即可； （3）先求出心理健康课前这50名同学的平均分，再计算高出的比例，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为， ∴课前测试成绩为的人数为（人）， ∴心理健康课前测试成绩在组的有（人）， 心理健康课前测试成绩在组的有（人）， 补全频数分布直方图：略． 【小问2详解】 解：心理健康课后测试成绩为的人数为（人）， 心理健康课后测试成绩为的人数为（人）， 由在心理健康课后的部分测试成绩可知，心理健康课后测试成绩为的人数为17人， 心理健康课后测试成绩为的人数为（人）， ∵将这50名同学的心理健康课后测试成绩从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，且，， ∴从小到大进行排序后，第25个数和第26个数均在组，分别为81，82， ∴心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是． 【小问3详解】 解：略． 七、（本大题满分12分） 22. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） 元或元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【小问1详解】 解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； 【小问2详解】 解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； 【小问3详解】 解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 八、（本大题满分14分） 23. 如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接、．若平分，求的度数； （3）如图3，若为中点，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证出即可得证； （2）先求出的度数，再得出，进而可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，利用三角形的内角和定理求解即可； （3）设，则，先求出的长，再利用的面积公式求出的长，然后求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $