课时分层检测(26) 抛物线及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十六） 抛物线及其标准方程 :7.已知F是抛物线y2=4x的焦点，M,N是该 …0 基础达标练。… 抛物线上两点，|MF|+|NF|=10,则MN 1.抛物线y2=一8x的焦点坐标是 的中点到准线的距离为 A.(2,0) B.(-2,0) :8.如图是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离 C.(4,0) D.(-4,0) 水面2米，水面AB宽4米.水位下降1米 2.若动点P与定点F(1,1)和直线1：3x十y-4 后，水面宽 米 =0的距离相等，则动点P的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 3.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 4m- y轴上，抛物线上的点P(m,一2)到焦点的：9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. 距离为4，则m的值可以为 ) (1)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2 A.-4 B.-2 C.2 D.4 的抛物线的标准方程， 4.若抛物线y2=4x的准线为1，P是抛物线上： (2)抛物线的焦点是双曲线16.x2-9y2=144 任意一点，则P到准线的距离与P到直线 的左顶点. 3.x十4y+7=0的距离之和的最小值是 A.2 c号 D.3 y2 已知双曲线号眉 =1(a>0,b>0)与抛物 线y2=4.x有一个公共的焦点F,且两曲线的 一个交点为P.若|PF|= ，则双曲线的渐 近线方程为 A.y=土1 B.y=士2x C.y=土√3x D.y 6.已知0为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p> O)的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂 直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ= 6,则C的准线方程为 161 班级 姓名 得分 10.动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切，且 ,m2 与直线1：x=1相切，求动圆圆心P的轨迹 交点为Pm,4 ,直线l:x=t(0<t<m)与 方程. 抛物线Z的交点为A,直线1与圆F在第一 象限的交点为B,则m= ;△FAB 周长的取值范围为 :5.有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河， 收获的蔬菜可送到F点或河 S 边运走.于是，菜地分为两个 区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较 近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1 和S2的分界线C上的点到河边与到F点的 距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原 点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如 图所示. (1)求菜地内的分界线C的方程； 0能力提升练0 (2)菜农从蔬菜运量估计出S1的面积是S2 1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线1与 面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值” x轴的交点为M,点P在抛物线上，且PM 为号设M是C上纵坐标为1的点，请计算 =√2PF|,则△PMF的面积为 ( ) 以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面 A.4 B.8 C.16 D.32 积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一 2.为响应国家“节能减排，开发容器 个更接近于S1面积的“经验值”. 清洁能源”的号召，小华制作 了一个太阳灶，如图所示.集 光板由抛物面（抛物线绕对称 轴旋转得到)形的反光镜构 成，已知镜口圆的直径为2m,镜深0.25m, 为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应 距离集光板顶点 A.0.5mB.1m C.1.5mD.2m 3.对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物 线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐： 标为(2,1). 其中满足抛物线方程y2=10x的是 .(要求填写适合条件的序号) 4.2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面直 角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象。 已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F: x2十(y一1)2=4与抛物线Z在第一象限的 162(w 6.x=- ·E·MF= 2 [超物线C的焦点为F(台， △PMF的面积为立 1 “号<1+<2，解得5<m<10。 0）将x=台代入y=2虹，解得y= -×4×4=8.] ∴.实数m的取值范图是(5,10). :2.B[若使吸收太阳 士p.因为P为C上一点，PF与x轴垂直， 5.解(1)设双曲线C的两个焦点分别为 光的效果最好，容器 F1(一c,0),F2(c,0),由题意，得c=2, 所以不妨授P(台）因为Q为x轴上 灶图应在抛物面对 应轴裁面的抛物线 A(1,0.25） ∴a2+6=c2=4,则a=√2，即所求双曲线 的焦点处，如图，画 C的方程为x2一v2=2. 一点，且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧，又 出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛 (2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称： 因为FQ=6,所以Q6+专，0），则P 物线方程x2=2py(p>0),集光板端点 性可知，中点不可能为P(1,2),故此时不 =(6,-p.因为PQ⊥OP,所以Pi.Oi A(1,0.25),代入抛物线方程，得2p一4， 满足题意： 当AB所在直线斜率存在时，设AB所在： 所以抛物线方程为x=4y,故焦点坐标是 直线的方程为y一k.x十n,A(x1, =6X号-p2=0,因为p>0,所以p=3, 2 F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点 1m.故选B.] y),B(x2), 3 所以C的准线方程为x=一是] !3.②④[抛物线y2=10x的焦点在x轴 联立y红四得(1-)x2-2mx- {x2-y2=2, 7.5[F是抛物线y2=4x的焦点， 上，②满足，①不满足；设M1,y%)是y2 (n2十2)=0， .F(1,0),准线方程为x=一1， : 10x上-点，则MF=1+号-1+号 则△=4km2一4(1一k°)（一m一2）= 设M(,y),V(2,),∴|MF+NF 7 -8k+4n2+8>0,即2k-n-2<0①，1 =x1+1十x2+1=10,解得x1十x2=8, 2 ≠6，所以③不满足；由于抛物线y2 2km=2②， x1十x2=1—R 线段MW中点的横坐标为4，.线段 MV的中，点到准线的距离为4十1=5.] 10x的焦点为（受，0过该焦点的直线 点P(1,2)在AB所在直线y=kx十n上，！8.2√6[建立如图所示 即2=k十n③. 的平面直角坐标系， 方程为y= 一)若由原点向该直 联立@③两式，解得-合m-号，经检 设抛物线的方程为x 线作垂线，垂足为(2,1)时，则k=一2，此 验，符合题意，因此直线方程为x一2y十3： =一2py(p>0),则点 2 时直线存在，所以④满足，] (2,一2)在抛物线上， =0 4解如图所示，直线1与抛物线Z的准线 代入可得p=1,所以 课时分层检测（二十六） 交于点C, x2=一2y当y=一3时，x2=6,所以水面 基础达标练 1.By=一8x,p=4焦点坐标为9.解(1)：焦点到准线的距离是22p 宽为2√6米.] (-2,0).」 2.D[法一设动点P的坐标为(x,y). =4, .当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程 则√(x-1)2+(y-1)F-3.x+y-4 /10 为x2=4y或x2=-4y. 整理，得x2+9y2+4x-12y-6.xy+41 之 (2)双曲线方程可化为号一=1，左顶！ =0, /x2=4y, 即(x-3y十2)2=0，∴x-3y十2=0. 点为（一3,0），由题意设抛物线方程为y! 由}+(y-1)=4,解得{=2， y=1, 所以动点P的轨迹为直线 =-2px(p>0)且-号=-3，p=6, (x>0,y0, 2 法二显然定点F(1,1)在直线1：3x十y! 所以m=2. 一4=0上，则与定点F和直线1距离相等 ∴.抛物线的方程为y=一12x. 的动点P的轨迹是过F点且与直线1垂：10.解如图，设动圆圆 由∫x6, x=t, 解得) {x2=4y, 直的一条直线，门 心P(x,y),过点P y= 3.AD[由题可设抛物线的标准方程为x2! 作PD⊥I于点D, D =一2py(p0),由定义知点P到准线的· 作直线1：x=2,过点 所8A(,片) P作PD'⊥L'于点 距离为4，故十2=4，p=4,2= x=t, 2 D',连接PA 由x2+(y-1)2=4, -8y. 设圆A的半径为r, （x>0,y>0, 将点P的坐标代入x2=一8y,得m2=一8 动圆P的半径为R,可知r=1 ×(一2)，解得n=士4.] 圆P与圆A外切， 解得∫26， 1y=1+√/4-F. 4.A[由抛物线定义知，点P到准线L的距 ..PA=R+r=R+1. 所以B(t,1+√/4-t), 离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y 又，圆P与直线l:x一1相切， 由抛物线的定义得AF=AC, =4x及直线3x十4v十7=0，得直线与抛· PD'=PD+DD =R+1. 所以△FAB周长=FA|+FB|+AB 物线相离，∴，点P到准线1的距离与点P· PA=PD,即动点P到定点A与 =AC+AB+BF=BC+2 到直线3x十4y十7=0的距离之和的最小· 到定直线的距离相等， 值为，点F(1,0)到直线3x十4y十7=0的距， ·点P的轨迹是以A为焦点，以为准！ =W4-t2+4. 离，即3+7 线的抛物线. 因为t∈(0,2)， =2.」 √/32+42 设抛物线的方程为y=一2px(p>0),: 所以4-+4∈(4,6). 5.C抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),1 可知p=4, 5.解(1)因为C上的点到直线EH与到点 F的距离相等，所以C是以F为焦点，EH p=2,抛物线和双曲线有一个公共的焦 .所求动圆圆心P的轨迹方程为y2= -8x 为准线的抛物线在正方形EFGH内的部 点，∴.p=2c,即c=1. 设P(m,n),由抛物线的定义知 ·能力提升练 分，易得其方程为y2=4x(0y<2). 5 11.B[如图所示，易得 PF=m十 =m十1=，m= F(2,0),过，点P作PN (2)由(1)知，点M的垒标为（子，1则 ⊥1，垂足为N, 点P的坐标为 PM=PF, 所求的短形面软为(1十宁）)×2=，所 a2+b-1, PF=PN, 2 ∴.PM=√2PN. 求的五边形面积为1X2十号X1×十 4 {9-5=1,解得 则双曲线！ (4a2 D= 3 ∴|MN=PN. 2 ×（+×1=共 十2，解得t= 的渐近线方程为y=士 b x=土√3x.故 设P则= 因为矩形面积与S1面积的“经验值”之差 士4， 远C.] 的绝对值为号一号引-，而五边形 239 面积与S1面积的“经验值”之差的绝对值：则x1十x?=6, 以E为坐标原点， 为丹-号引=立<日，所以五边形西 所以|AB=1十十p=8. OE为x轴，与CD 10.解(1)依据题意动点P到F(1,0)的距： 平行的直线为y轴 积更接近于S面积的“经验值” 离等于P到直线x=一1的距离， 建立如图所示的平 课时分层检测（二十七）》 由抛物线定义知，点P的轨迹是以F(1,! 面直角坐标系，则A 基础达标练 0)为焦点，直线x=一1为准线的抛 C(-1,√2)， 1.AB[设点P的坐标为(x,y), 物线， 设抛物线的方程为y2=一2p.x(p>0), PF=5,.x-(-2)=5,.x=3. 所以点P的轨迹C的方程为y2=4x. ∴.(W2)2=-2p×(-1),解得p=1, 把x=3代入方程y2=8x,得y=24, (2)由于过，点F(1,0)的直线1与，点P的1 故焦，点到其准线的距离等于1，] ∴y=±2V6. 轨迹C交于两个不同点A,B, :4.解(1)若选①：由抛物线的性质，得PF 则直线1不与x轴重合，设直线1的方程 ∴.点P的坐标为(3，士2√6).] 为x=ny十1，A(x1,y1),B(x2,2), =x十 2.AB[设抛物线方程为y2=2px或y2= 一2px(p0), 联立y十1，整理，得y一4my-4 {y2=4z, 因为PF到=十1，所以十号=十1， 依题意将x=号代入=2pr或y= =0, 解得p=2. 一2px,得y=p, 剥△-16n2+16>0. 故抛物线C的标准方程为y2=4x, ∴2y=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2 由根与系数的关系，得y1十y2=4n,y2 若选②：因为=2.x0=2,所以y。=2,x =1, =8x或y2=-8x.] 3.D[设A(x1y1),Bx,), 因为EA⊥EB,则EA·E第=无1x十（y 因为点P(x0,w)在抛物线C上，所以6 =2p.xo,即2p=4,解得p=2, 则FA+FB=x1十x十2. -1)(-1D=+My-(y+) 故抛物线C的标准方程为y=4x 由w=4x, 2x+y4=0,得x-5x+4=0, 16 +1=1-4-4n十1=0，解得m= 2 若选③：因为PFLx轴，所以PF=号 .x1十x2=5,1十x2十2=7.故远D.] 4.B[点(x,y)在抛物线y2=4x上，.x 所以直线1的方程为x= 2y+1, +号=p,因为PF到=2，所以b=2. ≥0， 即2x+y-2=0. 故抛物线C的标准方程为y=4x “=+合+3=+2x+3=(x+能力提升练 (2)设A(,y),B(x,y)由(1)可 :1.ABC[如图所示，易 知，F(1,0). 1)2+2, .当x=0时，之最小，最小值为3.故 知y1=1,.12=4x M(3,1) 联立一2=0·整理，得一4y一8 {y2=4x, 选B.] >x14 5.A[设A(x1,y1),B(x2,), 0 =0, 则y1+=4,y12=-8, 则{=4'>(-)(y+)=4(x1 Q y1-为|=√(y+y2)2-4yy= yi=4x2 √16+32=45， xg）. (1,0),从而kPF= 1-0=-4 1一1 又AB的中点为M(2,1),∴y十为=2， 4 故AB-√+Fy-4=2X45 所以直线1的斜牵-二兰=2， x1一x2 直线PF的方程为y=一3(x-1) =4√6， 因此直线1的方程为y一1=2(x一2)， y2=4.x, 因为点F到直线1的距离d=1一2 1+1 整理，得2x-y-3=0.故选A] 由 4(x-1), 得y2+3y-4=0, 6.y=16.x[由抛物线的定义，知MF|= y=- 2 xM十号=6，又xw=2,即号=4，所以2p 解得y=1或y=一4. 1 =16,据此可知抛物线的方程为y: 当y-1时，=有当y=一4时，江=4 所以△ABF的面积为号AB·d=号X -16x.] 因此，Q(4,一4)，.x12= 1×4=1,故 46x号-2限 7.√5[设A(x1,y1),B(x2,边)，代入抛 物线y=4x,得y听=4x1,yi=4x2, A正确： !5.解(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过 4 两式相减，得k=一业=4 =2 kpo=kPE= ,故B正确： 点(1,1)，所以1=2p,解得p=2, x1一x2y1十2 所以抛物线C的方程为y2=x. 所以直线AB的方程为y一1=2(x一1)，： PQ 1 4 +(-4-1)2= 25 (2)证明：设点A,B的坐标分别为(， 即y=2x-1, 4 y1),(y5,y2), 代入抛物线的方程，得4.x2一8.x+1=0, 故C正确： L1的方程为y=1,l2的方程为y=一4， 所以k1=兰= 则十=2，=有，则AB引= y吃y2 ∴.l1与l2之间的距离为5，故D错误.故 √/1+k2· √（十x2)-4x1x2 远A、B、C.] 所以k1k2一 1=一2，即y1y=一2· y12 ·2.B[建立平面直角坐标系 当直线AB的斜率不存在时，y1=一y2,直 5×(2-4x） =√5，即弦AB的 如图所示，设抛物线的解析 式为x2=-2py(p>0 线AB的方程为x=之； 长为/15.] D(15,t)(0),则，点B(30, 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的 8.y=16x[依题意知，椭圆的右焦点1 一150十t),由B,D在抛物 方程为y=kx十n(k≠0，m≠0)， F(4,0),设抛物线的方程为y一2p.x(p 线上，得 >0),则号=4，∴p=8,抛物线的方程 (152=-2pt, 联立y=x, {y=kx十m, 消去x整理，得y一y 30=-2p(t-150), 十=0, 为y2=16x.] 9 9.解(1)由抛物线C:y=2px(p>0)的焦 解得p=·所以抛物线顶端O到连桥 故=公=一，得k=一2， 1 点F到其准线的距离为2，得p=2, t=-50, 则直线AB的方程为y=一2m.x十n, 所以抛物线C的方程为y=4x,焦点坐标： AB的距离为150+50=200m.故选B.] 可化为y= 为(1.0). 31[连接PO,由V=3rh=3π× 2m(x一)所以直线过点 (2)过焦，点F且倾斜角为45°的直线1的方 程为y=x-1,设A(x1,M),B(x), (2)XP0=2E ，得P0=E,则PB= (o 联立消去得-6+1-0， 2,OE=1,OC=OD=√2， 综上，直线AB过定点（分0 240