精品解析：天津市武清区黄花店中学2025-2026学年高二下学期第二次形成性练习数学试题

天津市武清区黄花店中学2025－2026学年 高二下学期第二次形成性练习 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题 1. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【解析】 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用列举法表示出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以． 故选：A． 3. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得. 【详解】对于A项，因，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项错误. 故选：B. 4. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 1700 B. 1600 C. 1400 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而估算出结果． 【详解】因为服从正态分布，且， 所以该企业生产的该种零件合格的概率， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为， 故选：C． 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出男生甲被选中的概率和甲乙都被选中的概率，然后由条件概率公式可得. 【详解】记男生甲被选中为事件A，女生乙被选中为事件B， 则， 所以. 故选：D 7. 在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】间接法，先求出小生和老生不相邻的情况，再减去老旦排在最右边的情况，即可得解. 【详解】首先按照小生和老生不相邻的要求共有种排法， 其中老旦排在最右边情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有， 由此所成的3个空中将小生、老生插入有， 所以排法有种， 所以满足题意的不同排法总数是. 故选：C 8. 若函数，则方程的实数根个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 9. 已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的最小值，再对该最小值的符号分类讨论即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，故函数在上递减，在上递增， 则当时，函数取得最小值. 若，则，从而没有零点，满足条件； 若，由于，， 故由零点存在定理可知在上必有一个零点，不满足条件. 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将零点的存在性问题转化为极值点的符号问题，属于较为常规的问题. 10. 下列命题： ①在线性回归模型中，用相关指数来刻画回归效果，越小，则残差平方和越小，说明拟合效果越好； ②对两个变量和进行回归分析，若相关系数为 r=-0.9462则变量和之间具有线性相关关系； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.5个单位； ④对于两个分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大. 其中不正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关指数的性质可判断①，根据相关系数的性质可判断②，根据回归方程的性质可判断③，根据随机变量的观测值的关系可判断④. 【详解】解：对于①，在线性回归模型中，用相关指数来刻画回归效果，越小，则残差平方和越小，说明拟合效果越差，故①错误； 对于②，对两个变量和进行回归分析，若相关系数为r=-0.9462，即，则变量和之间具有线性相关关系，故②正确； 对于③，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故③错误； 对于④，对于两个分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越小，故④错误. 故选：C. 三、填空题 11. 曲线在处的切线方程是__________________________ 【答案】 【解析】 【分析】求导可得切点处斜率，即可由点斜式求解直线方程. 【详解】由可得，故在处的切线斜率为， 又切点为，故切线方程为， 故答案为： 12. 的展开式的第四项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得. 【详解】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 13. 已知随机变量，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得. 【详解】由，故，则， 则. 故答案为：. 14. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 【答案】0.054 【解析】 【分析】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市,记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，求出,,,,,,根据全概率公式可得答案 【详解】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市, 记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，,且彼此互斥, 依题意，,,, ,,, 由全概率公式得 ， 所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. 故答案为：0.054 15. 已知，，且，则的最小值是__________． 【答案】##． 【解析】 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 四、解答题 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若，求函数的最值. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【小问1详解】 由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. 【小问2详解】 由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 17. 在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. （1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； （2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列. 【答案】（1）. （2）分布列： 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到变量，结合二项分布的期望与方差的公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量服从超几何分布，结合，求得相应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，. 【小问2详解】 由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 18. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【小问1详解】 因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 19. 为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． （1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 【答案】（1）列联表见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意即可完善列联表； （2）求出即可求解. 【小问1详解】 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 【小问2详解】假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关， 则根据列联表中的数据计算， 所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于. 20. 已知是函数的一个极值点. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1）16 （2）单调增区间为，单调减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先依据题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）利用函数的导数即可求得函数的单调区间； （3）依据函数的单调性和极值，结合直线与函数的图像即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 由是函数的一个极值点， 则，解之得.经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得 由，可得或， 由，可得， 则函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）可得，函数的极大值为， 函数的极小值为， 又， 函数的简图如下： 当直线与函数的图像有3个交点时， 函数有3个零点， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区黄花店中学2025－2026学年 高二下学期第二次形成性练习 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题 1. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 1700 B. 1600 C. 1400 D. 600 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 8. 若函数，则方程的实数根个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题： ①在线性回归模型中，用相关指数来刻画回归效果，越小，则残差平方和越小，说明拟合效果越好； ②对两个变量和进行回归分析，若相关系数为 r=-0.9462则变量和之间具有线性相关关系； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.5个单位； ④对于两个分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大. 其中不正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、填空题 11. 曲线在处的切线方程是__________________________ 12. 的展开式的第四项为_________. 13. 已知随机变量，，则_______. 14. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 15. 已知，，且，则的最小值是__________． 四、解答题 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若，求函数的最值. 17. 在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. （1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； （2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列. 18. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 19. 为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． （1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 20. 已知是函数的一个极值点. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $