山西现代双语学校学校联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高二年级期末数学试卷立足人教A版核心内容，通过风筝节出行统计等现实情境与函数零点、双曲线证明等综合题，考查数学观察、逻辑推理与模型表达能力，适配高二学段期末评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、函数性质、统计相关|单选考基础（如集合关系），多选考综合判断（如函数奇偶性与单调性）| |填空题|3/15|二项式展开、不等式最值、二次函数|注重运算与概念应用（如含奇偶性的二次函数解析式）| |解答题|5/77|数列、统计概率、立体几何、函数导数、双曲线|突出应用与探究，如统计题结合低碳出行概率计算，函数题关联零点与等差数列，双曲线题综合几何证明|

高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学试题答案 注意事项：1.本试卷满分150分，答题时间120分钟。 2.本试卷考查内容为：高中人教A版内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.答案C【详解】A={xx=3k,k∈Z,B={xx=6k,k∈Z, ·A是所有3的整数倍构成的集合，B是所有6的整数倍构成的集合 B中元素都属于集合A,.B三A,故选：C 2.答案D【详解】对于A,若0>a>b,则0<-a<-b,.(a)<(-b),即a2<b2,A错误： 对于B,当M=-1,b=0时，a2>b2,此时无法得到a>b>0,B错误： 对于C,当0>a>b时，么>1，C错误： 对T.方法1当6味i-=包-o公5上a-6-。d的， 正确； 方法二：当a>b≥0时，a3>b3≥0；当a>0≥b时，d2>0≥b3；当03a>b时，0≥a2>b: 综上所述：当a>b时，a3>b3,D正确， 3【答案】D【详解】因为子0，所以幂西数y=在Q+)上是增函数，所以A错误： 令f(x)=e-e,则其定义域为R,且f(-x)=e-e=-f(x), 所以函数y=ex-e是奇函数，所以B错误： 因为g= lgx,x>0 g(x),x<0’ 所以函数y=lgx在(0，+o)上单调递增，所以C错误： 函数)-十1的定义域为R +1x+,所以函数=是偶函数 1 1 对x∈R,-x∈R, Γx2+1 第1页 因为函数y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，且x2+1≥1>0， 所以函数-中在(0+)上单词递减，所以D正确 4.答案A【详解】①分析图1的相关系数：观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状 区域内：随着x的增大，y总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故<0： ②分析图2的相关系数乃：观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内： 随着x的增大，y总体呈增大趋势： 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故？>0： 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即5>。 选项A,已知5<0且2>0，且5>，故片+3>0成立： 选项B,因为？<0且5>0，所以1-乃<0，故选项B错误： 选项C,因为5<0且5>0，则5<0，选项C错误： 选项D,因为5<0且乃>0，则上<0，显然不可能大于1，故选项D错误 5.【答案】A【详解】由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=1-a=0, 故a=1,当x≥0时，f(x)=e-1,所以f(n)=f(-ln2)=-fn2)=-1, 6.【答案】B【详解】由题可知：径≤1-1≤0=≤0号≥0x<-2或x≥行 x+2 x+2 不等式的解集为[x≥域x<-23 7.【答案】D【解析】将分别储存着15L、20L、25L水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，因为 15=3×5,20=4×5,25=5×5,问题相当于把3个甲、4个乙、5个丙进行排序，排序的方法有 CCgC=27720种.故选D. 共5页 8.【答案】C【详解】当x∈(0，+0)时，不等式(x+b-)-1g22s0恒成立， 得当x+b-1≥0时，1g20≤0恒成立，且当x+b-1≤0时，1g22≥0恒成立， 即当x≥1-b时，x≥2a恒成立，且当x≤1-b时，0<x≤2a恒成立， 因此2a≤1-b且2a≥1-b,则2a=1-b,即2a+b=1, 于是日+元a:b日分=4+2 .b.4a 4+240-8,当且仅当2 ,即b=2a=】时取等号， a b a b Va b a b 所以二+2的最小值为8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】CD 【分析】解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B;由抽象函数定义域求法 求函数定义域判断C:应用换元法求函数解析式，并注意定义域判断D: 【详解】对于A:由：-2=2<0，则x(2x-1)>0,可得x<0或x>故命题错： 对于B:由y=V的定义域为R,而y=(√)的定义域为[0，+∞)，显然不是同一函数，错： 对于C:由f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则-1≤2x+1≤3，即函数f(x)的定义域为[-1,3]，对： 对于D:设t=V-1≥-1，则x=(t+1)2, 故f(t)=(t+1)2-3(t+1)=t2-t-2且t≥-1，所以f(x)=x2-x-2(x≥-1)，对. 10.【答案】ACD 【分析】利用指数函数单调性即可对A判断：由函数y=V一x2+6x一5的定义域为[1,5]，可对B判 断；运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可对C判断：利用假设a+b≤0，再结合函数单 调性得f(a)+f(b)≤f(-b)+f(-a)与题意矛盾，可证假设不成立，则可对D判断. 【详解】A:由r+2x+3=c+1P+2≥2.所以（目2 ≤（)=故A正确： B:函数y=√一x2+6x-5的定义域为-x2+6x-5≥0，解得1≤x≤5，因此函数的单调递减区间 为[3,5，故B错误： C:若20=3=12，则a=1og212,b=10g312,则2+1=2 1 a+6=1g2i2+1og3i =2l0g122+l0g123=1og1212=1, 故C正确： 第2页 D:假设a+b≤0，则a≤-b,则-a≥b,由于f(x)在R上是增函数， 则f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+fb)≤f(-b)+f(-a),这与f(a)+f(b)>f(-a)+ f(-b)矛盾，则假设不成立，所以a+b>0,故D正确. 11.【答案】ACD 【分析】令x=0,可得y=f(x)是偶函数，由f(3x+1)=-f(-3x+1),可得f(x)图象关于点(1,0) 对称，可判断B:进而可求得周期判断A;利用周期与对称性计算可判断CD, 【详解】令x=0,可得fy)+f(-y)=2f(0)fy)=2fy), 所以f(-y)=f6y),所以y=f(x)是偶函数， 又因为f3x+1)=-f(-3x+1),所以f(1)=-f(1),所以f(1)=0, 又由f3x+1)=-f(-3x+1),可得f(x+1)+f(-x+1)=0, 所以f(x)图象关于点(1,0)对称，故B错误： 又由f(x+1)=-f(-x+1)和偶函数性质，可得f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-fx),所以fx+4)=-f(x+2)=f(x), 即4是函数f(x)的周期，故8也是f(x)的周期，故A正确： 则f(2025)=f(1+506×4)=f(1)=0,故C正确： 又f(2)=-f(0)=-1,f(3)=-f(1)=0,f(4)=f(0)=1, 则2f)=f(0)+506×[f)+f(2)+f3)+f(4)=1+506×(0-1+0+1)=1,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. Λ6 12.【答案】 【详好】 1 2vx 的展开式的第3项7，=cx(-)=华， 13.答案为：81 【详解】a>1,b>1,.log3a>0,log3b>0, log3a+log3b≥2V1og3a·log3b=2V4=4, 当且仅当log3a=log3b即a=b时等号成立， 又log3a+log3b=log3ab,log3ab≥4=log334, .ab≥34=81，则ab的最小值为81. 共5页 14.【答案】 f(x)=x2-2x+1 [6 【详解】①设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c 又f(x+1)为偶函数，所以2a+b=0, 8的=f+2x-_m2+伽+c+2x瓜+b+2+9因为g0)是奇函数，所以g(←9)=-g),即 X 1 -m+b+2-C=-m-b-2-￡ 化简得b+2=-(b+2),即b=-2, 又2a+b=0,所以a=1,所以f(x=x-2x+c 又f(-1)=4,所以1+2+c=4,解得c=1 所以f(9=-2x+1,8()=x+ ②令t=log3x,t∈L,log38], 3 1 则8(log3x)+log,x2可化为：t++t≥)，t>0, 2 13-1 两边除以t得m之一京+ [11 设h0=-r+3u-1, 3 13 )2 对称轴为u= 4'log 8 4 1,故最大值为到 1=6 4+ 24 若u∈ ≥一亭+立1恒成立，则m≥h加0a,故m的取值范国是一石+树 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【详解】(1)设数列{an}的公比为q(q≠0). 因为2,4+1,4成等差数列，所以2(+1)=2+4,2(49+1)=2+4q，....2分 第3页 所以q-2q=0,解得q=2或9=0（舍去）， 所以数列{a}的通项公式am=2”(n∈N)....…....4分 n(1+n) (2）因为444…g=2223…2=22=少，所以 b=n(n+1) 2 ………….8分 12 ............10分 所8-传)6G》日本中 2 n+l ·….13分 16.【解】(1)第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件A,根据题中的表格求出P(A) 记“低碳出行”为事件A,估计P(A)=1- 38+423 200-5 …2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布，根据公式求出P(X=2)及E(X) ……3分 …5分 B(X0=四=3x5 39 …7分 (2)第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B,并求出P(④，P(BA),P(BA 由(1)知P0=},则有P团= 2 …9分 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B, 由题意P(8B0-子P(到团= …11分 第二步：根据全概率公式求出P(B) 所以PB)=PP(B0+P团PB团=×4+2x31 555525 ，…15分 共5页 17.(15分) 【解析】(1)连接AF、CF,如图所示： 因为ABC和△APC均为等边三角形，所以PA=PC=AC=AB=BC, 因为F为PB的中点，所以AF⊥PB,CF⊥PB, (2分) 因为AF⌒CF=F,AF、CFC平面ACF,所以PB⊥平面ACF, 因为PBC平面PBC,所以平面PBC⊥平面ACF, (5分) B (2)取AC的中点O,连接OB、OP,如图所示， 因为PA=PC=AC=AB=BC,O为AC的中点，则OB⊥AC,OP⊥AC, 所以二面角P-AC-B的平面角为∠POB,设∠POB=日， 因为OPúOB=O,OP、OBC平面POB,所以AC⊥平面POB, (8分) 以点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴，平面POB内过点O且垂直于OB的直线为 二轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)、B0,V5,0）、C(-1,0,0)、P(0,3cos0,v3sim0）: 4B=(-1,5,0）,CP=(1,w5cos0,5sin6) (10分) 3cos0-1_ cos- AB CP (13分) 2×2 P 解得em日-名（合去）或cm0-分数=面角P-C-B的余安货为 (15分) 6 2 18.【详解】(1)解：当a=1时，f(x)= e+2x,x≤0 e-2x,x>0 当x>0时，f(x)=e-2,所以 第4页 ∫(0)=-2.f0)=-2,..........2分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-2,即 y=(e-2)x...4分 (2)解：(i)当x≤0时，由a>0得f(x)=a+2x单调递增，且f(0)=a. 当x>0时，f'(x)=ae-2, 若a≥2，因为e>1,所以f'(x)>0,即f(x)在(0，+∞)上单调递增，且ae°-2x0=a, 从而∫(x)在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题 意， …….7分 若0<a<2,令f()=0,可得x=血n2, 当x∈0，n2时，f()<0,f(9)单调递减。 a 当e子把)时。f>0,单调造指。 又当x→-时f(x)→-o,当x→+m时f(x)→+0， f(0)>0 a>0 2 e 所以实数a的取 0. (i)由题可知f(s)=a+2x=0,f(6)=ae-2x=0,f(s)=a9-2x=0, 所以a= 2x_2x2-25 e ee 则e-=-之①，e3=点②.12分 X2 设公差为d(d>0),即x-=-3=d, 名-d+e,@可得e=+d, ①可得e2=- dea d 共5页 则aea d 1+ee2-1 ,化简得(e)-2e2-1=0,解得e2=√2+1（负值舍去）， 即公差d=ln(V2+1..... ………..17分 19.【详解】(1)不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率e=C=2O, 在ry2 =1中，当=e时，y=士左，故MN作2b=6,即公=3 a b2 a ② …….2分 a=1 又因c2=a2+b③，联立①②③，解得 b=5 故双曲线C的标准方程为-号-1…4分 (2)由(1)得耳(2，O),当直线MN的斜率为0时，直线N与双曲线的两个交点分别在左支和右支， 不符合条件： 当直线N的斜率不为O时，设直线N的方程为x=ty+2, x=y+2 由 x-上=1化简得(3-0/+12y+9=0, 3 3t2-1≠0 设M(1,1),W2y2),则{△=36t2+36>0,解得 9 2 <0 3t2-1 0≤<3 则g☒=F树+f到=-Q+)头-20只 =-3,12 3t2-1 1-321 因0s<兮则011，故712，即-3+ 1-30≥9 故MN的最小值为9......... .10分 (3)如图，设心P与边MN切于点E, 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，2|ME=M+|MW|-N| =M|+|M|+|NE|-Nr|=(2+|MD+|M|-(W-|NrD 第5页 =2+|M|+|M|-2=2M|,即点E与点E重合，即P与边MN切于点....12分 设P与边M切于点G,则|GRHM引-|MG引MR|-|M=2, 在RtGR中，|PRP=PGP+|GRPHPEP+|GRP=PEP+4. 设点6，点0，则化+2少+写=化2少++4，解得气行 即点P在直线x=上，过点Q)作直线x号的垂线，交直线x于点7， 其中， 1那1s29+-V-2y+35-252 2,..15分 152 12 12 设点2关于直线x=1的对称点为点D,所以QE=2QT曰QD1. 因为点Q与点D,点A与点乃分别关于直线x=对称， 所以|DA=OF曰QD|,IPA=PFI且|PQ曰PD, 所以点A,D,2均在P上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF2, 所以∠AP2=2∠EP见....17分 F 共5页高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 月 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 製 杯 2[A]B][C][D] 6[A][B][CD] 3[A]B][C][D] 7[A][B][CD] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9 [A][B]IC][D] 10[A][B][C][D] 11[A[BJ[C][D] 射 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) P B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学试题答案 注意事项：1.本试卷满分150分，答题时间120分钟。 2.本试卷考查内容为：高中人教A版内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案C【详解】, A是所有3的整数倍构成的集合，B是所有6的整数倍构成的集合 B中元素都属于集合A，，故选：C 2．答案D【详解】对于A，若，则，，即，A错误； 对于B，当，时，，此时无法得到，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，方法一：当时，，，D正确； 方法二：当时，；当时，；当时，； 综上所述：当时，，D正确. 3.【答案】D【详解】因为，所以幂函数在上是增函数，所以A错误； 令，则其定义域为，且， 所以函数是奇函数，所以B错误； 因为，所以函数在上单调递增，所以C错误； 函数的定义域为， 对，，所以函数是偶函数. 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，所以D正确. 4．答案A【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内；随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故； ②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内； 随着的增大，总体呈增大趋势； 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即 选项，已知且，且，故 成立； 选项，因为且，所以，故选项B错误； 选项，因为且，则，选项C错误； 选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误 5.【答案】A【详解】由是定义在上的奇函数，得， 故，当时，，所以 ， 6．【答案】B【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 7.【答案】D【解析】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙,因为,,,问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序,排序的方法有种.故选D. 8.【答案】C【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】CD 【分析】解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B；由抽象函数定义域求法求函数定义域判断C；应用换元法求函数解析式，并注意定义域判断D. 【详解】对于A：由，则，可得或，故命题错； 对于B：由的定义域为，而的定义域为，显然不是同一函数，错； 对于C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对； 对于D：设，则， 故且，所以，对. 10．【答案】ACD 【分析】利用指数函数单调性即可对A判断；由函数的定义域为，可对B判断；运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可对C判断；利用假设，再结合函数单调性得与题意矛盾，可证假设不成立，则可对D判断. 【详解】A：由，所以，故A正确； B：函数的定义域为，解得，因此函数的单调递减区间为,故B错误； C：若，则，，则，故C正确； D：假设，则，则,由于在上是增函数， 则，，所以，这与矛盾，则假设不成立，所以，故D正确. 11．【答案】ACD 【分析】令，可得是偶函数，由，可得图象关于点对称，可判断B；进而可求得周期判断A；利用周期与对称性计算可判断CD. 【详解】令，可得， 所以，所以是偶函数， 又因为，所以，所以， 又由，可得， 所以图象关于点对称，故B错误； 又由和偶函数性质，可得， 所以，所以， 即是函数的周期，故8也是的周期，故A正确； 则，故C正确； 又 ，， 则 ，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】【详解】的展开式的第3项． 13．答案为：. 【详解】，，， ， 当且仅当即时等号成立， 又，， ，则的最小值为. 14.【答案】 【详解】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 若， 恒成立，则，故的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）设数列的公比为． 因为成等差数列，所以，，..............2分 所以，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式． .......................4分 （2） 因为，所以，................................................................8分 ，.......................................................10分 所．...............13分 16．【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出 记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及 则 …………………………………………3分 ， …………………………………………5分 ； …………………………………………7分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，. 由（1）知，则有， …………………………………………9分 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， …………………………………………11分 第二步：根据全概率公式求出 所以.…………………………………………15分 17.（15分） 【解析】（1）连接、，如图所示： 因为和均为等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，， （2分） 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （5分） （2）取的中点，连接、，如图所示， 因为，为的中点，则，， 所以二面角的平面角为，设， 因为，、平面，所以平面， （8分） 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、， ，， （10分） 由题意可得， （13分） 解得（舍去）或，故二面角的余弦值为. （15分） 18．【详解】（1）解：当时，， 当时，，所以．，........................................2分 所以曲线在点处的切线方程为，即．..................4分 （2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，......................................................7分 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点，则，即，解得． 所以实数的取.......................................................9分 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②．......................................12分 设公差为，即， 由①可得，，由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差．..........................................17分 19．【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率①， 在中，当时，，故，即② ，..............................................2分 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为....................................4分 （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得，....................................................7 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9......................................10分 （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点........12分 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，，.........15分 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以.................................................17分 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学试题 注意事项：1.本试卷满分150分，答题时间120分钟。 2.本试卷考查内容为：高中人教A版内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 3.下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（   ） A． B． C． D． 4．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 6．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 7.有三个储水点,分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存,且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完,小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．函数与是同一函数 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数，则 10．下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的最大值为 B．函数的减区间是 C．若，则为1 D．已知在上是增函数，若，则 11．函数的定义域为，且，，则下列四个结论正确的是（   ） A．8是的周期 B．图象关于直线对称 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项为______． 13．若，且，则的最小值为_________. 14.已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）等比数列中，且2，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 17.（本小题满分15分） 在三棱锥中，△ABC和均为等边三角形，，点为线段的中点． （1）证明：平面平面； （2）若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值． 18．（本小题满分17分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若有3个不同的零点． （i）求实数ɑ的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 19．（本小题满分17分）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆☉P与双曲线C的一个公共点为，双曲线C的左顶点为，证明：． 数学试题 第 3页 (共4页) 数学试题 第 4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级2025-2026学年第二学期期末考试 数学试题 注意事项：1.本试卷满分150分，答题时间120分钟。 2.本试卷考查内容为：高中人教A版内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xx=3k,k∈Z},B={xx=6k,k∈Z},A与B之间的关系是( A.A≤B B.B=A C.BCA D.A∈B 2.下列命题中为真命题的是( A.0>a>b=a2>b2 B.a2>b2→a>b>0 C.azb=s1 D.axba>b3 a 3.下列函数中既是偶函数，又在区间(0，+o)上是严格减函数的是( 2 A.y=x3 B.y=e*-e* C.y=1g 1 D.y= x2+1 4.观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为5，图2两个变量的相关关系为5，则判断一定 正确的是() 6 6 3 43 .g 2 01234567x01234567 。 图1 图2 A.1+5>0 B.1-5>0 C.5>0 D.>1 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-a, A.-1 B.1 c D. 数学试题第1页（共4页） 6.不等式号≤1的解集是（ A.{x2<x≤} B.{xx≥域x<-2 C.{>域x<-23 D.{x2<x<} 7.有三个储水点，分别储存着15L、20L、25L水.小明每次使用一个容积为5L的水桶从这三个储水点 取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这60L水全部取完，小明前往这三 个储水点的不同顺序的种数为( A.55440 B.41320 C.32770 D.27720 8.已知a>0,b>0,当x∈(0，+)时，不等式(K+b-)-1g(2凸≤0恒成立，则上+的最小值为( a b A.2+4W2 B.6+2W2 C.8 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列叙述正确的是( A.不等式<2的解集是{xx>} B.函数y=Vx与y=(V)是同一函数 C.己知函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为[-1,3] D.若函数f(V-1)=x-3V,则f(x)=x2-x-2(x≥-1) 10.下列命题，其中正确的命题是( ) A函数y=(目2+ 的最大值 B.函数y=V一x2+6x-5的减区间是[3，+∞) C.若2=30=12，则2+为1 D.已知f(x)在R上是增函数，若f(@)+fb)>f(-a)+f(-b),则a+b>0 11.函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)fy),f(3x+1)=-f(-3x+1),f(0)=1 则下列四个结论正确的是( A.8是f(x)的周期 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.f(2025)=0 D.4f=1 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 的展开式的第3项为 13.若a>1,b>1,且log3a·log3b=4,则ab的最小值为 14已知二次函数f()满足∫x+1)为偶函数，8x)=)+2为奇函数，且f(1)=4.∫田)的解析 式为 一：若xB.8g,)-me,≥号则实数的取值范用是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)等比数列{a}中，4=2且2,42+1,4，成等差数列. (1)求{an}的通项公式： (2)数列b}满足4a4…a=2，求数列 的前n项和， 16.（本小题满分15分)某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有 关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具 体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X,求P(X=2)和E(X): (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示 明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率， 数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在三棱锥P-ABC中，△ABC和△APC均为等边三角形，AC=2,点F为线段PB的中点， B (1)证明：平面PBC⊥平面ACF; 5 (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为二时，求二面角P-AC-B的余弦值. ae+2x,x≤0 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)= ae*-2x,x >0' 其中a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程. (2)若f(x)有3个不同的零点，x2,6(<x2<). (1)求实数a的取值范围： (ⅱ)若1，x2,x3成等差数列，求该数列的公差d 19.(本小题满分17分)设双曲线C手茶=ab>0的离心车为2，其左、右焦点分别是R.R. 过E的直线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，MW=6. (1)求双曲线C的标准方程： (2)求MW的最小值： (3)记△N的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为9，双曲线C的左顶点为A,证明： ∠APQ=2∠FP2. 数学试题第4页（共4页）