山西省晋中市榆次区第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

第 1 页，共 7 页 2023-2024 学年榆次二中高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥2 − 5𝑥 − 6 ≤ 0}，集合𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥(2 − 𝑥) ≥ 0}，集合𝐵 = {1,2,3}，则集合∁𝑈(𝐴 ∪ 𝐵) =( ) A. {1,2} B. {0,1,2,3} C. {−1,0,3,4,5,6} D. {−1,4,5,6} 2.命题“∀𝑥 > 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 > 2”的否定是( ) A. ∀𝑥 ≤ 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 > 2 B. ∃𝑥 ≤ 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 > 2 C. ∀𝑥 > 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 ≤ 2 D. ∃𝑥 > 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 ≤ 2 3.已知𝑎为非零实数，则“𝑎 > 1”是“𝑎 > 1 𝑎 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.设某中学的女生体重𝑦(单位：𝑘𝑔)与身高𝑥(单位：𝑐𝑚)具有线性相关关系，根据一组样本数据(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛)，用最小二乘法建立的回归方程为𝑦 ̂ = 0.85𝑥 − 85.71，则下列结论中不正确的是( ) A. 𝑦与𝑥具有正线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(𝑥 − , 𝑦 − ) C. 若该中学某女生身高为160𝑐𝑚，则可断定其体重必为50.29𝑘𝑔 D. 若该中学某女生身高增加1𝑐𝑚，则其体重约增加0.85𝑘𝑔 5.已知𝑎 = 2 1 2，𝑏 = (𝑙𝑛2)− 1 2，𝑐 = 𝑙𝑛2，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为( ) A. 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 B. 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 C. 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 D. 𝑏 < 𝑎 < 𝑐 6.五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛.某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签 确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 7.函数𝑓(𝑥) = 2𝑥ln𝑥2 4𝑥+1 的部分图象大致为( )． 第 2 页，共 7 页 A. B. C. D. 8.设函数𝑓(𝑥)定义域为𝐑，𝑓(𝑥 − 1)为奇函数，𝑓(𝑥 + 1)为偶函数，当𝑥 ∈ (−1,1)时，𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1，则下 列结论错误的是( ) 第 3 页，共 7 页 A. 𝑓 ( 7 2 ) = − 3 4 B. 𝑓(𝑥 + 7)为奇函数 C. 𝑓(𝑥)在(6,8)上是减函数 D. 方程𝑓(𝑥) + lg𝑥 = 0仅有6个实数解 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知实数𝑎 > 𝑏 > 0，则( ) A. 𝑏 𝑎 < 𝑏+2 𝑎+2 B. 𝑎 + 1 𝑏 > 𝑏 + 1 𝑎 C. 𝑎𝑏 > 𝑏𝑎 D. lg 𝑎+𝑏 2 > lg𝑎+lg𝑏 2 10.下列说法中正确的有( ) A. 函数𝑦 = 1 1−𝑥 的递增区间是(−∞, 1) ∪ (1, +∞) B. 𝑝: ∃𝑥 ∈ [−2,3], 使得|𝑥| ⩾ 𝑎，若命题𝑝为真命题，则𝑎 ⩽ 3 C. 若𝑓(𝑥)对任意实数𝑎, 𝑏都有𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 成立，则𝑓(𝑥)是奇函数 D. 已知𝑓(√ 𝑥) = 𝑥 − 1，则𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 11.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计， 结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，2023届初三学生仰卧起坐一 分钟的个数分布条形图如图2所示，则( ) A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30,60)内的学生人数占70% B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80]内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟 个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在 [50,60)内 D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小 于50的人数占比增加 三、填空题：本题共 3 小题，每小题,6 分，共 15 分。 第 4 页，共 7 页 12.函数𝑓(𝑥) = { 𝑥2, 𝑥 ≤ 0 𝑙𝑜𝑔2𝑥, 𝑥 > 0 ，则𝑓(𝑓(−2)) = ______． 13.二项式(√ 𝑥 − 2 𝑥2 )10展开式中的常数项是______． 14.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥 + 2) = 2𝑓(𝑥)，且当𝑥 ∈ [2,4]时，𝑓(𝑥) = { −𝑥2 + 4𝑥, 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑥 + 2 𝑥 , 3 < 𝑥 ≤ 4 ，𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1，对∀𝑥1 ∈ [−4, −2]，∃𝑥2 ∈ [−2,1]，使得𝑔(𝑥2) = 𝑓(𝑥1)，则实数𝑎的取值范围为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。15 题 13 分，16,17 题个 15 分，18,19 题 17 分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知集合𝐴 = {𝑥|𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 3𝑎2 < 0}，集合𝐵 = {𝑥|(𝑥 − 3)(2 − 𝑥) ≥ 0}． (1)当𝑎 = 1时，求𝐴⋂𝐵，𝐴⋃𝐵； (2)设𝑎 > 0，若“𝑥 ∈ 𝐴”是“𝑥 ∈ 𝐵”的必要不充分条件，求实数𝑎的取值范围． 16.(本小题15分) 化简求值： (1)64 2 3 + (− 1 4 )0 − 270.25 × √3 4 − ( 1 2 )−2； (2)lg√ 5 − 2 1 2 𝑙𝑜𝑔23 − 1 2 √ (𝑙𝑔2)2 − 𝑙𝑔2 + 𝑙𝑔5． 第 5 页，共 7 页 17.(本小题17分) 当今社会，以信息化、网络化智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化时代 的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少了制 造领域对劳动力的需求． 某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人， 需要有一名职工下岗).据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器 人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护 费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机 器人数量超过100台，则工厂的年利润𝑦 = 8202 + lg𝑥万元(𝑥为机器人台数且𝑥 < 320)． (1)写出工厂的年利润𝑦与购进智能机器人台数𝑥的函数关系； (2)为使工厂获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据 lg2 = 0.3010) 18.(本小题15分) 函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑏 9−𝑥2 是定义在(−3,3)上的奇函数，且𝑓(1) = 1 8 ． (1)确定𝑓(𝑥)的解析式； (2)判断𝑓(𝑥)在(−3,3)上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于𝑡的不等式𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓(𝑡) < 0． 第 6 页，共 7 页 19.(本小题17分) 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强囯 的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、 兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制 造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布𝑁(𝜇, 𝜎2)，并把质量差 在(𝜇 − 𝜎, 𝜇 + 𝜎)内的产品为优等品，质量差在(𝜇 + 𝜎, 𝜇 + 2𝜎)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废 品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的 样本数据统计如下： (1)根据频率分布直方图，求样本平均数𝑥；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) (2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数𝑥作为𝜇的近似值，用样 本标准差𝑠作为𝜎的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率； 参考数据：若随机变量𝜉服从正态分在𝑁(𝜇, 𝜎2)，则：𝑃(𝜇 − 𝜎 < 𝜉 ≤ 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.6827, 𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝜉 ≤ 𝜇 + 2𝜎) ≈ 0.9545，𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝜉 ≤ 𝜇 + 3𝜎) ≈ 0.9973． (3)假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进 行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为𝑋，求随机变量𝑋的分布列及期望值． 第 7 页，共 7 页 第 1 页，共 10 页 2023-2024 学年榆次二中高二（下）期末数学试卷 【答案】 1. 𝐷 2. 𝐷 3. 𝐴 4. 𝐶 5. 𝐵 6. 𝐵 7. 𝐴 8. 𝐶 9. 𝐴𝐵𝐷 10. 𝐵𝐶 11. 𝐴𝐵𝐷 12. 2 13. 180 14. (−∞, − 5 8 ] ∪ [ 5 16 , +∞) 15. 解：(1)𝑎 = 1时，𝐴 = {𝑥|𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0}，𝐴 = (1,3)，集合𝐵 = [2,3]， ∴ 𝐴 ∩ 𝐵 = [2,3)，𝐴 ∪ 𝐵 = (1,3]． (2)𝑎 > 0时，𝐴 = (𝑎, 3𝑎)，𝐵 = [2,3]， ∵“𝑥 ∈ 𝐴”是“𝑥 ∈ 𝐵”的必要不充分条件， ∴ 𝐵 ⫋ 𝐴，∴ { 𝑎 < 2 3𝑎 > 3 ，解得1 < 𝑎 < 2， ∴实数𝑎的取值范围是(1,2)． 16. 解：(1)64 2 3 + (− 1 4 )0 − 270.25 × √3 4 − ( 1 2 )−2 = (43) 2 3 + 1 − (33)0.25 × 3 1 4 − 22 = 43× 2 3 + 1 − 3 3 4 × 3 1 4 − 4 = 42 + 1 − 3 − 4 = 16 + 1 − 3 − 4 = 10； (2)lg√ 5 − 2 1 2 𝑙𝑜𝑔23 − 1 2 √ (𝑙𝑔2)2 − 𝑙𝑔2 + 𝑙𝑔5 = 𝑙𝑔5 1 2 − 2𝑙𝑜𝑔23 1 2 − 1 2 √ (𝑙𝑔2)2 − 𝑙𝑔2 + lg( 10 2 ) = 1 2 𝑙𝑔5 − 3 1 2 − 1 2 √ (𝑙𝑔2)2 − 2𝑙𝑔2 + 1 = 1 2 𝑙𝑔5 − 3 1 2 − 1 2 √ (𝑙𝑔2 − 1)2 = 1 2 𝑙𝑔5 − 3 1 2 − 1 2 (1 − 𝑙𝑔2) 第 2 页，共 10 页 = 1 2 (𝑙𝑔5 + 𝑙𝑔2) − 3 1 2 − 1 2 = 1 2 lg(5 × 2) − 3 1 2 − 1 2 = −3 1 2 = −√ 3． 17. 解：(1)当购进智能机器人台数𝑥 ≤ 100时， 工厂的利润𝑦 = (320 − 𝑥)(20 + 0.2𝑥) − 4𝑥 − 2𝑥 = −0.2𝑥2 + 38𝑥 + 6400， ∴ 𝑦 = { −0.2𝑥2 + 38𝑥 + 6400, (0 ≤ 𝑥 ≤ 100, 𝑥 ∈ 𝑁) 8202 + 𝑙𝑔𝑥, (100 < 𝑥 < 320, 𝑥 ∈ 𝑁) , (2)由(1)可知，当0 ≤ 𝑥 ≤ 100时，𝑦 = − 1 5 (𝑥 − 95)2 + 8205， 当𝑥 = 95时，𝑦𝑚𝑎𝑥 = 8205， 当𝑥 > 100时，𝑦 = 8202 + 𝑙𝑔𝑥为增函数， 8202 + 𝑙𝑔𝑥 < 8202 + 𝑙𝑔320 = 8202 + 1 + 5𝑙𝑔2 ≈ 8204.505 < 8205， 综上所述可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大利益，最大利润为8205万元． 18. 解：(1)因为𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑏 9−𝑥2 是定义在(−3,3)上的奇函数，且𝑓(1) = 1 8 ， 所以𝑓(0) = − 𝑏 9 = 0，𝑓(1) = 𝑎−𝑏 8 = 1 8 ， 所以𝑏 = 0，𝑎 = 1，𝑓(𝑥) = 𝑥 9−𝑥2 ； (2)𝑓(𝑥)在(−3,3)上的单调递增， 理由如下：设−3 < 𝑥1 < 𝑥2 < 3， 则𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) = 𝑥1 9−𝑥1 2 − 𝑥2 9−𝑥2 2 = (9−𝑥1𝑥2)(𝑥1−𝑥2) (9−𝑥1 2)(9−𝑥2 2) < 0， 所以𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)， 所以𝑓(𝑥)在(−3,3)上的单调递增； (3)由𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓(𝑡) < 0得𝑓(𝑡 − 1) < 𝑓(−𝑡)， 故−3 < 𝑡 − 1 < 𝑡 < 3， 解得−2 < 𝑡 < 3， 故𝑡的取值范围为(−2,3)． 19. 解：(1)由频率分布直方图可知， 𝑥 − = 0.010 × 10 × 46+56 2 + 0.020 × 10 × 56+66 2 + 0.045 × 10 × 66+76 2 + 0.020 × 10 × 76+86 2 + 0.005 × 10 × 第 3 页，共 10 页 86+96 2 = 70． (2)由题意可知，样本方差𝑠2 = 100，故𝜎 ≈ √ 𝑠2 = 10，所以𝑋～𝑁(70, 102)， 该厂生产的产品为正品的概率𝑃 = 𝑃(60 < 𝑋 < 90) = 𝑃(60 < 𝑋 < 70) + 𝑃(70 < 𝑋 < 90) = 1 2 (0.6827 + 0.9545) = 0.8186． (3)𝑋所有可能为0，1，2，3． 𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶3 0𝐶5 3 𝐶8 3 = 5 28 ， 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶3 1𝐶5 2 𝐶8 3 = 15 28 ， 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶3 2𝐶5 1 𝐶8 3 = 15 56 ， 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶3 3𝐶5 0 𝐶8 3 = 1 56 ． 所以𝑋的分布列为 𝑋 0 1 2 3 𝑃 5 28 15 28 15 56 1 56 数学期望𝐸(𝑋) = 0 × 5 28 + 1 × 15 28 + 2 × 15 56 + 3 × 1 56 = 9 8 ． 【解析】 1. 解：因为𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥2 − 5𝑥 − 6 ≤ 0} = {𝑥 ∈ 𝑍| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 6} = {−1,0,1,2,3,4,5,6}， 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥(2 − 𝑥) ≥ 0} = {𝑥 ∈ 𝑍|0 ≤ 𝑥 ≤ 2} = {0,1,2}， 又因为𝐵 = {1,2,3}， 所以𝐴 ∪ 𝐵 = {0,1,2,3}， 所以∁𝑈(𝐴⋃𝐵) = {−1,4,5,6}． 故选：𝐷． 求出集合𝑈、𝐴，利用并集和补集的定义可求得集合∁𝑈(𝐴⋃𝐵)． 本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 2. 【分析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题为存在量词命题，即可求解． 【解答】 解：全称量词命题的否定只需将全称量词改为存在量词， 第 4 页，共 10 页 并将结论否定， 所以命题“∀𝑥 > 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 > 2”的否定是“∃𝑥 > 0，𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 ≤ 2”． 故选 D． 3. 【分析】 本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：由𝑎 > 1 𝑎 ，即 𝑎2−1 𝑎 > 0，即 (𝑎−1)(𝑎+1) 𝑎 > 0， 解得𝑎 > 1或−1 < 𝑎 < 0， 所以由𝑎 > 1可以推出𝑎 > 1 𝑎 ，故充分性成立， 由𝑎 > 1 𝑎 推不出𝑎 > 1，故必要性不成立， 所以“𝑎 > 1”是“𝑎 > 1 𝑎 ”的充分不必要条件． 故选：𝐴． 4. 解：因为回归直线方程为𝑦 ̂ = 0.85𝑥 − 85.71，所以𝑦与𝑥具有正线性相关关系，故 A 正确； 又回归直线必过样本点的中心(𝑥 − , 𝑦 − )，故 B 正确； 当𝑥 = 160时𝑦 ̂ = 0.85 × 160 − 85.71 = 50.29， 即若该中学某女生身高为160𝑐𝑚，则其体重约为50.29𝑘𝑔，故 C 错误； 因为回归直线方程为𝑦 ̂ = 0.85𝑥 − 85.71，所以若该中学某女生身高增加1𝑐𝑚， 则其体重约增加0.85𝑘𝑔，故 D 正确． 故选：𝐶． 根据回归直线方程一一判断即可． 本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题． 5. 解：因为𝑎 = 2 1 2 = ( 1 2 )− 1 2 > 1，又1 > 𝑙𝑛2 > ln√ 𝑒 = 𝑙𝑛𝑒 1 2 = 1 2 ，𝑦 = 𝑥− 1 2在(0, +∞)上单调递减， 所以( 1 2 )− 1 2 > (𝑙𝑛2)− 1 2 > 1− 1 2 = 1， 所以𝑎 > 𝑏 > 1 > 𝑐． 故选：𝐵． 第 5 页，共 10 页 根据幂函数与对数函数的性质判断即可． 本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 6. 解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件𝐴，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件𝐵， 依题意共有𝐴6 6种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有 𝐴6 6 𝐴2 2种， 所以𝑃(𝐵) = 𝐴6 6 𝐴2 2 𝐴6 6 = 1 2 ， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有𝐴5 5种， 所以𝑃(𝐴𝐵) = 𝐴5 5 𝐴6 6 = 1 6 ， 则𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵) = 1 6 1 2 = 1 3 ． 故选：𝐵． 设“学生甲、乙相邻出场”为事件𝐴，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件𝐵，根据倍缩法求出学生 甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出𝑃(𝐵)，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、 乙相邻出场的种数，求出𝑃(𝐴𝐵)，根据条件概率公式计算即可． 本题主要考查条件概率公式，属于基础题． 7. 【分析】 本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 观察选项图象，判断𝑥 → 0时𝑓(𝑥)的正负，从而排除错误答案；再通过选取特殊值，即可得出结果． 【解答】解：当𝑥 → 0时，4𝑥 + 1 > 0，2𝑥 > 0，ln 𝑥2 < 0，故𝑓(𝑥) < 0，故排除𝐵、𝐶； 观察𝐴、𝐷选项， 选取特殊值，𝑓(𝑒10) = 2𝑒 10 ln (𝑒10) 2 4𝑒 10 +1 = ln (𝑒10) 2 2𝑒 10 +2−𝑒 10 = 20 2𝑒 10 +2−𝑒 10，易知此数是非常小的正数，由此排除𝐷， 故选 A． 8. 【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，涉及函数的单调性、周期性，函数的零点与方程根的关系以及函数图像的应 用，属于中档题． 根据题意，分析可得知函数𝑓(𝑥)满足：𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥 − 2)，𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥 + 2)，𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥 + 4)，其周期𝑇 = 8， 于是可对各选项进行分析解答，对𝐴，易得𝑓( 7 2 ) = −𝑓(− 1 2 )，进而可判断正误；对𝐵，𝑓(𝑥 − 7) = 𝑓(𝑥 + 1 − 8) = 𝑓(𝑥 + 1)，可判断正误；对𝐶，𝑓(𝑥 − 7) = 𝑓(𝑥 + 1 − 8) = 𝑓(𝑥 + 1)，可判断正误；对𝐷，作出函数𝑦 = 𝑓(𝑥)和 第 6 页，共 10 页 𝑦 = −𝑙𝑔𝑥的图像，得到交点个数可判断正误． 【解答】 解：由题意，因为𝑓(𝑥 − 1)为𝑅上的奇函数， 所以𝑓(𝑥 − 1) = −𝑓(−𝑥 − 1)且𝑓(−1) = 0， 令𝑥 = 𝑡 + 1，所以𝑓(𝑡 + 1 − 1) = −𝑓(−𝑡 − 2)， 即得𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡 − 2)， 所以𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥 − 2)，① 又𝑓(𝑥 + 1)为偶函数， 所以𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(−𝑥 + 1)， 令𝑥 = 𝑢 − 1，所以𝑓(𝑢) = 𝑓(−𝑢 + 2)， 所以𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥 + 2)，② 由①②，得𝑓(−𝑥 + 2) = −𝑓(𝑥 − 2)， 令−𝑥 = 𝑠 + 2，即得−𝑓(𝑠) = 𝑓(𝑠 + 4)， 所以𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥 + 4)， 所以𝑓((𝑥 + 4) + 4) = −𝑓(𝑥 + 4) = 𝑓(𝑥)， 所以函数𝑓(𝑥)的周期𝑇 = 8， 又当𝑥 ∈ (−1,1]时，𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1， 下面对各选项进行分析： 对𝐴，由上易得 𝑓( 7 2 ) = 𝑓(− 1 2 + 4) = −𝑓(− 1 2 ) = − 3 4 ，故 A 正确； 对𝐵，因为𝑓(𝑥 + 7) = 𝑓(𝑥 − 1 + 8) = 𝑓(𝑥 − 1)，所以𝑓(𝑥 + 7)为奇函数，故 B 正确； 对𝐶，因为𝑓(𝑥 − 7) = 𝑓(𝑥 + 1 − 8) = 𝑓(𝑥 + 1)，所以𝑓(𝑥 − 7)为偶函数，而𝑥 ∈ (6,8)时，𝑥 − 7 ∈ (−1,1)， 此时𝑓(𝑥) − 𝑥2 + 1在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以 C 错误； 对𝐷，由上分析，可作出函数𝑦 = 𝑓(𝑥)和𝑦 = −𝑙𝑔𝑥的图像，如下图所示： 第 7 页，共 10 页 因为方程𝑓(𝑥) + lg𝑥 = 0的实数解个数等价于函数𝑦 = 𝑓(𝑥)和𝑦 = −𝑙𝑔𝑥的图像交点个数， 易知方程𝑓(𝑥) + lg𝑥 = 0仅有6个实数解， 故 D 正确． 故选：𝐶． 9. 【分析】 本题考查比较大小，不等式的性质，属于基础题． 利用作差法比较大小判断𝐴𝐵，取𝑎 = 4，𝑏 = 2判断𝐶，利用基本不等式判断𝐷． 【解答】 解：因为𝑎 > 𝑏 > 0， 对于𝐴： 𝑏+2 𝑎+2 − 𝑏 𝑎 = 𝑎𝑏+2𝑎−𝑎𝑏−2𝑏 𝑎(𝑎+2) = 2(𝑎−𝑏) 𝑎(𝑎+2) > 0， 所以 𝑏 𝑎 < 𝑏+2 𝑎+2 ，故 A 正确； 对于𝐵：𝑎 + 1 𝑏 − 𝑏 − 1 𝑎 = (𝑎 − 𝑏) + 𝑎−𝑏 𝑎𝑏 = (𝑎−𝑏)(𝑎𝑏+1) 𝑎𝑏 > 0， 所以𝑎 + 1 𝑏 > 𝑏 + 1 𝑎 ，故 B 正确； 对于𝐶，取𝑎 = 4，𝑏 = 2，满足𝑎 > 𝑏 > 0， 𝑎𝑏 = 42 = 16 = 24 = 𝑏𝑎，故 C 错误； 对于𝐷：因为 𝑎+𝑏 2 > √ 𝑎𝑏， 所以lg 𝑎+𝑏 2 > lg√ 𝑎𝑏 = 1 2 lg(𝑎𝑏) = lg𝑎+lg𝑏 2 ，故 D 正确． 10. 【分析】 本题考查函数单调性与单调区间、存在量词命题真假判定、函数奇偶性以及函数解析式，属于中档题． 可依据函数的解析式和其定义域求法，以及单调性、奇偶性判断，存在量词命题真假的判断逐项分析判断． 第 8 页，共 10 页 【解答】 解：对于𝐴，其定义域为(−∞, 1)⋃(1, +∞)，1 − 𝑥在𝑅上单调递减， 于是得到函数𝑦 = 1 1−𝑥 在区间(−∞, 1)，(1, +∞)上单调递增，注意其在1处不连续， 选项 A 写法有问题，故选项 A 不正确； 对于𝐵，若命题𝑝为真命题，|𝑥|max ⩾ 𝑎，则𝑎 ⩽ 3，故选项 B 正确； 对于𝐶，由题意可知，函数𝑓(𝑥)在𝑅上有定义， 令𝑎 = 𝑏 = 0，容易得到𝑓(0) = 2𝑓(0) ⇒ 𝑓(0) = 0， 令𝑎 = 𝑥，𝑏 = −𝑥，于是得到𝑓(0) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)， 即得𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)，于是𝑓(𝑥)是奇函数，故选项 C 正确； 对于𝐷，根据题意，令√ 𝑥 = 𝑡 ⩾ 0， 即得𝑥 = 𝑡2，且𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 1(𝑡 ⩾ 0)， 于是得到函数𝑓(𝑥)在[0, +∞)上的解析式为𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1， 由于本题未指明函数𝑓(𝑥)定义域，故选项 D 不正确． 故选 BC． 11. 解：𝐴选项，由图1可知，2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30,60)内的学生人数频率为 20% + 25% + 25% = 70%，A 正确； 𝐵选项，设2022届初三学生人数为𝑎(𝑎 > 0)，由图1可知，2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80] 内的学生人数为0.2𝑎， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80]内的学生人数为𝑎 × (1 + 10%) × 41% = 0.451𝑎， 0.451𝑎 > 0.2𝑎 × 2.2 = 0.44𝑎，B 正确； 𝐶选项，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[40,50)内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数 的中位数在[50,60)内，C 错误； 𝐷选项，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占25% + 15% + 5% = 45%，2023届初三学 生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占41% + 34% + 7% = 82%，D 正确． 故选：𝐴𝐵𝐷． 根据统计图逐项判断即可得出结论． 本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题． 12. 解：因为𝑓(−2) = (−2)2 = 4，所以𝑓(𝑓(−2)) = 𝑓(4) = log24 = 2． 故答案为：2． 第 9 页，共 10 页 由解析式先求𝑓(−2)，再求𝑓(𝑓(−2))即得． 本题主要考查函数的值，属于基础题． 13. 解：二项式(√ 𝑥 − 2 𝑥2 )10展开式的通项𝑇𝑟+1 = 𝐶10 𝑟 ⋅ (−2)𝑟 ⋅ 𝑥5− 5 2 𝑟， 令5 − 5 2 𝑟 = 0，可得𝑟 = 2， ∴二项式(√ 𝑥 − 2 𝑥2 )10展开式中的常数项是𝐶10 2 ⋅ (−2)2 = 180． 故答案为：180． 求出二项式(√ 𝑥 − 2 𝑥2 )10展开式的通项，令𝑥的系数为0，即可求出二项式(√ 𝑥 − 2 𝑥2 )10展开式中的常数项． 本题考查二项式定理的应用，考查分析与运算能力，属于中档题． 14. 解：当𝑥 ∈ [2,4]时，𝑓(𝑥) = { −𝑥2 + 4𝑥, 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑥 + 2 𝑥 , 3 < 𝑥 ≤ 4 ， 可得𝑓(𝑥)在[2,3]上单调递减，在(3,4]上单调递增， ∴ 𝑓(𝑥)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4]上的值域为( 11 3 , 9 2 ]， ∴ 𝑓(𝑥)在[2,4]上的值域为[3, 9 2 ]， ∵ 𝑓(𝑥 + 2) = 2𝑓(𝑥)， ∴ 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑓(𝑥 + 2) = 1 4 𝑓(𝑥 + 4) = 1 8 𝑓(𝑥 + 6)， ∴ 𝑓(𝑥)在[−2,0]上的值域为[ 3 4 , 9 8 ]， 故当𝑥 ∈ [−4, −2]，𝑥 + 6 ∈ [2,4]， ∴ 𝑓(𝑥)在[−4, −2]上的值域为[ 3 8 , 9 16 ]， 当𝑎 > 0时，𝑔(𝑥)为增函数，𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1在[−2,1]上的值域为[−2𝑎 + 1, 𝑎 + 1]， ∴ { 3 8 ≥ 1 − 2𝑎 9 16 ≤ 1 + 𝑎 ，解得𝑎 ≥ 5 16 ，故𝑎的范围是𝑎 ≥ 5 16 ； 当𝑎 < 0时，𝑔(𝑥)为单调递减函数，𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1在[−2,1]上的值域为[𝑎 + 1, −2𝑎 + 1]， ∴ { 3 8 ≥ 1 + 𝑎 9 16 ≤ 1 − 2𝑎 ，解得𝑎 ≤ − 5 8 ，故𝑎的范围是𝑎 ≤ − 5 8 ． 综上可知，𝑎的取值范围是(−∞, − 5 8 ] ∪ [ 5 16 , +∞)． 第 10 页，共 10 页 故答案为：(−∞, − 5 8 ] ∪ [ 5 16 , +∞)． 求出𝑓(𝑥)在[2,4]上的值域，利用𝑓(𝑥)的性质得出𝑓(𝑥)在[−4, −2]上的值域，再求出𝑔(𝑥)在[−2,1]上的值域， 根据题意得出两值域的包含关系，从而解出𝑎的范围． 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题． 15. 本题考查了不等式的解法，简易逻辑的判定方法，集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题． (1)𝑎 = 1时，𝐴 = {𝑥|𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0}，𝐴 = (1,3)，集合𝐵 = [2,3]，利用集合运算性质即可得出． (2)𝑎 > 0时，𝐴 = (𝑎, 3𝑎)，𝐵 = [2,3]，根据“𝑥 ∈ 𝐴”是“𝑥 ∈ 𝐵”的必要不充分条件，可得𝐵 ⫋ 𝐴，即可得 出． 16. (1)根据指数幂的运算法则计算可得； (2)根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得． 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，属于基础题． 17. 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． (1)当0 ≤ 𝑥 ≤ 100时，工厂的利润=总创利−成本，依题意可列出对应的数量关系，当100 < 𝑥 < 320时，𝑦 = 8202 + 𝑙𝑔𝑥万元，即可得出结果． (2)根据二次函数以及对数函数的单调性分别求出每种情况的最大值，比较即可． 18. (1)由已知结合奇函数的性质及𝑓(1) = 1 8 代入即可求解𝑎，𝑏，进而可求函数解析式； (2)结合函数的单调性的定义即可判断； (3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解． 本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档题． 19. (1)结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值； (2)分析易知，𝑋～𝑁(70, 102)，而正品概率𝑃 = 𝑃(60 < 𝑋 < 90) = 𝑃(60 < 𝑋 < 70) + 𝑃(70 < 𝑋 < 90)，然 后结合参考数据即可得解； (3)𝑋所有可能为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个𝑋的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求 出数学期望即可． 本题考查频率分布直方图的性质、正态分布以及离散型随机变量的分布列和数学期望，有一定的综合性， 但难度不大，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．