山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末模拟练习

**基本信息** 以函数、概率统计等核心知识为载体，通过安检门检测、五子棋比赛等真实情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，实现基础巩固与能力提升的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数导数、正态分布|基础概念辨析，如集合并集、函数奇偶性判断| |多选题|3/18|统计量、二项式定理、函数零点|多维度考查，如结合二项式系数和与整除问题| |填空题|3/15|导数计算、二项式系数、单调性|简洁性与综合性，如含参函数单调区间求解| |解答题|5/77|充分条件、概率应用、独立性检验、导数证明|情境化综合应用，如五子棋比赛概率计算、性别与跳绳关联的独立性检验|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（本题5分）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 4．（本题5分）某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（本题5分）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法正确的是（　　） A．数据的第二十五百分位数是1 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C．已知随机变量，若，则 D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 10．（本题6分）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 11．（本题6分）已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（   ） A．若恒成立，则 B．若有3个零点，则a的范围为 C．时，是的极值点 D．时，有唯一零点且 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数，则________. 13．（本题5分）(x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________. 14．（本题5分）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．（本题15分）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 17．（本题15分）小缇和小榴两人进行五子棋比赛，比赛规则为先赢3局的一方直接获胜，并结束比赛．假设每局小缇赢的概率为，平局的概率为，各局比赛结果相互独立． (1)记为2局比赛中小缇赢的局数，求； (2)求小榴在5局以内（含5局）赢得比赛的概率． 18．（本题17分）为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表: 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 45 25 70 不喜欢跳绳 15 15 30 合计 60 40 100 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ (2)现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附: ，其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19．（本题17分）已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 故选：B． 2．A 【分析】求导，代入计算. 【详解】，则，所以. 故选：A. 3．C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 4．C 【详解】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法； 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法； 由分步计数原理得，共有种不同的排法． 故选C． 5．A 【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解. 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 6．B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 7．B 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 8．D 【分析】设，然后利用导数解不等式. 【详解】设，因为， 所以，所以单调递减， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 9．ABC 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解A；根据决定系数的定义即可求解B；根据二项分布的方差和期望的公式即可求解C；根据独立性检验的性质即可求解D. 【详解】对于A：8个数从小到大排列，因为，所以取第2个数与第3个数的平均数，得，故A正确； 对于B：由决定系数越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C：由二项分布的均值与方差公式可得，可解得，故C正确； 对于D：由，依据的独立性检验，可以认为两个变量有关联，故D错误. 故选：ABC. 10．ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 11．ABD 【分析】对于A，将转化成，设，求导判断其单调性，分析其极小值与图象趋势即得的范围判断；对于B，有3个零点转化成直线与的交点个数，结合A项对的单调性的探究，即得a的范围；对于C，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断； 对于D，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断. 【详解】对于A，当成立，当不为零时，由可得，，设，则， 由可得或，由可得， 故函数在在和上单调递增，在上单调递减，故当时，， 且当时，，故恒有，则得，故A正确； 对于B，令，则，由上分析可得在单调递增，且值域为， 在上单调递减，在上单调递增，且，在上的值域为 有3个零点，可得，故B正确； 对于C，当时，设，则， 当时，，当时， 在单调递增，在单调递减. 当时，最小值为0，故可知，即在上单调递增，无极值点，故C错误； 对于D，当时，，设， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减. 当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点， 又且，由零点存在性定理可知D正确. 12．4 【分析】由对数运算性质结合分段函数解析式可得答案. 【详解】因，则. 从而. 故答案为：. 13． 【分析】利用多项式乘法分配律将拆分为两项，结合二项式定理分别计算两项中对应的系数，即可求得的系数. 【详解】, 设展开式通项为，那么 , 令,得 ,,即展开式中的项， 令,得  ,，故展开式中项为， 所以，的系数为. 【点睛】 14． 【详解】函数在区间上单调递增， 在上恒成立，即对任意成立， 令，则在上， 在区间上单调递减，上确界为， 不在区间内， 需满足不小于的上确界，即． 15．(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，根据并集的定义求解即可. （2）根据是的充分不必要条件，得B是C的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【详解】（1）集合， ， 所以. （2）， 由是的充分不必要条件，得集合B是C的真子集， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．(1)1 (2)或 【分析】（1）根据偶函数的性质结合题意列方程可求参数的值； （2）利用对数的运算性质转化题设不等式，结合换元法可求不等式的解. 【详解】（1）因为，所以的定义域为R，关于原点对称， 又， 因为是偶函数， 所以对任意R恒成立， 所以对任意R恒成立， 则 恒成立，因此； 此时，， 所以是偶函数，满足题意，故； （2）若，则， 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以或. 所以满足题意的的取值范围是或. 17．(1) (2) 【分析】（1）方法一：由条件求每局比赛中小缇不赢的概率，再根据二项分布概率公式求，的概率，再由求结论； 方法二：由，结合二项分布概率公式求结论； （2）先求每局小榴赢的概率，再分别求小榴3局赢得比赛的概率，小榴4局赢得比赛的概率，小榴5局赢得比赛的概率，由此可得结论. 【详解】（1）方法一：由题知每局小缇赢的概率为，小缇不赢的概率为， 由已知的可能取值有，， 则，， 所以． 方法二：． （2）由已知每局小榴赢的概率为，小榴不赢的概率为． 小榴3局赢得比赛的概率为； 小榴4局赢得比赛的概率为； 小榴5局赢得比赛的概率为． 故小榴在5局以内（含5局）赢得比赛的概率为． 18．(1)不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对即可得解. （2）求出5人中男女生人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）零假设：学生的性别和是否喜欢跳绳无关， 根据列联表中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. （2）依题意，抽取的5名学生中有男生3名，女生2名，的可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的零点个数，列式构造函数求出导函数，根据导函数正负得出函数值域即可列式得出参数范围； （2）将代入构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最小值即可证明. 【详解】（1）由有2个零点，故，令， 则与的图象有2个交点， ，时，，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于于0， 当时，与的图象有2个交点， 故的取值范围是． （2）当时，， 要证在上恒成立，即证在上恒成立 设，，，， 和在均单调递增，故在单调递增 ，， 故存在使得，且 在单调递减，在单调递增， ， 又因为，所以，所以在上恒成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $