2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----3.2.1函数的最大（小）值人教A版必修一

**基本信息** 这份暑假预习检测聚焦函数单调性与最值，通过基础巩固、中档应用、拔高综合三层设计，实现从概念理解到综合问题解决的递进，适配预习成果评估需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性判断、单调区间|以单选为主（如第3题图像分析单调区间），培养几何直观| |中档层|参数范围、最值计算|结合多选填空（如第6题减函数性质应用），发展推理意识| |拔高层|分段函数、恒成立问题|通过解答题（如第16题单调性证明），提升数学思维与表达能力|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----3.2.1函数的最大（小）值 一、单选题 1．设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 6．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 8．已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 10．已知函数则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 11．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 三、填空题 12．已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 13．若存在，使不等式成立，则的取值范围是______. 14．如图为的图象，则它的单调递减区间是____________. 四、解答题 15．已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17．已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 18．已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 2．C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 3．D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 4．A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 5．B 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B 6．B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 7．D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 8．B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 9．BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 10．ABD 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 11．BC 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 12． 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 13． 【分析】根据题干条件，可将不等式转化为，由于存在使不等式成立，因此只要求解的最大值即可. 【详解】由于，则，因此可将原不等式转化为， 令， 令，得：， 由对勾函数易知函数在上单调递减,当时，取到最大值0， 故. 故答案为： 14．和 【分析】由单调性定义结合函数图象进行求解. 【详解】由单调性定义可得的单调递减区间为和. 故答案为：和 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）去除绝对值得到，直接画函数图像即可. （2）结合（1）的图像先分析函数在上的单调性，求出最值即可得到值域； （3）当时，化简得到当时，恒成立；由基本不等式求出最小值为4，所以； 【详解】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 16．(1)证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【详解】（1）由题意知，且， ∴，∴. （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为． 18．(1)0 (2) 【分析】（1）根据条件，令，即可得到； （2）由条件结合函数单调性的定义得到函数在上单调递减，再由，，得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）令，得，解得：， 所以. （2）因为对任意，都有， 所以函数在上单调递减， 又时，，且， 则由，得：， 即， 所以，解得：， 故实数的取值范围为. 19．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. 【详解】（1）当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $