第13讲：函数的应用（一）【四大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第13讲：函数的应用（一） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0. 知识点二　二次函数模型 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)． 知识点三　幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 【例题详解】 题型一、二次函数模型 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 题型二、分段函数模型 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 4．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 题型三：分式型函数模型 5．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 6．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 题型四、幂函数模型 7．（23-24高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 8．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 2．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 3．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 4．（21-22高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 5．（20-21高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·浙江·期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 二、多选题 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 8．（22-23高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 9．（22-23高一上·全国）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 10．（20-21高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ） A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 三、填空题 11．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    13．（2022高二下·浙江宁波）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 14．（22-23高一上·全国）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    15．（22-23高一上·江苏连云港）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 四、解答题 16．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 17．（24-25高一上·安徽·阶段练习）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见．这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国．据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件）．假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件，当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件，例如，单价售价为101元时，销售量为9.8万件；单价为102元时，销售量为9.6万件，以此类推．利润=（售价-供货价格）×销售量，不计其它成本 (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元； (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元． 18．（24-25高一上·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 19．（24-25高一上·全国）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 20．（24-25高一上·四川巴中·期中）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲：函数的应用（一） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0. 知识点二　二次函数模型 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)． 知识点三　幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 【例题详解】 题型一、二次函数模型 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 题型二、分段函数模型 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 4．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 题型三：分式型函数模型 5．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 6．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 题型四、幂函数模型 7．（23-24高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 8．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 2．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 3．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 4．（21-22高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 5．（20-21高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 6．（22-23高一上·浙江·期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 【答案】C 【分析】判断该顾客购物总金额的范围，根据题意列方程求得总金额，减去享受的优惠金额，即为此顾客实际所付金额，即得答案. 【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时， 享受折扣优惠的金额做多为元， 故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ， 则 ，解得（元）， 则此顾客实际所付金额为元， 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 8．（22-23高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当40≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故当时， y与x的关系式为，故D错误． 故选：BC 9．（22-23高一上·全国·课后作业）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】BCD 【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确． 【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 10．（20-21高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ） A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC 【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解. 【详解】当时，， 故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误； ， 当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 【答案】 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    【答案】, 【分析】由给定的图形，结合等腰梯形的性质求出函数解析式. 【详解】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E，则，    在中，，，则， 而，于是，， 所以，. 故答案为：, 13．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 14．（22-23高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 15．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【分析】由题意，设该厂日获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，设该厂日获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 四、解答题 16．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【详解】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 17．（24-25高一上·安徽·阶段练习）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见．这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国．据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件）．假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件，当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件，例如，单价售价为101元时，销售量为9.8万件；单价为102元时，销售量为9.6万件，以此类推．利润=（售价-供货价格）×销售量，不计其它成本 (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元； (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元． 【答案】(1)245万元； (2)145元，最大为80元． 【分析】（1）理解题意，根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解接口； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格=0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 此时，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为万件， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 18．（24-25高一上·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1) (2)当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元 【分析】（1）分为分别求解即可； （2）分为两种情况，利用二次函数、基本不等式求解即可． 【详解】（1）当时， 当时，， 所以． （2）当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 19．（24-25高一上·全国）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 20．（24-25高一上·四川巴中·期中）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，， 所以.； （2）当时，， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$