山东省泰安市2025-2026学年高一下学期数学期末考试自编模拟卷（考试范围：人教A版必修第二册）

**基本信息** 山东省泰安市高一下学期期末模拟卷（人教A版必修二），通过向量、复数、立体几何、统计概率等知识，以基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|向量基本概念、复数象限、斜二测画法|如第1题辨析单位向量与平行向量，考查抽象能力| |多选题|3题18分|复数运算、向量夹角、频率分布直方图|如第11题结合体育统考成绩分析，体现数据意识| |填空题|3题15分|独立事件概率、解三角形、四面体外接球|第14题通过二面角求外接球表面积，考查空间观念| |解答题|5题77分|向量运算、线面垂直、解三角形、统计概率、二面角|第19题综合线面平行、异面直线所成角与二面角，注重推理能力与空间想象|

山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试模拟卷（考试范围：人教A版必修二） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 2．（本题5分）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（本题5分）如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（本题5分）若m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（本题5分）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 8．（本题5分）如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知复数，以下结论正确的是（   ） A． B．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C． D．是纯虚数 10．（本题6分）已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为钝角，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量为 11．（本题6分）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响，则至少有一人达标的概率为______. 13．（本题5分）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为__________. 14．（本题5分）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 17．（本题15分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，求的周长. 18．（本题17分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求与所成的角； (3)求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 2．C 【分析】先求出共轭复数，再写出该复数对应复平面内的点的坐标，最后判断位于第几象限 【详解】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 3．C 【分析】根据等式确定，然后作辅助线，利用正弦定理求出的值，进而可求出边上的高. 【详解】因为，易知， 过作轴的平行线交轴于点，则， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知原平面图形中，边上的高为. 故选：C. 4．B 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确， ，故D正确. 5．B 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 6．C 【分析】根据已知条件判断线线位置关系，可判断A选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断B，D选项；根据已知条件判断面面位置关系，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，，则平行或异面，A错； 对于B选项，，，则，或，B错； 对于C选项，，，则，则，C正确； 对于D选项，，，设，则可能，D错误.    故选：C. 7．D 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 8．C 【分析】找到直线在平面内的投影，从而确定线面角，再通过几何计算求出其正弦值. 【详解】取的中点，连接、，如图所示： 因、，由等腰三角形“三线合一”，得，. 又平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面， 又平面，则. 因此， 是在平面内的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，由余弦定理，得， 因此. ，， 在中， ， 故选：C 9．ACD 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解判断A，根据复数的乘方计算判断D，应用几何意义判断象限判断B，应用模长公式计算判断C. 【详解】复数， 则，A选项正确； 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，B选项错误； ，C选项正确； 是纯虚数，D选项正确； 故选：ACD. 10．BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的运算律运算求解；对于C：根据数量积的定义分析判断；对于D：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：例如，与不共线， 但，成立，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为向量与的夹角为钝角，即，则， 所以，故C正确； 对于选项D：若，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BCD. 11．ACD 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】先考虑两人均未达标的概率，即可得到至少有一人达标的概率. 【详解】两人均未达标的概率为：， 故至少有一人达标的概率为. 故答案为：. 13． 【分析】利用正弦定理进行边角转化，可得，再利用消元思想可消去，从而可得，然后再利用余弦定理求得， 从而利用单调性可得取值范围.. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即，由内角和定理可得： ，再由正弦定理角化边得：， 所以 ， 再由余弦定理得：，当且仅当时等号成立， 所以，由可得：， ， 故答案为：. 14． 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【详解】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 17．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角. （2）利用余弦定理可求边，进而求三角形的周长. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 又，， 即， ， 又，，， 又，. （2）由余弦定理得：， ， 即， 或（负值舍去）， . 的周长为. 18．(1)0.006 (2)76.2 (3) 【分析】（1）根据频率直方图中频率之和为1求解； （2）根据频率直方图，结合题给中点值概念，求平均数； （3）先求出的人数，再求频率，最终求得概率. 【详解】（1）频率直方图中，所有组的频率和为1，组距为10，则： 解得： （2） （3）人数： 人数： 总体情况：从10人中抽3人， 符合条件：2人评分在，1人评分在，即 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面平行的性质可证得结论成立； （2）证明出，可得出的形状，由异面直线所成角的定义可知与所成的角为或其补角，即可得解； （3）取的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故. （2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为平面平面，平面平面，平面， ，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故与所成的角为或其补角， 又因为，则为等腰直角三角形，则， 即与所成的角为. （3）取的中点，连接， 因为，，，故， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，、平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $