精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

试卷类型：A 高一年级考试 数学试题 2025.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（ ） A 或 B. 或3 C. 或2 D. 2 5. 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为和，若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥 B. 用简单随机抽样方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.5 C. 数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，的标准差为 D. 若事件与事件是相互独立事件，则 10. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为钝角，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量为 11. 三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线与所成角为 D. 过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则______． 13. 如图，圆锥的底面直径和高均为6，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为______． 14. 在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 倡导文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了《体重管理指导原则》，指导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表及频率分布直方图． 分组 频数 频率 30 0.05 ？ 120 0.2 ？ 0.3 150 60 0.1 合计 ？ （1）求，，，，的值； （2）估计高一男生体重第75百分位数； （3）估计高一男生体重的平均数． 16. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． （1）若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； （2）若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 17. 已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． （1）求角的大小； （2）如图，点在边延长线上，若，，求的长． 18. 复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ① ②， ③ ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． （1）求复向量，的模； （2）证明：若，，则； （3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； （3）若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 高一年级考试 数学试题 2025.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限. 【详解】解：， 故复数对应点的坐标为， 故复数对应点在第二象限. 故选：B. 2. 某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的计算方法，求出每层的抽取数量. 【详解】共有人，则抽取男生数量为人，抽取女生数量为人； 故选：B. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的判定和性质可逐项判断. 【详解】对于A，直线可以平面的交线，故A错误； 对于B，直线可以在平面内，故B错误； 对于C，一直线同时垂直于两平面，则这两平面平行，即，，则，故C正确； 对于D，直线可以在平面内，故D错误； 故选：C. 4. 已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或3 C. 或2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 5. 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式，结合已知条件建立关于圆台较小底面半径的方程，进而求解该半径. 【详解】设圆台较小底面的半径为，因为一个底面周长是另一个底面周长的倍，根据，可知较大圆半径 已知母线长为，圆台的侧面积为，则根据圆台侧面积公式为可得： 故选：A. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 7. 甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为和，若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各射击一次时甲中乙不中，与甲不中乙中的概率，再相加即可 【详解】射击一次： 甲中乙不中：， 甲不中乙中：， 目标恰好被击中一次的概率为： 故选：C 8. 如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体中，易得，即四点共面，可得相交，也相交，另易得，即四点共面，同理可得相交，对于D，根据异面直线的判定可确定与、为异面直线即可判断. 【详解】连接， 在正方体中，分别为的中点， 所以，即四点共面， 则平面，又不平行，所以相交，故A错误； 同理也相交，故B错误； 又分别为的中点，所以， 所以共面，又不平行，所以相交，故C错误； 平面，，所以为异面直线， 同理可知也是异面直线，所以线段上不存在线段与上的点，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥 B. 用简单随机抽样方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.5 C. 数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，的标准差为 D. 若事件与事件是相互独立事件，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据是否能够同时发生可判断是否互斥 B.简单随机抽样概率计算可得答案 C.根据条件计算新的平均数，再计算新的方差，可得标准差 D.独立事件的积事件为概率之积 【详解】A. 事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”不能同时发生，所以事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥，A正确 B. 个体被抽到的概率是， B正确 C. 新数据的平均数为：， 新数据方差为：， 新数据的标准差为：，C错误 D. 若事件A与事件是相互独立事件，则， 因为不一定为0，则不一定成立，D错误 故选： AB 10. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为钝角，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的运算律运算求解；对于C：根据数量积的定义分析判断；对于D：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：例如，与不共线， 但，成立，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为向量与的夹角为钝角，即，则， 所以，故C正确； 对于选项D：若，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BCD. 11. 三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线与所成角为 D. 过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可证，根据线面垂直的判定可证平面，继而得到；设中点为，可证平面，所以就是直线与平面所成角，即可得到直线与平面所成角的正弦值；设中点为，根据异面直线夹角可知就是直线与所成角或其补角，在中通过求即可得到直线与所成角；根据题意可知都是直接三角形，有公共斜边，即可确定球心在中点处，再利用球的截面得性质即可得截面面积最小值. 【详解】 ，，， 又，所以，即， 又，平面， 所以平面，平面，，故A正确； 设中点为，连接， ，，， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面，， 即就是直线与平面所成角， ，，故B错误； 设中点为，连接， 分别是中点，， 即就是直线与所成角或其补角， 在中，，，， ，所以直线与所成角为，故C正确； 又，所以，即， 则都是直接三角形，有公共斜边， 所以三棱锥的外接球球心在中点处，外接球半径， 即垂直截面时，截面面积最小，此时截面半径， 所以截面面积最小值为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据向量坐标表示和数量积的坐标表示，求出向量数量积. 【详解】已知，，，则, 可知， 故答案为：18. 13. 如图，圆锥的底面直径和高均为6，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积公式和扇形面积公式，以及圆锥和圆柱的几何性质，求出组合体的表面积. 【详解】如图所示，圆锥的底面半径为3，高为6，根据勾股定理母线长为， 则圆锥侧面积为， 根据相似三角形易知圆柱高为3，底面半径为， 则圆柱侧面积为， 圆锥底面积加圆柱底面积为， 综上几何体表面积为， 故答案为：. 14. 在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用面积公式得到，然后利用余弦定理，以及中线得向量表示可得，利用不等式计算判断. 【详解】由题可知：， 又，所以. 又为的中点，所以，两边平方得：，所以， 又，所以， 由（当且仅当时，取等号），所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为倡导文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了《体重管理指导原则》，指导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表及频率分布直方图． 分组 频数 频率 30 0.05 ？ 120 0.2 ？ 0.3 150 60 0.1 合计 ？ （1）求，，，，的值； （2）估计高一男生体重的第75百分位数； （3）估计高一男生体重的平均数． 【答案】（1），，，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表及频率分布直方图上的信息，求出各未知数即可； （2）根据频率分布直方图计算第百分位数的方法，求出第75百分位数； （3）根据频率分布直方图计算平均数的方法，求出平均数. 【小问1详解】 ，，， 又， ， . 【小问2详解】 因为前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以第75百分位数，则，解得. 【小问3详解】 由频率分布直方图得，某校高一男生体重的平均数为： . 16. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． （1）若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； （2）若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【小问1详解】 不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， 【小问2详解】 设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 17. 已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． （1）求角的大小； （2）如图，点在边的延长线上，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）现根据正弦面积公式，求出边长，再根据正弦定理和余弦定理解三角形； （2）根据平面向量基本定理，用基底表示向量，根据向量模长的计算方法，求出线段的长. 【小问1详解】 面积，即， ， 在中，由余弦定理得， ， 由正弦定理，， ，，， 【小问2详解】 由（1），， ，， ，，， ， . 18. 复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ① ②， ③ ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． （1）求复向量，的模； （2）证明：若，，则； （3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，的坐标，进而得出， 的值；再根据复向量的模的计算公式可求解. （2）先设出复向量的坐标，其中，， ，，，；再根据题目条件得出，得出即可证明. （3）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，，；再假设与平行列出等式，得出 ；最后根据，得出方程无解，假设错误，从而不存在实数，使得与平行. 【小问1详解】 ，， ， ， ， ，. 【小问2详解】 设，， ，，，；设. ， ， 【小问3详解】 ，， ， ， ，， 假设与平行， 则，即， 两端平方得：，即， ， 方程无解， 故不存在实数，使得与平行. 19. 在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； （3）若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用余弦定理，结合题意求出，然后找角：方法1，作于，连接，则在平面的射影为，利用已知条件证明，，则为二面角的平面角； 方法2： 取中点为，连，，则，，则为二面角的平面角，然后求出二面角的余弦值即可； （3）先证明平面平面，过作于，利用已知条件确定点的位置，结合已知所给条件画出平面图分析求出即可. 【小问1详解】 由题意知，又平面，平面 所以平面 【小问2详解】 在中，由余弦定理 ，， ， 在翻折过程中，， 为二面角的平面角 平面平面， ， 又，且，平面， 平面 为中点， 法1：作于，连接 则在平面的射影为 平面， 且，平面， 平面 ，平面，， 为二面角的平面角，设 法2：，， 取中点为，连，，则， 为二面角的平面角，设 ，， 又，， ，， 二面角的余弦值为 【小问3详解】 ， ，平面，， 平面 平面， 平面平面 过作于， 平面平面，平面， 平面 平面， 当且仅当，显然，在线段延长线上 如图，作于 则和都是等腰直角三角形 为中点， 设，则， ， 即，，故存在，使得 其中，在平面上射影为 在延长线上，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$