应用题（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 本专项训练以生活实际问题为载体，系统整合分段计费、行程问题等核心题型，通过思路拆解与变式拓展，培养数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段计费|6题|临界点分段法、进一法取整|从基础计费到阶梯计算，构建“总费用=基础费用+超额费用”模型| |行程问题|7题|路程差/速度差模型、平均速度公式|通过相遇/追及情境，建立“路程=速度×时间”的变量关系| |几何应用|2题|图形特征分析法、面积转化|结合梯形与平行四边形性质，培养空间观念与几何直观| |方程与归一|8题|等量关系建模、倍比法|从算术法过渡到方程思想，强化抽象能力与模型意识|

应用题（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版（八） 1. 为了倡导节能减排，建设绿色低碳城市，某市燃气公司针对居民用气实行了阶梯气价制度。规定每户每月用气量在20立方米及以下的，每立方米按照2.4元收费；超过20立方米的部分，每立方米按照3.6元收费。李华家上个月缴纳燃气费78.6元，请问李华家上个月用了多少立方米燃气？ 2. 广州越秀公园内有一个上底为10米，下底为16米，高为12米的梯形观赏草坪。 （1）园林工人准备在这个梯形草坪中划出一个最大的平行四边形区域用来种植郁金香，剩下的区域种植百合花，请问种植百合花的面积是种植郁金香面积的几分之几？ （2）如果每平方米的郁金香区域种植5株郁金香，那么总共能种植多少株郁金香？ 3. 甲、乙两辆汽车同时从东西两城相对开出。甲车的速度是105千米/时，乙车的速度是85千米/时。两车相遇时距离两城中点25千米，经过多长时间两辆汽车相遇？ 4. 小宇准备了分别写有数字1～8的8张卡片，想和小丽玩抽卡片游戏。 小宇：每次任意抽一张卡片，卡片上的数字大于5就算你赢，否则就算我赢。 小丽：这个游戏规则不公平，我不参加。 同学们，小丽为什么说这个游戏规则不公平？怎样修改游戏规则，这个游戏就公平了？ 5. 橄榄球是近年在校园兴起的运动。10月15日，阳光中学与星辉中学的橄榄球校队展开了激烈的决赛。 （1）本次比赛的草坪场地长约110米，宽约70米。比赛时双方各有15名队员上场，如果赛前将双方所有上场队员均匀分布在球场内做热身活动，平均每名队员的活动区域是多少平方米？（保留一位小数） （2）为了顺利参赛，阳光中学包车前往相距90千米的比赛场地。去时遇到早高峰，平均每小时行驶30千米；比赛结束后返回，路况通畅，平均每小时行驶45千米。这辆包车在来回整个过程中，平均每小时行驶多少千米？ 6. 一艘快艇在一条河上航行，从丙地到丁地顺水行驶，3小时到达；返航时从丁地到丙地逆水行驶，5小时到达。已知水流速度是6千米每小时，求快艇在静水中的速度是多少？ 7. 市育才小学学生步行到湿地公园研学。六（3）班学生组成前队，步行速度为5千米/时；六（4）班学生组成后队，步行速度为8千米/时。前队先出发45分钟后，后队才出发。后队出发的同时派一名联络员骑自行车在两队之间不断来回传递信息（掉头时间忽略不计），他骑车的速度为16千米/时。 （1）后队出发后经过多长时间能追上前队？ （2）在后队追上前队之前，联络员一共骑行多少千米？ 8. 某次徒步活动中，前队和后队同时同向行进。前队的速度是每小时4千米，后队的速度是每小时5千米。出发时，后队在前队后面3千米处。联络员从后队出发，沿同一方向快步前进，速度是每小时6千米。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ 9. 六（1）班分成甲、乙两队，从学校大门同时出发，沿同一条直路向相反方向行走。甲队的速度是每分钟65米，乙队的速度是每分钟35米。问：出发多长时间后，两队相距2千米？ 10. 周末，妈妈带小航乘坐出租车去科技馆参观，参观结束后，他们又乘坐出租车回家。已知科技馆与小航家相距8.6千米，但返程因道路施工绕行了1.4千米。 某出租车计费规则如下：起步价11元（含3千米），超过3千米的部分按2.5元/千米计费。 问：他们这次往返一共需要付多少元车费？ 11. 从家到科技馆的路程是13.6千米。妈妈和小明乘坐出租车去科技馆，一共要花费多少元？ 出租车收费标准：4千米以内（含4千米）12元，超过4千米的部分，每千米3元。（不足1千米按1千米计算） 12. 某快递公司收费标准：1千克以内（含1千克）收费12元；超过1千克的部分，每千克收费5元（不足1千克按1千克算）。李老师寄一个包裹，付费37元，这个包裹最多重多少千克？ 13. 五年级同学参加社团活动，参加科学实验小组的人数比参加阅读小组的人数的2倍少8人。已知参加科学实验小组的有42人，参加阅读小组的有多少人？（用方程解答） 14. 一个服装厂现在做一套校服时，改进了裁剪技术。原来做 150 套校服的布料，现在可以做多少套？请你选择需要的信息，解答这个问题。 信息①：原来做一套校服需要 3 米布料。 信息②：现在每天比原来多做 20 套。 信息③：现在做一套校服需要 2.5 米布料。 15. 某工厂改进了生产工艺。解决问题“现在加工 400 个包装盒，一共能节省多少元材料费？”，你需要用到以下哪些信息？请在你选择的信息下面画上横线，并列式解答。 ①现在准备加工 400 个包装盒； ②原来加工一个包装盒要用 2.5 元的材料； ③现在加工一个包装盒要用 2.2 元的材料； ④现在加工一个包装盒要少用 0.3 元的材料。 16. 李伯伯家今年丰收了花生，准备把一部分花生用来榨油。已知 40 千克花生能榨出 1.8 千克花生油。照这样计算，2500 千克花生可以榨出多少千克花生油？ 17. 甲、乙两城相距 780 千米，客车和货车同时从两城相对开出，6 小时后相遇。已知客车的速度是货车的 1.6 倍，求客车的速度是多少？（列方程解答） 18. 甲、乙两工程队合修一条 822 米长的公路，各从一端相向施工。甲队先施工 5 天后，乙队加入一起修路，合作 25 天修完全路段。已知甲队每天修 14.4 米，乙队每天修多少米？ 19. 为了倡导绿色出行，共享单车成为了很多人的首选。已知李明上个月骑行共享单车总里程为 45.5 千米，比王刚骑行里程的 3 倍还多 2.6 千米。王刚上个月骑行共享单车总里程是多少千米？ 20. 某市中心停车场的收费标准如下：停车不超过 2 小时（含 2 小时），收费 10 元；超过 2 小时的部分，每小时收费 3 元（不足 1 小时按 1 小时计算）。李叔叔在该停车场停了 4.5 小时，他应该缴纳多少停车费？ 21. 某停车场的收费规则如下：第1小时8元，以后每15分钟收费3元，不满15分钟按15分钟收费。张叔叔在该停车场停车了2小时10分钟，他应该交停车费多少元？ 22. 某停车场收费标准如下：停车1小时以内（含1小时）收费5元；超过1小时的部分，每30分钟收费2.5元（不足30分钟按30分钟计算）。如果李叔叔在该停车场停了135分钟，他要交多少停车费？ 23. 由于原题缺失了第一小问的收费标准条件，现补全情境并改编如下： 某市区路边停车位收费标准如下：停车1小时以内（含1小时）收费8元；超过1小时的部分，每半小时收费3元（不足半小时按半小时计算）。王阿姨开车离开时共交了26元的停车费。按照收费标准，王阿姨在这个停车位最长停了多少分钟？ 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 为了倡导节能减排，建设绿色低碳城市，某市燃气公司针对居民用气实行了阶梯气价制度。规定每户每月用气量在20立方米及以下的，每立方米按照2.4元收费；超过20立方米的部分，每立方米按照3.6元收费。李华家上个月缴纳燃气费78.6元，请问李华家上个月用了多少立方米燃气？ 【考点】分段计费, 小数四则运算 【难度】中等 最终答案 28.5立方米 思路起点 遇到分段计费（阶梯收费）问题，解题的核心突破口是寻找“临界点”。第一步，必须先计算出第一段（基础标准内）的最高收费金额；第二步，将实际交费总额与第一段最高收费进行比较。如果实际交费超出基础收费，说明用量超标了；第三步，用“总钱数 - 第一段钱数”求出第二段（超标部分）的钱数，再结合单价求出“数量”，最后将两段的数量相加即为总数量。 详细解答 第一步：计算如果用满第一段标准（20立方米）需要交多少钱。 20 × 2.4 = 48（元） 第二步：判断并计算超出部分产生的费用。因为李华家交了78.6元，78.6元 > 48元，说明用气量超过了20立方米。计算超出部分的费用： 78.6 - 48 = 30.6（元） 第三步：计算超出20立方米部分的用气量。已知超出部分每立方米3.6元： 30.6 ÷ 3.6 = 8.5（立方米） 第四步：计算总用气量。将第一段的基本用量与第二段的超出用量相加： 20 + 8.5 = 28.5（立方米） 答：李华家上个月用了28.5立方米燃气。 学生易错 1. 漏加基础用量：这是最常见的陷阱，部分学生在算完“30.6 ÷ 3.6 = 8.5”后，以为大功告成，直接将8.5作为最终答案，忘记加上基础的20立方米。 2. 无视分段规则：有些基础薄弱的学生看到总价和单价，会直接用“78.6 ÷ 2.4”或“78.6 ÷ 3.6”，完全偏离了分段计费的逻辑。 3. 小数除法计算错误：“30.6 ÷ 3.6”在竖式计算时，小数点移动容易出错。 变式拓展 某市出租车的收费标准如下：起步价为10元（含3千米）；超过3千米的部分，每千米收费2.5元（不足1千米按1千米计算，此处假设均为整数千米结算）。王阿姨乘坐出租车下车时支付了27.5元车费，请问王阿姨乘坐出租车行驶了多少千米？ ■ 第 2 题 深度解析： 2. 广州越秀公园内有一个上底为10米，下底为16米，高为12米的梯形观赏草坪。 （1）园林工人准备在这个梯形草坪中划出一个最大的平行四边形区域用来种植郁金香，剩下的区域种植百合花，请问种植百合花的面积是种植郁金香面积的几分之几？ （2）如果每平方米的郁金香区域种植5株郁金香，那么总共能种植多少株郁金香？ 【考点】梯形与平行四边形面积, 分数的应用 【难度】中等 最终答案 （1）；（2）600株 思路起点 这道题的核心在于“最大”二字。要在一个梯形中画一个面积最大的平行四边形，受限于梯形的上底和下底长度，且平行四边形两组对边分别相等，所以这个最大平行四边形的底只能受制于梯形的“较短底”（即上底10米），高则与梯形的高（12米）相同。划出平行四边形后，可以通过“梯形总面积 - 平行四边形面积”求出剩下种植百合花部分的面积。在解答第一问时要注意找准被除数和除数，求的是“百合花面积”是“郁金香面积”的几分之几；解答第二问时，要找准数量关系：郁金香的总株数 = 郁金香的总面积 × 每平方米种植的株数。 详细解答 （1）要在梯形草坪内划出一个最大的平行四边形，必须以梯形的上底长度作为平行四边形的底，高与梯形的高相等。 因此，这个最大平行四边形的底为10米，高为12米。 种植郁金香（平行四边形）的面积为： （平方米） 梯形草坪的总面积为： （平方米） 种植百合花（剩下区域）的面积为： （平方米） （注：也可直接用三角形面积公式计算：剩下的底边为 米，面积为 平方米） 种植百合花的面积是种植郁金香面积的几分之几： 答：种植百合花的面积是种植郁金香面积的 。 （2）已知种植郁金香的区域面积是120平方米，每平方米种植5株。 总共能种植郁金香的株数为： （株） 答：总共能种植600株郁金香。 学生易错 1. 几何特征理解错误：在梯形中截取最大平行四边形时，学生可能会误用下底（16米）作为平行四边形的底，导致与现实几何不符且算错面积。 2. 比较的单位“1”找错：第一问要求的是“百合花面积是郁金香面积的几分之几”，中等偏下的学生在审题时容易思维定势，算成“百合花占总面积的几分之几”，从而错用 。 3. 第二问带错数据：题目问的是种植多少株“郁金香”，学生极容易顺手拿第一步算出的梯形“总面积156平方米”去乘以5，忽略了应该用郁金香的面积（120平方米）。 变式拓展 在一个上底为15厘米、下底为25厘米、高为10厘米的梯形纸板上，剪下一个最大的平行四边形。 （1）剩下的纸板面积是多少平方厘米？ （2）剩下的纸板面积是剪下平行四边形面积的几分之几？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 甲、乙两辆汽车同时从东西两城相对开出。甲车的速度是105千米/时，乙车的速度是85千米/时。两车相遇时距离两城中点25千米，经过多长时间两辆汽车相遇？ 【考点】相遇问题, 行程问题, 差倍关系 【难度】中等 最终答案 2.5小时 思路起点 解答本题的突破口在于深刻理解“相遇时距离中点多少千米”的隐藏含义。在相向而行的行程问题中，速度快的车必定越过了中点，速度慢的车则未到中点。快车超过中点25千米，说明慢车距离中点还有25千米，因此快车实际上比慢车多走了“25×2”千米。找到这个“路程差”，再计算出两车的“速度差”，利用公式“相遇时间 = 路程差 ÷ 速度差”即可迎刃而解。 详细解答 第一步：求出两车的路程差。 相遇时，甲车（快车）越过了中点25千米，乙车（慢车）还差25千米才到中点。所以甲车比乙车多行驶的路程为： （千米） 第二步：求出两车的速度差。 甲车每小时比乙车多行驶的路程为： （千米/时） 第三步：求相遇时间。 根据“相遇时间 = 路程差 速度差”，计算出两车行驶的时间： （小时） 综合算式： （小时） 答：经过2.5小时两辆汽车相遇。 学生易错 学生最容易掉入的陷阱是直接把“距离中点的路程（25千米）”当作“两车的路程差”，错误列式为 。需要借助画线段图帮助学生直观理解：路程差 = 距离中点的路程 。 变式拓展 客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，客车每小时行驶90千米，货车每小时行驶70千米。两车相遇时，距离甲、乙两地中点30千米。请问甲、乙两地相距多少千米？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 小宇准备了分别写有数字1～8的8张卡片，想和小丽玩抽卡片游戏。 小宇：每次任意抽一张卡片，卡片上的数字大于5就算你赢，否则就算我赢。 小丽：这个游戏规则不公平，我不参加。 同学们，小丽为什么说这个游戏规则不公平？怎样修改游戏规则，这个游戏就公平了？ 【考点】可能性, 游戏公平性 【难度】基础 最终答案 因为大于5的数字只有3个，小于等于5的数字有5个，两人获胜的可能性不相等，所以不公平。修改规则：卡片上的数字大于4就算小丽赢，否则算小宇赢。（修改方法不唯一） 思路起点 判断一个游戏规则是否公平，核心在于判断参与游戏的各方获胜的“可能性”是否相等。可以将题目中1～8这8个数字进行归类，分别数出满足小丽获胜（大于5）和满足小宇获胜（否则，即小于等于5）的数字个数。如果个数不相等，则可能性不相等，游戏就不公平。修改规则的突破口就是重新制定胜负条件，使得双方获胜对应的数字个数完全相同（在本题中，就是要让两边各占4个数字）。 详细解答 （1）分析不公平的原因： 在1～8这8个数字中，大于5的数字有3个（分别是6、7、8），对应的卡片有3张； 而“否则”所包含的数字是指小于等于5的数字，共有5个（分别是1、2、3、4、5），对应的卡片有5张。 因为 3 < 5，所以抽到大于5的数字的可能性，小于抽到小于等于5的数字的可能性。 即小丽获胜的可能性小于小宇获胜的可能性，双方赢的机会不均等，因此小丽说游戏不公平。 （2）修改规则的方法（答案不唯一，保证双方获胜的可能性相等即可）： 方法一：从大小角度切分（各占一半）。每次任意抽一张卡片，卡片上的数字大于4算小丽赢，否则算小宇赢。（此时大于4的数字有4个，小于等于4的数字也有4个，双方获胜可能性相等。） 方法二：从单双数角度切分。每次任意抽一张卡片，抽到单数算小丽赢，抽到双数算小宇赢。（1～8中单数有1、3、5、7共4个，双数有2、4、6、8共4个，双方获胜可能性相等。） 学生易错 1. 边界词理解错误：部分学生会对“否则”两字理解有误，认为大于5的反面是“小于5”，从而漏掉了数字“5”本身，得出两人卡片数是3和4的错误结论。 2. 修改规则不够严谨：在重新制定规则时，有学生可能会写“大于4算小丽赢，小于4算小宇赢”，这就导致了如果抽到数字4，则无法判定胜负（除非在规则后补充“抽到4则重新抽”）。 变式拓展 盒子里放有同样大小的红球和蓝球共10个，小亮和小飞玩摸球游戏。两人约定：每次任意摸出一个球并放回摇匀，摸到红球小亮得1分，摸到蓝球小飞得1分。 （1）要想让小飞获胜的可能性大，盒子里的红球和蓝球应该各放多少个？（举出一例即可） （2）要想让游戏公平，盒子里的红球和蓝球应该各放多少个？ ■ 第 5 题 深度解析： 5. 橄榄球是近年在校园兴起的运动。10月15日，阳光中学与星辉中学的橄榄球校队展开了激烈的决赛。 （1）本次比赛的草坪场地长约110米，宽约70米。比赛时双方各有15名队员上场，如果赛前将双方所有上场队员均匀分布在球场内做热身活动，平均每名队员的活动区域是多少平方米？（保留一位小数） （2）为了顺利参赛，阳光中学包车前往相距90千米的比赛场地。去时遇到早高峰，平均每小时行驶30千米；比赛结束后返回，路况通畅，平均每小时行驶45千米。这辆包车在来回整个过程中，平均每小时行驶多少千米？ 【考点】长方形面积, 小数除法, 平均速度 【难度】中等 最终答案 （1）256.7 平方米；（2）36 千米/小时 思路起点 （1）本小题考查面积计算与平均分配问题。切入点是找准核心数量关系“总面积 ÷ 总人数 = 平均每人的活动面积”。需要注意提取题目中的隐藏条件“双方”，这意味着总人数需要乘2；最后根据计算结果运用四舍五入法保留一位小数。 （2）本小题考查行程问题中的核心概念“平均速度”。突破口在于深刻理解平均速度的定义，即“平均速度 = 总路程 ÷ 总时间”。必须先分别计算出往返的总路程和往返消耗的总时间，再进行除法运算，切忌直接将两种速度相加求平均值。 详细解答 （1） 第一步，计算比赛场地的总面积： 110 × 70 = 7700（平方米） 第二步，计算参加热身活动的总人数（注意包含双方队员）： 15 × 2 = 30（名） 第三步，计算平均每名队员的活动区域，并按要求保留一位小数： 7700 ÷ 30 = 256.666...（平方米） 256.666... ≈ 256.7（平方米） 答：平均每名队员的活动区域约是256.7平方米。 （2） 第一步，计算客车来回往返的总路程： 90 × 2 = 180（千米） 第二步，分别计算去时和返回时所用的时间： 去时所用时间：90 ÷ 30 = 3（小时） 返回所用时间：90 ÷ 45 = 2（小时） 第三步，计算来回花费的总时间： 3 + 2 = 5（小时） 第四步，利用“总路程 ÷ 总时间”计算整个过程的平均速度： 180 ÷ 5 = 36（千米/小时） 答：大客车来回过程中，平均每小时行驶36千米。 学生易错 1. 审题遗漏陷阱：在做第（1）问时，部分学生会漏看“双方”二字，误将总人数算作15人（7700 ÷ 15），导致最终结果错误。 2. 概念混淆陷阱：在做第（2）问时，中等偏下水平的学生极易将“平均速度”等同于“速度的平均值”，直接列错算式为 (30 + 45) ÷ 2 = 37.5 千米/小时。必须反复强调平均速度的唯一计算法则是“总路程 ÷ 总时间”。 变式拓展 某校组织联合植树活动，规划了一块长80米、宽50米的长方形空地。参与本次活动的共有2所学校，每所学校均派出12名志愿者参与植树。 （1）如果将所有志愿者均匀分配在空地上，平均每名志愿者的负责区域是多少平方米？（保留一位小数） （2）活动结束后，一辆接送车将其中一部分志愿者送回距离30千米外的学校，去时比较拥堵，平均速度为20千米/小时；返回原处时路况较好，平均速度为30千米/小时。求这辆接送车往返一趟的平均速度是多少千米/小时？ ■ 第 6 题 深度解析： 6. 一艘快艇在一条河上航行，从丙地到丁地顺水行驶，3小时到达；返航时从丁地到丙地逆水行驶，5小时到达。已知水流速度是6千米每小时，求快艇在静水中的速度是多少？ 【考点】顺水逆水行程, 相对速度, 一元一次方程 【难度】中等 最终答案 24 千米每小时 思路起点 先把生活情境“顺水、逆水”抽象成数量关系：同一段航程的路程相等；顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度−水流速度。设静水速度为v，用“路程=速度×时间”分别表示顺水、逆水的路程并令它们相等，即可列出方程求v。 详细解答 设快艇在静水中的速度为 v 千米每小时，水流速度为 6 千米每小时。 1）表示顺水、逆水的速度 顺水速度：v + 6（千米每小时） 逆水速度：v − 6（千米每小时） 2）用“路程=速度×时间”表示同一段路程 顺水从丙地到丁地的路程：3×(v+6) 逆水从丁地到丙地的路程：5×(v−6) 因为往返是同一段航程，路程相等，所以： 3×(v+6)=5×(v−6) 3）解方程 3v+18=5v−30 18+30=5v−3v 48=2v v=24 4）答语 快艇在静水中的速度是 24 千米每小时。 学生易错 1）把顺水、逆水速度写反：误写成顺水v−6、逆水v+6。 2）没有抓住“同一段路程相等”，只用时间去比较导致无法列式。 3）解方程移项符号出错：如把“−30”移到左边写成18−30。 4）忽略速度应大于水流速度这一常识检查：若算出v≤6，说明列式或计算必有问题。 变式拓展 变式题：一艘游船在河中航行，从A地到B地顺水用4小时，从B地返回A地逆水用6小时。已知游船在静水中的速度比水流速度快18千米每小时，求水流速度是多少千米每小时？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 市育才小学学生步行到湿地公园研学。六（3）班学生组成前队，步行速度为5千米/时；六（4）班学生组成后队，步行速度为8千米/时。前队先出发45分钟后，后队才出发。后队出发的同时派一名联络员骑自行车在两队之间不断来回传递信息（掉头时间忽略不计），他骑车的速度为16千米/时。 （1）后队出发后经过多长时间能追上前队？ （2）在后队追上前队之前，联络员一共骑行多少千米？ 【考点】行程问题（追及）, 速度-时间-路程数量关系 【难度】中等 最终答案 1小时15分钟；20千米 思路起点 先把情境“剥皮”成行程模型：前队先走、后队后走且更快——这是典型“追及”问题。突破口是先求“前队的领先路程”，再用“速度差”求“追及时间”。联络员的往返不影响他“总骑行路程”的计算：只要确定他从后队出发到追上前队这段总时间，用“路程＝速度×时间”即可。 详细解答 <thinking> 草稿验算： 45分钟=0.75小时；领先路程=5×0.75=3.75千米。 速度差=8-5=3千米/时；追及时间=3.75÷3=1.25小时=1小时15分钟。 联络员骑行路程=16×1.25=20千米。 </thinking> （1）求后队追上前队所用时间 ① 先求前队领先的时间：45分钟=45÷60=0.75（小时）。 ② 前队领先的路程： 5×0.75=3.75（千米）。 ③ 后队追前队的“速度差”： 8-5=3（千米/时）。 ④ 追及时间（后队出发后）： 3.75÷3=1.25（小时）。 把1.25小时化成“小时+分钟”： 0.25小时=0.25×60=15（分钟），所以1.25小时=1小时15分钟。 答：后队出发后经过1小时15分钟能追上前队。 （2）求联络员一共骑行多少千米 联络员从后队出发到两队相遇为止，骑行的总时间就是上面求出的追及时间1.25小时。 联络员骑行路程： 16×1.25=20（千米）。 答：联络员一共骑行20千米。 学生易错 1. 漏掉“前队先出发45分钟”这一条件，直接用速度差求时间，导致时间偏小。 2. 时间单位不统一：把45分钟直接当作0.45小时，或把0.75小时误写成75分钟。 3. 把追及速度差写成8+5（相遇模型）而不是8-5（追及模型）。 4. 误以为“联络员来回骑”就需要分段计算每一趟路程；其实本题只问“总路程”，用“车速×总时间”即可。 变式拓展 某校两支队伍同一路线徒步：前队速度为4.5千米/时，先出发40分钟；后队速度为6千米/时，随后出发。后队出发时一名联络员骑车在两队之间往返，车速为15千米/时（掉头时间忽略）。问：后队出发后多久追上前队？联络员在此期间共骑行多少千米？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 某次徒步活动中，前队和后队同时同向行进。前队的速度是每小时4千米，后队的速度是每小时5千米。出发时，后队在前队后面3千米处。联络员从后队出发，沿同一方向快步前进，速度是每小时6千米。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ 【考点】行程问题, 追及问题（相对速度） 【难度】中等 最终答案 18 千米 思路起点 题目问“联络员走的路程”，直接想到“路程＝速度×时间”。关键是这段时间不是给出的，而是“后队追上前队所用的时间”。追及问题的突破口是：两队同向而后队更快，用“相对速度＝后队速度－前队速度”，再用“时间＝相差路程÷相对速度”先求出追上所用时间，最后再乘联络员的速度求路程。 详细解答 1. 先求后队追上前队的时间。 同向追及时，两队之间的距离缩短速度（相对速度）为： 后队速度－前队速度＝5－4＝1（千米/时） 出发时两队相差3千米，所以追上所用时间： 3 ÷ 1 ＝ 3（小时） 2. 再求联络员在这段时间内走的路程。 联络员速度是6千米/时，时间是3小时： 6 × 3 ＝ 18（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走了18千米。 学生易错 1. 把追及的“相对速度”写成两队速度相加（5+4），导致时间算小。 2. 只看到“联络员速度6千米/时”就直接乘3千米，误把“3千米”当作时间或当作联络员走的路程。 3. 求时间时忘记用“初始相差路程3千米”，而误用某一队的行程。 4. 单位不一致时不换算（本题单位统一为千米/时与千米，若换成米/分就容易出错）。 变式拓展 变式题：前队每小时行4千米，后队每小时行5千米，出发时后队在前队后3千米。联络员从后队出发，以每小时6千米的速度先追向前队；到达前队后立即掉头返回后队（掉头不计时间），如此往返。问：在后队追上前队之前，联络员一共走了多少千米？ ■ 第 9 题 深度解析： 9. 六（1）班分成甲、乙两队，从学校大门同时出发，沿同一条直路向相反方向行走。甲队的速度是每分钟65米，乙队的速度是每分钟35米。问：出发多长时间后，两队相距2千米？ 【考点】相向而行, 速度-时间-路程 【难度】中等 最终答案 20分钟 思路起点 题目问“出发多长时间，两队相距2千米”，关键词是“同时出发、相反方向、相距”。把情境抽象成数量关系：两队相向（反向）而行时，间距增加的速度等于两队速度之和（相对速度）。先求相对速度，再用“时间＝路程÷速度”求时间。注意统一单位。 详细解答 1）统一单位：2千米＝2000米。 2）求两队的相对速度（相反方向行走，距离增加速度为和）： 65＋35＝100（米/分钟）。 3）用“时间＝路程÷速度”求所需时间： 2000÷100＝20（分钟）。 答：出发20分钟后，两队相距2千米。 学生易错 （1）把相反方向误当成同向追及，错误地用“65－35”求相对速度。 （2）单位不统一：直接用“2÷100”或把2千米当成2米参与计算。 （3）计算后忘写单位或答语不完整（只写“20”不写“分钟”）。 变式拓展 六（2）班分成甲、乙两队，从同一地点同时出发，沿同一条路向同一方向行走。甲队速度为每分钟80米，乙队速度为每分钟60米。问：出发多长时间后，甲队在乙队前面2千米？ ■ 第 10 题 深度解析： 10. 周末，妈妈带小航乘坐出租车去科技馆参观，参观结束后，他们又乘坐出租车回家。已知科技馆与小航家相距8.6千米，但返程因道路施工绕行了1.4千米。 某出租车计费规则如下：起步价11元（含3千米），超过3千米的部分按2.5元/千米计费。 问：他们这次往返一共需要付多少元车费？ 【考点】分段计费, 小数乘法 【难度】中等 最终答案 53.5 元 思路起点 先把情境“坐出租车”抽象成“按规则计算费用”。看到“起步价（含一定里程）+超过部分按每千米计费”，就要想到“分段计费”：每次乘车都要先付起步价，再计算超出3千米的里程费。往返是两次乘车，因此要分别算去程与返程，再相加；同时注意返程里程变了（绕行）。 详细解答 1）确定两段里程 去程：8.6千米。 返程：8.6 + 1.4 = 10.0（千米）。 2）计算去程车费（分段计费） 起步价：11元（含3千米）。 超过部分里程：8.6 - 3 = 5.6（千米）。 超过部分费用：5.6 × 2.5 = 14.0（元）。 去程车费：11 + 14.0 = 25.0（元）。 3）计算返程车费 超过部分里程：10.0 - 3 = 7.0（千米）。 超过部分费用：7.0 × 2.5 = 17.5（元）。 返程车费：11 + 17.5 = 28.5（元）。 4）计算往返总车费 总车费：25.0 + 28.5 = 53.5（元）。 答：他们这次往返一共需要付53.5元车费。 学生易错 1）漏掉“起步价算两次”：把往返当成一次，只加一次11元。 2）返程里程审题错误：忽略“绕行1.4千米”，仍按8.6千米计算返程。 3）分段计费列式不当：把全部里程都按2.5元/千米计算，忘记前3千米包含在11元里。 4）小数乘法粗心：如把5.6×2.5算成13或14.5，导致总价偏差。 变式拓展 某出租车计费规则：起步价12元（含3千米），超过部分按2.4元/千米计费。小敏家到图书馆9.3千米，返程因接人多走了0.7千米，并且返程途中等红灯共计4分钟（等候费1.2元/分钟）。问：这次往返共需付多少元？ ■ 第 11 题 深度解析： 11. 从家到科技馆的路程是13.6千米。妈妈和小明乘坐出租车去科技馆，一共要花费多少元？ 出租车收费标准：4千米以内（含4千米）12元，超过4千米的部分，每千米3元。（不足1千米按1千米计算） 【考点】分段计费, 小数加减法, 进一法取整 【难度】中等 最终答案 42元 思路起点 看到“出租车收费标准”这种题，要先把生活情境剥离成数量关系：总费用=起步价+超出部分费用。关键突破口是判断“是否超过起步里程”，以及对“超出部分不足1千米按1千米计算”进行进一取整，确定应计费的超出里程数。 详细解答 1）先判断是否超过起步里程 路程是13.6千米，起步里程是4千米，13.6＞4，说明要付“起步价+超出部分费用”。 2）求超出起步里程的路程 超出部分路程：13.6−4=9.6（千米）。 3）根据规则把超出部分换成“计费里程” 题目说“不足1千米按1千米计算”，9.6千米不是整千米，需要按10千米计费（也就是进一到下一个整千米）。 所以，超出部分计费里程=10千米。 4）计算超出部分费用 超出部分费用：10×3=30（元）。 5）计算总费用 总费用：12+30=42（元）。 答：妈妈和小明乘坐出租车一共花费42元。 学生易错 1）忽略“不足1千米按1千米计算”，把9.6千米直接按9.6千米计费，导致少算费用。 2）把9.6错误地“四舍五入”成10或9：本题规则不是四舍五入，而是“只要有零头就进1”。 3）超出部分路程计算错误：把13.6−4算错，或把起步里程也重复按每千米3元再算一遍。 4）单位意识薄弱：把“千米数”与“元数”混写，列式时漏写（元）（千米）造成理解混乱。 变式拓展 某出租车收费标准：3千米以内（含3千米）11元，超过3千米的部分每千米2元。（不足1千米按1千米计算）从学校到图书馆的路程是9.1千米，乘坐出租车需要多少钱？ ■ 第 12 题 深度解析： 12. 某快递公司收费标准：1千克以内（含1千克）收费12元；超过1千克的部分，每千克收费5元（不足1千克按1千克算）。李老师寄一个包裹，付费37元，这个包裹最多重多少千克？ 【考点】分段计费, 向上取整（不足按整计费）, 整数除法应用 【难度】中等 最终答案 6 千克 思路起点 先把生活情境“收费标准”翻译成数量关系：总费用＝首重费用＋续重费用。看到“超过1千克的部分，每千克收费……不足1千克按1千克算”，就要意识到续重不是按实际小数千克计费，而是把“超过1千克的部分”按每1千克向上取整来算。突破口是：先用“总费用－首重费用”求出续重费用，再除以续重单价求出被计费的续重千克数，最后加回首重1千克得到最大总质量。 详细解答 （1）先求出超过1千克部分一共付了多少钱： 续重费用＝总费用－首重费用 ＝37－12 ＝25（元） （2）把续重费用换算成“按规则计费的续重千克数”（不足1千克按1千克算，所以这里算的是被计费的千克数）： 计费的续重千克数＝25÷5＝5（千克） （3）理解“最多重多少”： 计费为5千克，表示“超过1千克的部分”最多可以是5千克（如果超过1千克部分是5千克整，正好计5千克；如果是4点多千克，也会按5千克计费，但题目问最多，所以取5千克）。 （4）求包裹最多的总质量： 最多总质量＝首重1千克＋最多续重5千克 ＝1＋5 ＝6（千克） 答：这个包裹最多重6千克。 学生易错 1. 漏加首重：算出续重为5千克后，直接答“5千克”，忘了还要加上首重的1千克。 2. 误把“不足1千克按1千克算”理解成“把整个包裹重量向上取整”，而不是仅对“超过1千克的部分”进行按千克计费。 3. 不会处理“最多”：看到计费续重5千克，就误认为实际续重一定等于5千克，没有意识到它对应的实际续重范围是(4,5]千克；本题问最大值才取5千克。 变式拓展 某快递公司收费标准：1千克以内（含1千克）收费11元；超过1千克的部分，每千克收费4元（不足1千克按1千克算）。王同学寄一个包裹，付费27元。这个包裹的重量在多少千克到多少千克之间？ ■ 第 13 题 深度解析： 13. 五年级同学参加社团活动，参加科学实验小组的人数比参加阅读小组的人数的2倍少8人。已知参加科学实验小组的有42人，参加阅读小组的有多少人？（用方程解答） 【考点】一元一次方程, 倍数关系 【难度】基础 最终答案 25人 思路起点 抓住题目中的关键词“2倍”“少8人”，把生活语言翻译成数量关系：科学实验小组人数 = 阅读小组人数的2倍 − 8。题目已知科学实验小组的人数，因此可以设阅读小组人数为未知数，用方程把两者关系连起来求解。 详细解答 设参加阅读小组的有 x 人。 根据题意：“科学实验小组的人数比阅读小组的人数的2倍少8人”，可列式： 科学实验小组人数 = 2x − 8。 又已知科学实验小组有42人，所以列方程： 2x − 8 = 42。 解方程： 2x = 42 + 8 2x = 50 x = 50 ÷ 2 x = 25 答：参加阅读小组的有25人。 学生易错 1. 倍数关系翻译错：把“2倍少8人”写成“2x+8”或写成“x−8=2×42”等。 2. 方程两边移项出错：如把“−8”移到右边写成“2x=42−8”。 3. 计算粗心：50÷2算错，或最后忘记写单位“人”。 变式拓展 变式题：六年级同学参加社团活动，参加机器人小组的人数比参加航模小组的人数的2倍少6人；已知机器人小组有58人，航模小组有多少人？（用方程解答） ■ 第 14 题 深度解析： 14. 一个服装厂现在做一套校服时，改进了裁剪技术。原来做 150 套校服的布料，现在可以做多少套？请你选择需要的信息，解答这个问题。 信息①：原来做一套校服需要 3 米布料。 信息②：现在每天比原来多做 20 套。 信息③：现在做一套校服需要 2.5 米布料。 【考点】归总问题, 信息筛选, 小数运算 【难度】中等 最终答案 180套 思路起点 本题考查的是经典的“归总问题”以及对多余信息的甄别能力。原题以“选择信息”的形式出现，旨在考察学生能否从生活情境中精准找到核心数量关系。首先要明确题目求的是“现在可以做多少套”，这取决于两个关键数据：一是“这批布料的总长度”，二是“现在做一套校服需要的布料”。因此，需要从给定信息中挑选出能求出这两个关键数据的条件，排除与单套用料无关的干扰条件（如每天的产量）。 详细解答 首先，根据题目要求筛选有用信息。要求出现在可以做的校服套数，需要先计算出这批布料的总长度，然后再除以现在做一套校服需要的布料长度。结合所给信息，选择信息①和信息③，信息②（每天多做20套）属于干扰条件，不需要使用。 第一步：求出这批布料的总长度。根据“原计划总长度 = 原来做一套的用料 原来的套数”，使用信息①。 分步列式：（米） 第二步：求出现在可以做的套数。根据“现在的套数 = 布料总长度 现在做一套的用料”，使用信息③。 分步列式：（套） 综合列式：（套） 答：选择信息①和信息③，现在可以做 180 套。 学生易错 1. 信息筛选受扰：部分学生可能会不加思索地把所有给出的数字（包括信息②的 20 套）乱乘或乱加减，没有弄清哪些条件是真正参与计算的关键数据。 2. 小数除法出错：在计算 时，被除数和除数要同时扩大 倍变成 。学生常出现小数点移动错误，比如被除数末尾忘补 算出 ，或者多补 算出 。 变式拓展 某糕点厂做一批中秋月饼，原来准备做 200 盒月饼的馅料，改进配方后现在可以做多少盒？请你选择需要的信息，解答这个问题。 信息①：原来做一盒月饼需要馅料 0.6 千克。 信息②：现在做一盒月饼比原来节省 0.1 千克馅料。 信息③：现在比原来每天多包装 50 盒。 ■ 第 15 题 深度解析： 15. 某工厂改进了生产工艺。解决问题“现在加工 400 个包装盒，一共能节省多少元材料费？”，你需要用到以下哪些信息？请在你选择的信息下面画上横线，并列式解答。 ①现在准备加工 400 个包装盒； ②原来加工一个包装盒要用 2.5 元的材料； ③现在加工一个包装盒要用 2.2 元的材料； ④现在加工一个包装盒要少用 0.3 元的材料。 【考点】小数乘法, 信息筛选, 解决问题 【难度】基础 最终答案 选择①④（或选择①②③），120 元 思路起点 本题原题缺失了具体问题，改编后补全了问题，属于经典的“多余条件筛选”应用题。解题的思考起点是明确最终问题：“一共能节省多少元材料费？”根据基本数量关系“总节约成本 = 单个节约成本 × 总数量”，我们需要到题干中寻找“总数量”和“单个节约成本”。条件①直接给出了总数量，条件④直接给出了单个节约成本，因此选用①和④最简便。此外，根据条件②和③作差也可以求出单个节约成本，因此选用①②③同样能解决该问题。 详细解答 解法一：选择信息①和④。 1. 明确数量关系：一共节省的材料费 = 每个包装盒少用的材料费 × 包装盒的总数。 2. 提取信息：从条件①可知总数为 400 个，从条件④可知每个少用 0.3 元。 3. 列式计算： （元） 答：一共能节省 120 元材料费。 解法二：选择信息①、②和③。 1. 明确数量关系：一共节省的材料费 =（原来每个的材料费 - 现在每个的材料费）× 包装盒的总数。 2. 先求出每个包装盒能节省多少材料费： （元） 3. 再求出总节省费用： （元） 综合列式：（元） 答：一共能节省 120 元材料费。 学生易错 1. 逻辑甄别错误：部分学生不能正确处理冗余信息，强行把②③④的数据全部代入一个算式中，导致逻辑混乱。 2. 小数乘法计算失误：在计算 时，小数点移动位数出错，容易得出 12 元或 1200 元的错误结论。 变式拓展 希望小学的张老师准备采购 300 套课桌椅。原来一套课桌椅的采购价是 125.5 元，经过与厂家沟通拿到优惠，现在一套课桌椅的采购价是 120.5 元。现在采购这批课桌椅，一共可以节省多少钱？（请用两种不同的综合算式解答） ■ 第 16 题 深度解析： 16. 李伯伯家今年丰收了花生，准备把一部分花生用来榨油。已知 40 千克花生能榨出 1.8 千克花生油。照这样计算，2500 千克花生可以榨出多少千克花生油？ 【考点】归一问题, 小数乘除法 【难度】基础 最终答案 112.5 千克 思路起点 题目中的“照这样计算”是解题的暗号，说明花生的出油率是固定不变的。遇到这类问题，我们通常有两种切入角度：一种是“归一法”，即先求出 1 千克原材料（花生）能产出多少成品（花生油），然后再求出目标重量能产出多少；另一种是“倍数法”，先算出总量里包含了多少个已知的重量份数，再乘以每份对应的产出量。找准数量关系中“谁除以谁”是解题的突破口。 详细解答 方法一（归一法）： 第一步，计算 1 千克花生可以榨多少千克花生油： 1.8 ÷ 40 = 0.045（千克） 第二步，计算 2500 千克花生可以榨出多少千克花生油： 0.045 × 2500 = 112.5（千克） 方法二（倍比法）： 第一步，计算 2500 千克花生是 40 千克花生的多少倍： 2500 ÷ 40 = 62.5 第二步，计算这些花生可以榨出多少千克花生油： 1.8 × 62.5 = 112.5（千克） 综合列式： 1.8 ÷ 40 × 2500 = 112.5（千克） 答：2500 千克花生可以榨出 112.5 千克花生油。 学生易错 1. 算理混淆，除数与被除数颠倒：在求“1千克花生能榨多少油”时，学生极易错列成 40 ÷ 1.8，这实际求的是“榨1千克油需要多少千克花生”，导致后续思路全错。引导时应强调“求什么产量，就把什么总量作为被除数”。 2. 小数计算粗心错位：在计算 1.8 ÷ 40 时，容易因为补零不够而把商算错成 0.45 或 0.0045，进而导致最终结果的小数点位置错误。 变式拓展 李大爷家的果园大丰收，果酱厂收购苹果制作果酱。已知 80 千克苹果可以熬制 12 千克苹果酱。照这样计算，如果要熬制 150 千克苹果酱，需要收购多少千克苹果？ ■ 第 17 题 深度解析： 17. 甲、乙两城相距 780 千米，客车和货车同时从两城相对开出，6 小时后相遇。已知客车的速度是货车的 1.6 倍，求客车的速度是多少？（列方程解答） 【考点】相遇问题, 列方程解应用题 【难度】中等 最终答案 80 千米/小时 思路起点 读题发现这是一道典型的行程相遇问题，核心等量关系是“（客车速度＋货车速度）× 相遇时间＝总路程”。题目中已知总路程和相遇时间，且给出两车的速度倍数关系，因此可以设一倍量（货车速度）为 ，根据倍数关系表示出客车速度为 。题目明确要求“列方程解答”，所以将表示出的速度代入等量关系列出方程即可。最后要注意题目问的是“客车的速度”，求出 （货车速度）后还需要进行一步计算得出最终结果。 详细解答 解：设货车的速度为 千米/小时，则客车的速度为 千米/小时。 根据“（客车速度＋货车速度）× 相遇时间＝总路程”，可列出方程： 客车的速度为：（千米/小时） 答：客车的速度是 80 千米/小时。 学生易错 1. 答非所问：解方程求出一倍量 （货车速度）后直接作为最终答案，忘记题目求的是客车速度； 2. 格式与算理错误：列方程时漏写括号，写成 ，导致运算顺序完全错误； 3. 计算失误：在解方程的最后一步处理除数是小数的除法（）时，由于小数点移位错误或粗心导致计算出错。 变式拓展 甲、乙两地相距 660 千米，一辆小汽车和一辆大客车同时从两地相向而行，5 小时后相遇。已知小汽车比大客车每小时多行 12 千米，求小汽车和大客车的速度各是多少？（列方程解答） ■ 第 18 题 深度解析： 18. 甲、乙两工程队合修一条 822 米长的公路，各从一端相向施工。甲队先施工 5 天后，乙队加入一起修路，合作 25 天修完全路段。已知甲队每天修 14.4 米，乙队每天修多少米？ 【考点】工程问题, 相遇问题, 小数四则运算 【难度】中等 最终答案 15.6 米 思路起点 本题表面是工程问题，实质上可以转化为相遇问题的变式。解题的核心在于剥离场景，找准核心的数量关系。突破口在于认清‘各队分别工作了多少天’或‘总工程量由哪几个阶段组成’。 思路一（看个体）：公路总长 = 甲修的总长度 + 乙修的总长度。可以先求出甲工作了（5 + 25）天，算出甲完成的工作量，剩下的就是乙在 25 天内完成的量。 思路二（看阶段）：公路总长 = 甲独修长度 + 甲乙合作长度。先减去甲先独修部分，剩下的是两人 25 天的合作总工作量，进而求出合作时的效率和，最后减去甲的效率即得乙的效率。 详细解答 【方法一】按各自完成的总工作量计算 1. 计算甲队参与修路的总天数：甲先修了 5 天，又和乙合作了 25 天，总共修了：5 + 25 = 30（天）。 2. 计算甲队修路的总长度：甲每天修 14.4 米，修了 30 天，长度为：（米）。 3. 计算乙队修路的总长度：用公路总长减去甲队修的长度：（米）。 4. 计算乙队每天修路的长度：乙队只在合作期间工作了 25 天，所以乙每天的修路速度为：（米）。 综合列式：（米）。 【方法二】按工期阶段拆解计算 1. 计算甲队单独修 5 天的长度：（米）。 2. 计算甲乙两队合作修的总长度：用公路总长减去甲单独修的长度：（米）。 3. 计算两队合作的效率和（甲、乙每天共修的长度）：（米/天）。 4. 计算乙队每天修路的长度：用合作效率和减去甲的工作效率：（米）。 综合列式：（米）。 答：乙队每天修 15.6 米。 学生易错 1. 审题不清，天数混淆：误以为甲只工作了 25 天（忽略了先开工的 5 天），或者误以为乙也工作了 30 天。 2. 阶段不清：在列综合算式或方程时，没有将“甲单独做”和“甲乙合作”这两个不同阶段的工作量理清楚。 3. 小数除法失误：在计算带有小数的除法（如 ）时，忘记在商的小数点前补齐数位或点错小数点位置，导致最终结果错误。 变式拓展 甲、乙两工程队合修一条 822 米长的公路。甲队每天修 14.4 米，乙队每天修 15.6 米。甲队先单独修了 5 天后，乙队才加入一起相向施工。请问两队还需要合作多少天才能修完这条公路？ ■ 第 19 题 深度解析： 19. 为了倡导绿色出行，共享单车成为了很多人的首选。已知李明上个月骑行共享单车总里程为 45.5 千米，比王刚骑行里程的 3 倍还多 2.6 千米。王刚上个月骑行共享单车总里程是多少千米？ 【考点】小数混合运算, 列方程解应用题, 逆向思维 【难度】中等 最终答案 14.3 千米 思路起点 引导学生剥离生活情境，找准核心数量关系。看到“比王刚骑行里程的 3 倍还多 2.6 千米”，应当想到这是一个典型的“已知一个数的几倍多几是多少，求这个数”的问题。可以将王刚的里程看作“1 倍量”（未知量），李明的里程是“比较量”（已知量）。利用等量关系“王刚的里程 3 + 2.6 = 李明的里程”来列方程求解最为顺畅；若使用算术法求解，则需要逆向思考，先从李明的总里程中减去多出来的部分，剩下的刚好就是王刚里程的 3 倍。 详细解答 方法一：列方程法（推荐） 1. 设王刚上个月骑行共享单车总里程是 千米。 2. 根据等量关系“王刚的里程 3 + 2.6 = 李明的里程”列出方程： 3. 解方程： 方法二：算术法 1. 找出与王刚骑行里程 3 倍相对应的数量，即把李明的总里程减去多出来的 2.6 千米： （千米） 2. 计算王刚的骑行里程，用上一步的结果除以 3 即可得出“1 倍量”： （千米） 综合列式：（千米） 答：王刚上个月骑行共享单车总里程是 14.3 千米。 学生易错 1. 数量关系混淆：误把已知量当做一倍量，直接用李明的里程去乘 3 再加上 2.6。 2. 运算顺序错误：采用算术法列综合算式时忘记加小括号，写成 ，导致计算顺序错误，先算了除法。 3. 小数计算粗心：在计算 时，商的小数点定位错误，容易错误地算成 1.43 或 143。 变式拓展 学校图书馆新购进一批图书，其中科技书有 128 本，比故事书本数的 4 倍少 12 本。学校新购进故事书多少本？ ■ 第 20 题 深度解析： 20. 某市中心停车场的收费标准如下：停车不超过 2 小时（含 2 小时），收费 10 元；超过 2 小时的部分，每小时收费 3 元（不足 1 小时按 1 小时计算）。李叔叔在该停车场停了 4.5 小时，他应该缴纳多少停车费？ 【考点】分段计费, 小数应用题 【难度】中等 最终答案 19 元 思路起点 本题属于典型的“分段计费”问题。解题的关键在于将停车时间分为两部分进行独立处理：第一段是基础计费标准内的 2 小时，第二段是超出的时间。特别需要敏锐地捕捉到“不足 1 小时按 1 小时计算”这一特殊条件，这意味着在计算超出部分的收费时长时，必须采用“进一法”向上取整。理清两段费用后，求和即可得出最终结果。 详细解答 1. 首先，求出超出基础计费范围的停车时间：（小时）。 2. 接着，根据题目中“不足 1 小时按 1 小时计算”的规定，超出的 2.5 小时应当采用进一法，按照 3 小时来计算收费。 3. 然后，计算超出部分的停车费用：（元）。 4. 最后，将基础收费与超出部分的收费相加，求出总费用：（元）。 综合列式为： （元） 答：李叔叔应该缴纳 19 元停车费。 学生易错 1. 审题不仔细，忽略了“不足 1 小时按 1 小时计算”的条件，直接使用 （元）去计算超出部分的费用； 2. 算出超出部分费用后，只写了答案，忘记加上前 2 小时内产生的定额基础收费（10 元）。 变式拓展 某市出租车的计价标准如下：3 千米以内（含 3 千米）收费 12 元；超过 3 千米的部分，每千米收费 2.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。王阿姨乘出租车行驶了 6.4 千米，她到达目的地时需要支付多少元车费？ ■ 第 21 题 深度解析： 21. 某停车场的收费规则如下：第1小时8元，以后每15分钟收费3元，不满15分钟按15分钟收费。张叔叔在该停车场停车了2小时10分钟，他应该交停车费多少元？ 【考点】分段计费, 进一法 【难度】中等 最终答案 23元 思路起点 看到题目中的“第1小时”和“以后每……”等关键词，就要敏锐地想到这是经典的“分段计费”问题。解题的核心在于把总时间剥离为两个部分：“基础起步时间”和“超出时间”。找到数量关系后，另一个关键突破口是对“不满15分钟按15分钟收费”的理解，这在数学计算中对应的是“进一法”取整。先把时间统一转换为分钟，算出超出时间除以计费周期后需要收几次费，最后两段费用相加即可。 详细解答 第一步：理清停车总时间并分段。 张叔叔的总停车时间为2小时10分钟。 其中，第1部分（基础时间）：前1小时（即60分钟），这部分收费为8元。 第2部分（超出时间）：2小时10分钟 - 1小时 = 1小时10分钟。将超出部分换算成分钟，即 （分钟）。 第二步：计算超出时间的计费次数。 题目规定“以后每15分钟收费3元，不满15分钟按15分钟收费”。 我们计算70分钟里有几个15分钟： （个）…… （分钟） 因为剩下的10分钟不满15分钟，也要按1个15分钟的收费标准来算（即进一法）。 所以超出部分需要收费的次数为：（次）。 第三步：计算总费用。 超出部分的费用：（元） 总计停车费 = 第1小时的费用 + 超出部分的费用 = （元）。 答：他应该交停车费23元。 学生易错 1. 审题不清，漏减起步时间：计算后续时间时，直接用2小时10分钟（130分钟）去除以15，没有先扣除第1小时。 2. “进一法”运用错误：计算 时，不知道如何处理余数10分钟，习惯性使用“去尾法”或四舍五入，只算4次收费，导致少算费用。 3. 最后忘记加上基础费用：算出超出部分要花15元后，误把15元当成总答案，忘记加上第1小时的起步价8元。 变式拓展 某市出租车的计费标准如下：3千米以内（含3千米）起步价10元；超过3千米的部分，每千米收费2.4元（不足1千米按1千米计算）。李老师乘出租车从学校去教育局开会，计价器显示行驶里程为7.2千米，李老师需要付多少元车费？ ■ 第 22 题 深度解析： 22. 某停车场收费标准如下：停车1小时以内（含1小时）收费5元；超过1小时的部分，每30分钟收费2.5元（不足30分钟按30分钟计算）。如果李叔叔在该停车场停了135分钟，他要交多少停车费？ 【考点】分段计费, 进一法 【难度】中等 最终答案 12.5元 思路起点 这是一道经典的分段计费问题。解题的关键在于将总停车时间剥离为两段来思考：“基础收费时段”和“超出收费时段”。看到题干中“不足30分钟按30分钟计算”的特殊规定时，必须敏锐地联想到除法余数处理中的“进一法”。突破口在于：先减去基础的1小时，算出超出的具体时间，再看这段时间里包含几个“30分钟”的收费周期，最后将基础费用与超出费用相加即可。 详细解答 1. 统一时间单位并求出超出基础收费的时间： 1小时 = 60分钟 李叔叔总计停了135分钟，超出基础时长的时间为： 135 - 60 = 75（分钟） 2. 计算超出部分需要按照几个收费周期来计算： 超出部分每30分钟为一个计费周期： 75 ÷ 30 = 2（个）…… 15（分钟） 由于题目规定“不足30分钟按30分钟计算”，因此余下的15分钟也需要按照1个完整周期来收费（即使用“进一法”）。 超出部分的实际计费周期数为： 2 + 1 = 3（个） 3. 计算总费用： 基础部分的收费为5元，超出部分的收费为每个周期2.5元。 总费用 = 基础费用 + 超出部分费用 5 + 3 × 2.5 = 5 + 7.5 = 12.5（元） 答：他要交12.5元停车费。 学生易错 1. 忽略单位换算：没有将1小时转化为60分钟，直接用总分钟数去计算，导致逻辑混乱。 2. 余数处理错误（最常见）：在算出商2余15分钟后，没有认真审题，习惯性地丢弃余数（错用去尾法），只算了2个超出周期的费用；或者错用四舍五入法，导致最终少算了一段的钱。 3. 遗漏基础费用：算出超出部分的费用后，忘记加上最初1小时的5元基础费用。 变式拓展 某市出租车的计费标准如下：起步价为10元（含3千米及以内）；超过3千米的部分，每千米收费2.4元（不足1千米按1千米计算）。王老师乘坐出租车从学校到教育局，总路程为7.2千米，他应该付给司机多少钱？ ■ 第 23 题 深度解析： 23. 由于原题缺失了第一小问的收费标准条件，现补全情境并改编如下： 某市区路边停车位收费标准如下：停车1小时以内（含1小时）收费8元；超过1小时的部分，每半小时收费3元（不足半小时按半小时计算）。王阿姨开车离开时共交了26元的停车费。按照收费标准，王阿姨在这个停车位最长停了多少分钟？ 【考点】分段计费, 四则混合运算 【难度】中等 最终答案 240分钟 思路起点 这是一道典型的分段计费逆向推导问题。题目分为两段计费：第一段是1小时以内（固定收费8元），第二段是超过1小时的部分（按每半小时收费3元）。解决这类问题的切入点是“剥离”：首先从总费用中减去第一段的固定费用，求出第二段（超出部分）产生的总费用；再用这笔超出费用除以第二段的单价，求出第二段包含多少个计费周期（即几个半小时）；最后将两段的时长相加即可得出总时间。注意看清问题求的是“分钟”，需要统一时间单位。 详细解答 （1）首先，统一时间单位，理清基础数据： 小时 分钟，半小时 分钟。 （2）从总交费中减去第1小时（第一段）的固定收费，计算出超过1小时部分（第二段）产生的费用： （元） （3）计算这 元里包含了多少个“半小时（ 分钟）”的收费： （个） （4）计算超过1小时的部分最长是多少分钟（因为“不足半小时按半小时计算”，要使停车时间最长，意味着王阿姨刚好停满了这 个半小时，没有提前离开）： （分钟） （5）将第1小时的 分钟与超过部分的 分钟相加，求出总最长停车时间： （分钟） 答：王阿姨在这个停车位最长停了 分钟。 学生易错 1. 忽略基础费用段：看到总金额后，直接用 ，没有先减去首小时的 元固定费用。 2. 时间单位换算错误或遗漏：算出超出的 个计费周期后，不知如何转换，直接当成 分钟或 小时，或者忘了乘以 分钟。 3. 忘记加回基础时长：算出了超出部分的 分钟，却忘了加上第一段包含的 分钟，导致答案定格在 分钟。 变式拓展 某市出租车的计费标准是：起步价10元（3千米以内，含3千米）；超过3千米的部分，每千米收费2.5元（不足1千米按1千米计算）。张叔叔乘坐出租车下车时，支付了25元的车费。张叔叔这次乘车最远行驶了多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $