应用题专项突破（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 本专项聚焦五年级数学上册核心应用题，通过20道典型题系统整合差倍问题、行程问题等10类考点，融合算术与方程双解法，强化思路提炼与变式迁移，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |差倍问题|1|差÷倍数差=一倍量|以倍数关系为核心，建立数量差与倍数差的对应| |行程问题|2|速度差×时间=路程差|从路程关系切入，构建速度、时间、路程的模型| |几何面积|3|平行四边形/三角形面积公式|先求底/高，再代入公式计算，注重单位统一| |植树问题|4|间隔数=棵数±1（封闭图形等）|区分直线与封闭图形，建立间隔与总长关系| |小数运算|5|进一法/四舍五入法取近似值|结合实际场景选择合适的取值方法，强化运算准确性| |方程应用|5|设未知数→找等量关系→列方程|以和倍、差倍等问题为载体，培养代数思维|

人教版五年级数学上册应用题专项突破（二） 1. 折纸是一项能锻炼动手能力的传统手工活动。小红和小丽两人在家里折纸鹤，小红折的只数是小丽的 2.8 倍，小红比小丽多折了 18 只。小红和小丽各折了多少只纸鹤？（6分） 2. 小明和小刚两名骑行爱好者同时同地沿同一条路线骑自行车前往森林公园。经过 2.5 小时后，小明落后小刚 10 千米。已知小明平均每小时骑行 12 千米，小刚平均每小时骑行多少千米？ 3. 一块平行四边形草坪，高是 8m，底是高的 1.5 倍。这块草坪的面积是多少平方米？ 4. 一块三角形草坪的底是 14m，高是 10m。平均每平方米需要浇水 0.6kg，这块草坪一共需要浇水多少千克？ 5. 150名学生排成一队去参观科技馆，相邻两名学生的距离为2m，这支队伍长多少米？为加快入场速度，将这150名学生平均分成两队，相邻两名学生的距离仍为2m，现在每支队伍长多少米？ 6. 李师傅要把一根 6m 长的钢管锯成 1.2m 的短钢管，锯断一次需要 2.5 分钟，锯完一共需要多少分钟？ 7. 笔直的街道一旁安装着 31 盏路灯（两端都安装），相邻两盏路灯的间隔是 6m。现在要改为只安装 11 盏路灯（两端的路灯不动），间隔应改为多少米？(5 分) 8. 某公园有一个圆形荷花池，为了美化环境，要在荷花池四周每隔 6m 栽种 4 棵垂柳，一共栽种了 240 棵垂柳。这个圆形荷花池的周长是多少米？ 9. 某物流公司研发的智能配送车最大载质量可达 0.35t，能够实现无接触配送。现有 1.5t 快递物资需要一次性送到居民区，至少需要多少辆这种智能配送车？ 10. 我国某种新能源重卡汽车的电池组质量约为 0.72t。某大型储能电站的电池舱质量约比该重卡电池组质量的 16 倍还多 0.48t。该储能电站电池舱的质量约为多少吨？ 11. 水果中富含多种维生素。妈妈到超市买了 0.85kg 蓝莓和 2.4kg 苹果，共花了 62.8 元。（苹果：12元/千克，蓝莓：?元/千克）蓝莓每千克多少钱？ 12. 小明带了100元钱，想买下面的商品（钢笔24.5元/支，笔袋18.6元/个，笔记本12.8元/本），他先买了两本笔记本和两个笔袋，剩下的钱够买一支钢笔吗？ 13. 红星服装厂要为学校定制一批校服。原来每套校服用布 2.8 米，改进剪裁工艺后，每套校服节约用布 0.3 米。原来做 500 套校服的布料，现在可以做多少套？ 14. 两地间的路程是 350 km。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行。甲车每小时行驶 85 km，乙车每小时行驶 75 km，几小时后两车还差 30 km 才相遇？（列方程解答） 15. 在学校大课间活动中，五年级学生排成了一个“箭头”队形。该队形由一个边长为30m的正方形和一个底为30m、高为12m的等腰三角形组成。“箭头”队形内每6m²站立一名学生。这样一个队形一共需要多少名学生？ 16. 张阿姨通过网上购物，在这家商店订购了3箱苹果（1.5kg/箱，22.80元/箱），并选择配送服务（配送费为每单6.50元）。这笔订单她应该支付多少钱？ 17. 某学校食堂的采购员在网上超市订购了 6 箱牛奶和 4 盒饼干，并选择配送服务。已知牛奶每箱 45 元，配送服务费为 8 元。这笔订单一共花了 312.4 元。每盒饼干多少钱？ 18. 乐乐是一名阅读爱好者。他准备购买一些科普类图书和科幻类杂志，挑选了下面两种商品（科普类图书42.5元/本，科幻类杂志?元/本），各买5本，一共支付了350元。每本科幻类杂志多少钱？ 19. 我国自主研制的超级计算机“神威·海洋之光”的峰值运算速度为每秒15.2亿亿次，比某国外超级计算机运算速度的8倍还多0.48亿亿次。这款国外超级计算机的运算速度是每秒多少亿亿次？ 20. 某果园收获了108吨苹果，由甲、乙两个专业运输队共同运往冷库。已知甲队的运输量是乙队的1.25倍，甲、乙两队各运输苹果多少吨？(列方程解答) 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 折纸是一项能锻炼动手能力的传统手工活动。小红和小丽两人在家里折纸鹤，小红折的只数是小丽的 2.8 倍，小红比小丽多折了 18 只。小红和小丽各折了多少只纸鹤？（6分） 【考点】差倍问题, 列方程解应用题 【难度】中等 最终答案 小红折了 28 只，小丽折了 10 只 思路起点 解决本题的突破口在于找准“一倍量”（即标准量）。题目中以小丽折的只数作为基准，小红折的只数是小丽的 2.8 倍，因此小丽折的只数是一倍量。两人折的只数差（18 只）对应的正是两人折的倍数差（ 倍）。根据“差 倍数差 = 一倍量”的核心数量关系，可以先求出小丽折的只数，再求出小红折的只数。同样，也可以设一倍量为 ，通过列方程的方式来解决。 详细解答 本题可以通过算术法或代数法（列方程）进行解答。 方法一：算术法 1. 明确倍数关系与差的关系：小丽的只数是一倍量，小红折的只数是 2.8 倍。两人的差 18 只，对应的倍数差为 倍。 2. 求一倍量（小丽折的只数）： （只） 3. 求小红折的只数： （只） 或者 （只） 答：小红折了 28 只纸鹤，小丽折了 10 只纸鹤。 方法二：方程法 解：设小丽折了 只纸鹤，则小红折了 只纸鹤。 根据“小红比小丽多折了 18 只”列出方程： 合并同类项，得： 方程两边同时除以 1.8，得： 小红折的只数： （只） 答：小红折了 28 只纸鹤，小丽折了 10 只纸鹤。 学生易错 1. 数量与倍数没有正确对应：部分学生容易用差值 18 直接除以 2.8，而忽略了 18 只对应的是“倍数差”而不是“小红的倍数”。 2. 列方程求解时运算错误：在化简 时，容易漏掉 前面的系数 1，错误地计算为 或 。 变式拓展 为了美化教室，图书角购进了一批故事书和科普书。购进的故事书数量是科普书的 3.5 倍，且故事书比科普书多 35 本。故事书和科普书各购进了多少本？ ■ 第 2 题 深度解析： 2. 小明和小刚两名骑行爱好者同时同地沿同一条路线骑自行车前往森林公园。经过 2.5 小时后，小明落后小刚 10 千米。已知小明平均每小时骑行 12 千米，小刚平均每小时骑行多少千米？ 【考点】行程问题, 小数除法, 列方程解决问题 【难度】中等 最终答案 16 千米/时 思路起点 本题属于同向运动中的相差路程问题。引导学生从关键条件“经过 2.5 小时后，小明落后小刚 10 千米”切入分析。小明之所以落后，是因为小刚的速度比小明快，两人的路程差是由速度差在 2.5 小时内累积而成的。因此，可以找出核心数量关系：“速度差 时间 = 路程差”，或“小刚行驶的路程 - 小明行驶的路程 = 相差路程”，由此展开解答。 详细解答 可以使用两种方法解答： 方法一：算术方法 1. 先求出小明和小刚的速度差（即每小时小刚比小明多骑行多少千米）： （千米/时） 2. 已知小明的速度是 12 千米/时，小刚的速度较快，因此用小明的速度加上速度差： （千米/时） 答：小刚平均每小时骑行 16 千米。 方法二：方程方法 解：设小刚平均每小时骑行 千米。 根据两人的路程关系（小刚的路程 - 小明的路程 = 10 千米）列出方程： 答：小刚平均每小时骑行 16 千米。 学生易错 1. 关系理解错误：部分学生容易混淆两人的速度大小关系，误以为小明速度快，从而用减法计算 千米/时。 2. 计算失误：在计算 时，部分学生容易因为小数除法的商的小数点位置点错，得出 0.4 或 40 的错误结果。 变式拓展 甲、乙两艘轮船同时从同一个港口出发，沿同一航线同向航行。甲船平均每小时航行 28 千米，乙船平均每小时航行 35 千米。经过多少小时后，甲船落后乙船 24.5 千米？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 一块平行四边形草坪，高是 8m，底是高的 1.5 倍。这块草坪的面积是多少平方米？ 【考点】平行四边形的面积, 小数乘法应用题 【难度】基础 最终答案 96 平方米 思路起点 解决本题的切入点是平行四边形的面积公式。平行四边形的面积等于底乘以高，即 。题目中已知高为 8m，但底的长度没有直接给出，而是给出了它与高的倍数关系。因此，思考的第一步是利用倍数关系求出底的长度，第二步再将求出的底与已知的高代入公式，计算出草坪的面积。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 求平行四边形草坪的底： 已知高是 8m，底是高的 1.5 倍。 底 = (米) 2. 求平行四边形草坪的面积： 根据平行四边形的面积公式：面积 = 底 高 面积 = (平方米) 答：这块草坪的面积是 96 平方米。 学生易错 1. 审题不严：部分学生容易把“底是高的 1.5 倍”误认为“底是 1.5m”，从而直接用 得到面积。 2. 计算失误：在计算小数乘法 时，容易因小数点位置点错而算成 1.2 或 120。 3. 单位遗漏或写错：结果中可能忘记书写单位，或者将面积单位“平方米”误写成长度单位“米”。 变式拓展 一块平行四边形麦田，底是 12m，高是底的 0.8 倍。这块麦田的面积是多少平方米？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 一块三角形草坪的底是 14m，高是 10m。平均每平方米需要浇水 0.6kg，这块草坪一共需要浇水多少千克？ 【考点】三角形的面积, 小数乘法应用题 【难度】基础 最终答案 42 千克 思路起点 解决本题的突破口在于将实际生活场景转化为几何与数量关系问题。首先，需要根据三角形面积公式求出草坪的实际面积，找准“底”和“高”对应的数值关系；其次，利用“每平方米用水量 × 总面积 = 总用水量”这一数量关系，求出最终结果。 详细解答 第一步：计算三角形草坪的面积。 根据三角形面积计算公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2， 列式计算：14 × 10 ÷ 2 = 70（平方米）。 第二步：计算一共需要的浇水量。 根据“平均每平方米浇水量 × 草坪总面积 = 总浇水量”， 列式计算：70 × 0.6 = 42（千克）。 答：这块草坪一共需要浇水 42 千克。 学生易错 1. 面积公式混淆：在计算三角形面积时，部分学生容易漏掉“÷ 2”，直接用底乘高计算，导致面积算成 140 平方米。 2. 小数乘法计算失误：在进行 70 × 0.6 的乘法计算时，容易在点小数点或处理末尾的 0 时出现失误，误将结果写成 4.2 或 420。 变式拓展 一块三角形菜地的底是 20m，高是 15m。如果这块菜地共收获了 450kg 蔬菜，平均每平方米收获蔬菜多少千克？ ■ 第 5 题 深度解析： 5. 150名学生排成一队去参观科技馆，相邻两名学生的距离为2m，这支队伍长多少米？为加快入场速度，将这150名学生平均分成两队，相邻两名学生的距离仍为2m，现在每支队伍长多少米？ 【考点】植树问题, 间隔与人数的关系 【难度】中等 最终答案 298米，148米 思路起点 本题属于典型的直线上两端都植树的“植树问题”模型。在排队问题中，学生人数相当于“树的棵数”，学生之间的相邻距离相当于“每个间隔的长度”，队伍的长度相当于“总长”。核心突破口在于理清“人数”与“间隔数”的关系：在单一直线队列中，两端都有人时，间隔数比人数少1（即：间隔数 = 人数 - 1）。因此，求队伍长度需要先求出队列中的间隔数，再乘以相邻两人的距离。 详细解答 第一步：求一队时的队伍长度。 150人排成一队时，队伍中的间隔数为： （个） 队伍的总长度为： （米） 第二步：求分成两队后每支队伍的长度。 将150名学生平均分成两队，每队的人数为： （人） 每支队伍中的间隔数为： （个） 现在每支队伍的长度为： （米） 答：这支队伍长298米；现在每支队伍长148米。 学生易错 1. 概念混淆：部分学生容易直接用人数乘以相邻距离，列出 或 的算式，混淆了“人数”和“间隔数”的关系，忽略了首尾两端都有人时，间隔数应比人数少1。 2. 简单二分误差：在求第二问时，部分学生可能会直接用第一问的总长度除以2（即 米），而忽略了分成两队后会减少一个间隔（原队列中有 149 个间隔，分成两队后每队 74 个间隔，两队共 148 个间隔），从而导致计算失误。 变式拓展 某学校运动会开幕式上，一列仪仗队共有80名学生，相邻两名学生之间的距离是1.5m，这列队伍长多少米？如果由于场地限制，需要将队伍长度缩短，改为相邻两名学生的距离为1.2m，此时这列队伍长多少米？ ■ 第 6 题 深度解析： 6. 李师傅要把一根 6m 长的钢管锯成 1.2m 的短钢管，锯断一次需要 2.5 分钟，锯完一共需要多少分钟？ 【考点】小数除法, 植树问题, 小数乘法 【难度】中等 最终答案 10 分钟 思路起点 解题的核心在于理清钢管总长、每段长度、段数、锯的次数以及总时间之间的数量关系。首先，通过“总长度 每段长度”求出钢管被分成了多少段。然后，利用植树问题的原理，明确“锯的次数 段数 ”，这是本题的突破口。最后，用“单次时间 锯的次数”求得总时间。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 计算钢管一共可以锯成多少段： （段） 这里利用了小数除法的计算方法，将被除数和除数同时扩大 10 倍，转化为 。 2. 计算一共需要锯多少次： （次） 因为锯最后一次时，会同时切断并产生最后两段，所以锯的次数比段数少 1。 3. 计算锯完一共需要的时间： （分钟） 单次时间乘以总次数，即可求得总时间。 答：锯完一共需要 10 分钟。 学生易错 1. 混淆“段数”与“次数”的关系，容易直接用段数去乘单次时间，错误地列式为 分钟。 2. 在进行小数除法计算 时，因小数点位置移动错误，得出错误的段数。 变式拓展 王大伯要把一根长 8 米的竹竿锯成 0.8 米长的小段，每锯断一次需要 1.5 分钟。锯完这根竹竿一共需要多少分钟？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 笔直的街道一旁安装着 31 盏路灯（两端都安装），相邻两盏路灯的间隔是 6m。现在要改为只安装 11 盏路灯（两端的路灯不动），间隔应改为多少米？(5 分) 【考点】植树问题, 两端都种 【难度】中等 最终答案 18 米 思路起点 本题属于典型的植树问题（两端都种类型）。解决此类问题的核心在于寻找“路程、间隔数、间隔长度以及路灯数”之间的关系。首先，根据“两端都安装”的特点，路灯数比间隔数多 1，由此可以利用已知的第一组数据求出这条街道的总长度。然后，利用总长度不变这一等量关系，结合新的路灯数求出新的间隔数（间隔数 = 新路灯数 - 1），最后求出调整后的新间隔长度。 详细解答 第一步：求出原来路灯之间的间隔数。 原来安装 31 盏路灯，因为两端都安装，所以原来的间隔数为： （个） 第二步：计算街道的总长度。 相邻两盏路灯的间隔是 6 米，所以街道总长为： （米） 第三步：求出调整后新路灯之间的间隔数。 调整后只安装 11 盏路灯，因为两端不动（依然是两端都安装），所以新的间隔数为： （个） 第四步：计算调整后的间隔长度。 用街道总长度除以新的间隔数： （米） 答：间隔应改为 18 米。 学生易错 1. 忽视“两端都安装”的前提条件，在计算间隔数时直接用路灯数量进行乘除计算（例如：直接用 求总长，或者用总长直接除以 11 求新间隔）。 2. 对植树问题中不同类型（两端都种、两端都不种、一端种一端不种）的计算规律产生混淆，未能准确进行“加 1”或“减 1”的调整。 变式拓展 在一条笔直的公路上，一旁每隔 8m 栽一棵行道树（两端都栽），一共栽了 51 棵。现在要改为每隔 10m 栽一棵（两端行道树不动），一共需要栽多少棵行道树？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 某公园有一个圆形荷花池，为了美化环境，要在荷花池四周每隔 6m 栽种 4 棵垂柳，一共栽种了 240 棵垂柳。这个圆形荷花池的周长是多少米？ 【考点】植树问题, 封闭图形的植树规律 【难度】中等 最终答案 360 米 思路起点 本题属于封闭图形的“植树问题”。解决此类问题的思考起点在于剥离具体情境，抽象出“点”与“间隔”的关系。首先，通过“总柳树棵数 每个位置栽种的棵数”求出共有多少个栽种位置；其次，利用封闭图形中“间隔数 位置数”的核心数量关系，确定间隔数；最后，通过“周长 间隔数 间隔长度”求得答案。 详细解答 解： 第一步：求一共有多少个栽种位置（即间隔数）。 因为每隔 6m 栽种 4 棵垂柳，一共栽种了 240 棵，所以栽种的位置数（点数）为： （个） 第二步：根据封闭图形的特征确定间隔数。 因为荷花池是圆形的（属于封闭图形），在封闭图形中，栽种的位置数等于间隔数，所以间隔数也是 60 个。 第三步：求圆形荷花池的周长。 每个间隔的长度是 6m，所以总周长为： （米） 答：这个圆形荷花池的周长是 360 米。 学生易错 1. 混淆封闭与非封闭图形的规律：部分学生容易受到非封闭路线上植树问题（如两端都种要“加 1”）的思维定势影响，在求出 60 个位置后，错误地进行 或 的计算。 2. 忽视“每处多棵”的条件：部分学生可能直接用总棵数 240 乘以间隔 6 米，没有理解 4 棵树是合并栽种在同一个位置上的，导致列式错误。 变式拓展 某学校有一个环形跑道，为了迎接运动会，在跑道四周每隔 5m 插一束气球，每束气球由 3 个气球组成。已知跑道全长 400m，一共需要准备多少个气球？ ■ 第 9 题 深度解析： 9. 某物流公司研发的智能配送车最大载质量可达 0.35t，能够实现无接触配送。现有 1.5t 快递物资需要一次性送到居民区，至少需要多少辆这种智能配送车？ 【考点】小数除法, 商的近似数 【难度】中等 最终答案 5 辆 思路起点 首先，分析题目中的数量关系，已知要运送的物资总质量（总量）和单辆智能配送车的最大载重（单量），求需要的车辆数，应使用除法解决，即“总量 单量 = 数量”。其次，思考计算结果在实际生活中的合理性：因为车辆数必须是整数，且剩余的物资也必须要运走，所以无论余数是多少，都需要向整数部分进 1，即采用“进一法”取近似值。 详细解答 根据题意，需要求出运送 1.5t 物资至少需要多少辆最大载重为 0.35t 的配送车。 列式计算如下： （辆） 根据实际情况，4 辆车只能运送： （t） 此时还剩下： （t）的物资，剩下的这 0.1t 物资依然需要 1 辆配送车来运送。 因此，需要的车辆数应该在商的整数部分上加 1： （辆） 答：至少需要 5 辆这种智能配送车。 学生易错 1. 机械套用“四舍五入”法：部分学生在求得商约为 4.29 后，受思维定势影响，认为十分位上的 2 小于 5 应该舍去，从而得出需要 4 辆的错误结论，忽视了“剩余的 0.1t 物资也需要一辆车”的现实生活逻辑。 2. 小数除法计算出错：在计算 时，在将被除数和除数同时扩大相同倍数时，容易把 误移位成 导致计算结果出错。 变式拓展 学校手工作坊组织灯笼制作活动，做一个灯笼需要 0.18 米红丝带。现在有一根 2.5 米长的红丝带，最多可以做多少个这样的灯笼？ ■ 第 10 题 深度解析： 10. 我国某种新能源重卡汽车的电池组质量约为 0.72t。某大型储能电站的电池舱质量约比该重卡电池组质量的 16 倍还多 0.48t。该储能电站电池舱的质量约为多少吨？ 【考点】小数乘加混合运算, 多步应用题 【难度】中等 最终答案 12 吨 思路起点 解决本题的切入点在于理清题目中的倍数与求和关系。已知一个基准量（新能源重卡电池组的质量为 0.72t），要求的目标量（储能电站电池舱质量）与基准量存在 “比一个数的几倍还多多少” 的数量关系。其核心数量关系式为：目标量 = 基准量 × 倍数 + 多的量。因此，第一步先求出重卡电池组质量的 16 倍是多少，第二步再加上多的 0.48t 即可解决问题。 详细解答 分步列式与解答如下： 第一步：计算新能源重卡电池组质量的 16 倍是多少吨。 列式为：0.72 × 16 = 11.52（t） 这里利用了小数乘整数的计算方法，先按整数乘法 72 × 16 = 1152 计算，再从积的右边起数出两位点上小数点，得到 11.52。 第二步：计算电池舱的质量，即在 11.52t 的基础上再加上 0.48t。 列式为：11.52 + 0.48 = 12（t） 这里利用了小数加法的计算方法，注意小数点对齐，百分位上 2 + 8 = 10 向十分位进 1，十分位上 5 + 4 + 1 = 10 向个位进 1，计算结果 12.00 根据小数的性质化简为 12。 综合算式： 0.72 × 16 + 0.48 = 11.52 + 0.48 = 12（t） 答：该储能电站电池舱的质量约为 12 吨。 学生易错 1. 小数乘法计算时对位出错：部分学生在列竖式计算 0.72 × 16 时，容易错误地将小数点对齐进行计算，从而导致计算混乱。 2. 遗漏进位：在进行小数加法 11.52 + 0.48 时，学生容易在连续进位时出错，或漏写小数点，导致最终结果错写为 1.2 或 120。 3. 理解数量关系时发生混淆：将 “比……的多” 误用减法计算，从而列出算式 0.72 × 16 - 0.48。 变式拓展 某种智能巡检机器人的单次工作时间约为 1.8 小时。某型重载清洁机器人的单次工作时间约比该巡检机器人的 3 倍少 0.5 小时。该清洁机器人的单次工作时间约为多少小时？ ■ 第 11 题 深度解析： 11. 水果中富含多种维生素。妈妈到超市买了 0.85kg 蓝莓和 2.4kg 苹果，共花了 62.8 元。（苹果：12元/千克，蓝莓：?元/千克）蓝莓每千克多少钱？ 【考点】小数四则混合运算, 单价、数量、总价的关系 【难度】中等 最终答案 40元/千克 思路起点 本题的思考起点是理清“整体与部分”的数量关系。已知购买两种水果的总花费，要求其中一种水果（蓝莓）的单价，需要先求出蓝莓的总价。根据“单价 数量 = 总价”，可以利用已知的苹果单价和数量求出购买苹果的花费；再用总花费减去苹果的花费，得到购买蓝莓的总价；最后利用“总价 数量 = 单价”求出蓝莓的单价。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 首先计算购买苹果一共花了多少钱： （元） 2. 接着计算购买蓝莓一共花了多少钱： （元） 3. 最后计算蓝莓每千克多少钱： （元/千克） 如果要列出综合算式，过程如下： （元/千克） 答：蓝莓每千克 40 元。 学生易错 1. 运算顺序错误：部分学生在列综合算式时可能会忽略小括号的作用，写成 ，导致先算了除法而得出错误结果。 2. 小数除法计算失误：在进行 计算时，部分学生在移动除数的小数点后，忘记给被除数 的末尾补上相应个数的“0”，从而得出“4”或“400”等不符合生活常识的错误答案。 变式拓展 文具店开展促销活动。小明买了 3 支钢笔和 12 支铅笔，共花了 57.6 元。已知铅笔每支 1.8 元，钢笔每支多少钱？ ■ 第 12 题 深度解析： 12. 小明带了100元钱，想买下面的商品（钢笔24.5元/支，笔袋18.6元/个，笔记本12.8元/本），他先买了两本笔记本和两个笔袋，剩下的钱够买一支钢笔吗？ 【考点】小数乘加混合运算, 小数减法, 解决问题 【难度】基础 最终答案 够 思路起点 本题的思考起点在于理清购买商品的总账目与剩余金额之间的数量关系。可以先分析已知条件，求出小明已经买的两本笔记本和两个笔袋一共花了多少钱，再用总钱数100元减去已花去的钱数，求出剩下的钱，最后将剩下的钱数与钢笔的单价进行大小比较，即可得出结论。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 第一步：计算买两本笔记本和两个笔袋一共需要的钱数。 方法一（分步列式）： 两本笔记本的价钱：（元） 两个笔袋的价钱：（元） 一共的价钱：（元） 方法二（综合列式，运用乘法分配律简算）： （元） 第二步：计算剩下的钱数。 （元） 第三步：比较剩下的钱数与钢笔的单价。 因为 ，所以剩下的钱够买一支钢笔。 答：剩下的钱够买一支钢笔。 学生易错 1. 审题不够仔细，容易忽略“两本”和“两个”的数量限制，直接将各一件的单价相加。 2. 在进行小数乘法或小数减法计算时（如 ），由于数位对齐不准确或退位借一处理不当，导致计算失误。 3. 得出剩余钱数 元后，忘记将其与钢笔单价 元进行对比，导致作答不完整，缺少明确的结论。 变式拓展 小华带了80元去超市，想买下面的商品（果汁12.6元/瓶，牛奶14.5元/盒，面包9.8元/袋），他先买了两盒牛奶和三袋面包，剩下的钱够买一瓶果汁吗？ ■ 第 13 题 深度解析： 13. 红星服装厂要为学校定制一批校服。原来每套校服用布 2.8 米，改进剪裁工艺后，每套校服节约用布 0.3 米。原来做 500 套校服的布料，现在可以做多少套？ 【考点】小数乘除法, 归总问题 【难度】中等 最终答案 560 套 思路起点 本题的核心在于抓住题目中的不变量。通过题目可以分析出，无论工艺如何改进，制作这批校服所使用的“布料总量”是保持不变的。因此，解题的突破口在于先求出布料总量（即原来的每套用布量乘原来做的套数），再求出改进后现在每套校服的用布量（原来每套用布量减去节约的用布量），最后用总布料除以现在每套的用布量，即可求出现在可以做的套数。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 计算红星服装厂原有的布料总量： （米） 2. 计算改进工艺后，现在每套校服的用布量： （米） 3. 计算现在一共可以做的校服套数： （套） 也可以列出综合算式解答： （套） 答：现在可以做 560 套。 学生易错 1. 混淆“节约用量”与“实际用量”：部分学生在审题时不够仔细，容易将“节约用布 0.3 米”直接误认为是“现在每套用布 0.3 米”，从而列出错误的算式 。 2. 小数除法计算出错：在计算 时，学生在移动除数和被除数的小数点时容易出错，导致商的大小出现偏差（例如算成 56 套或 5600 套）。 变式拓展 宏达玩具厂要生产一批毛绒玩具。原来每个玩具需要填充棉 0.45 千克，技术革新后，每个玩具可以节约填充棉 0.05 千克。原来准备做 800 个玩具的填充棉，现在可以多做多少个？ ■ 第 14 题 深度解析： 14. 两地间的路程是 350 km。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行。甲车每小时行驶 85 km，乙车每小时行驶 75 km，几小时后两车还差 30 km 才相遇？（列方程解答） 【考点】列方程解决实际问题, 相遇问题 【难度】中等 最终答案 2 小时 思路起点 分析本题的行程情境，两车从两地同时出发，相向而行。寻找核心的数量关系：甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = 两车已经行驶的路程和。题目中提到“还差 30 km 才相遇”，说明两车已经行驶的路程和等于“总路程减去还差的距离”。我们可以设要求的时间为 小时，利用“速度和 行驶时间 = 总路程 - 剩余路程”这一等量关系建立方程。 详细解答 解：设 小时后两车还差 30 km 才相遇。 根据题意，两车的速度和乘以行驶时间，再加上还差的距离等于总路程。列出方程： 先合并括号内的同类项： 方程两边同时减去 30： 方程两边同时除以 160： 答：2 小时后两车还差 30 km 才相遇。 学生易错 1. 等量关系混淆：部分学生容易将“还差的距离”与“已行的路程”混淆，错误地列出如 的方程。 2. 格式不够规范：在列方程解答时，部分学生容易遗漏写“解：设”的步骤，或者在解方程的过程中在每一步后面带上单位。 3. 计算粗心：在进行大数除法（如 ）时，因数位对错或计算不认真导致得出错误结果。 变式拓展 两地间的路程是 410 km。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行。甲车每小时行驶 90 km，乙车每小时行驶 80 km，出发 2 小时后，两车还相距多少千米？ ■ 第 15 题 深度解析： 15. 在学校大课间活动中，五年级学生排成了一个“箭头”队形。该队形由一个边长为30m的正方形和一个底为30m、高为12m的等腰三角形组成。“箭头”队形内每6m²站立一名学生。这样一个队形一共需要多少名学生？ 【考点】组合图形的面积, 多边形的实际应用 【难度】中等 最终答案 180名 思路起点 解决本题的突破口在于将复杂的组合图形进行合理拆分。通过观察题目可知，“箭头”队形由一个正方形和一个等腰三角形组合而成。因此，解题的思考起点是先分别求出这两个规则图形的面积并求和，得到总面积；再根据“每 6m² 站立一名学生”的数量关系，用总面积除以单人占地面积，从而计算出总人数。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 计算正方形部分的面积： 正方形的边长为 30m，根据正方形面积公式 ： 2. 计算等腰三角形部分的面积： 三角形的底为 30m，高为 12m，根据三角形面积公式 ： 3. 计算整个“箭头”队形的总面积： 将两部分的面积相加： 4. 计算站立的学生总人数： 根据“每 站立一名学生”，用总面积除以单人占地面积： 答：这样一个队形一共需要 180 名学生。 学生易错 1. 遗忘公式：在计算等腰三角形的面积时，部分学生容易忘记“除以 2”，导致算出的三角形面积偏大。 2. 运算逻辑混淆：在求学生人数时，少数学生容易混淆数量关系，错误地使用乘法（如 ），未能理解“每 6m² 站一人”是包含除法的实际应用。 3. 数据代入失误：在多步骤计算中，容易将三角形的底（30m）或高（12m）等数据在列式时相互混淆或代入错误。 变式拓展 某公园计划铺设一块由一个底为16m、高为10m的平行四边形绿地和一个底为16m、高为6m的三角形绿地组成的组合图形草坪。如果每平方米草坪的铺设成本是25元，那么铺设这块草坪一共需要多少元？ ■ 第 16 题 深度解析： 16. 张阿姨通过网上购物，在这家商店订购了3箱苹果（1.5kg/箱，22.80元/箱），并选择配送服务（配送费为每单6.50元）。这笔订单她应该支付多少钱？ 【考点】小数乘加混合运算, 解决实际问题 【难度】基础 最终答案 74.9元 思路起点 解决本题的思考起点是理清订单总费用的组成部分。订单总费用由 “商品总金额” 和 “配送服务费” 两部分组成。其中，商品总金额可以通过 “单价 数量” 计算得出。需要注意的是，题目中给出的 “1.5kg/箱” 是商品的规格描述，在本题计算总价时属于多余条件，应注意识别并排除干扰。 详细解答 分步列式计算过程如下： 1. 计算购买3箱苹果的商品总金额： （元） 这里利用了 “单价 数量 = 总价” 的数量关系。 2. 计算订单需要支付的总金额（商品总金额加上配送费）： （元） 综合算式为： （元） 答：这笔订单她应该支付 74.9 元。 学生易错 1. 受到多余条件的干扰：部分学生容易将表示商品规格的 “1.5kg” 编入算式中（例如错误地列成 ），没有理清各数量之间的逻辑关系。 2. 漏算配送费：部分学生在算出商品总价 68.4 元后，忽略了题干中 “并选择配送服务” 这一条件，忘记加上配送费。 3. 小数计算失误：在进行小数乘法 或小数加法 时，容易因小数点对齐问题或进位疏忽而计算出错。 变式拓展 王叔叔在网上购买了4箱橙子（2.5kg/箱，18.50元/箱），配送费按货物总重量计算，每千克加收 2 元配送费。这笔订单王叔叔一共需要支付多少钱？ ■ 第 17 题 深度解析： 17. 某学校食堂的采购员在网上超市订购了 6 箱牛奶和 4 盒饼干，并选择配送服务。已知牛奶每箱 45 元，配送服务费为 8 元。这笔订单一共花了 312.4 元。每盒饼干多少钱？ 【考点】小数四则混合运算, 多步复杂应用题 【难度】中等 最终答案 8.6 元 思路起点 引导学生从整体入手，分析订单总金额的构成。本题中订单的总花费由三部分组成：购买牛奶的总价、购买饼干的总价以及配送服务费。其核心数量关系为：。求饼干的单价，需要先用总花费减去牛奶的总价和配送服务费，求出 4 盒饼干的总价，再除以饼干的数量 4 即可。 详细解答 解： 第一步，计算 6 箱牛奶的总价： （元） 第二步，计算 4 盒饼干的总价（从总花费中依次扣除牛奶总价和配送服务费）： （元） 第三步，计算每盒饼干的单价： （元） 也可以列综合算式： （元） 答：每盒饼干 8.6 元。 学生易错 1. 漏掉或运算错误配送服务费。部分学生在理清数量关系时，容易忽略题目中的“配送服务费 8 元”，直接用总价减去牛奶价格后进行除法计算。 2. 小数除法的计算失误。在进行 的计算时，容易由于小数点定位错误而得出 86 或 0.86 等错误结果。 3. 四则运算顺序错误。在列综合算式时，未能正确使用括号，导致运算顺序混乱。 变式拓展 某书店在线上搞促销活动，小明购买了 5 本故事书和 3 本漫画书，并使用了一张 5 元的优惠券（即在账单总额中扣减 5 元），另外需要支付 6 元的包装快递费。已知故事书每本 16.5 元，小明实际共支付了 107.5 元。每本漫画书多少钱？ ■ 第 18 题 深度解析： 18. 乐乐是一名阅读爱好者。他准备购买一些科普类图书和科幻类杂志，挑选了下面两种商品（科普类图书42.5元/本，科幻类杂志?元/本），各买5本，一共支付了350元。每本科幻类杂志多少钱？ 【考点】小数四则混合运算, 解决问题 【难度】中等 最终答案 27.5元 思路起点 解决本题的关键在于理清商品单价、数量与总价之间的数量关系。题目中给出了两种商品的购买数量相同（都是5本），且已知总支付金额。我们可以从两个角度切入： 方法一（整体法）：将1本图书和1本杂志看作一个整体。先求出买1本图书和1本杂志共需要多少钱（总价 数量），再减去科普类图书的单价，即可求得科幻类杂志的单价。 方法二（分步法）：先计算出购买5本科普类图书的总花费（单价 数量），用总支付金额减去图书的总花费，得到5本科幻类杂志的总价，最后除以数量5，求出科幻类杂志的单价。 详细解答 本题有两种常见的解题方法： 方法一（整体法）： 1. 因为两种商品各买了5本，我们可以把1本科普类图书和1本科幻类杂志合在一起看作一套商品。 2. 购买5套商品的总价是350元，所以一套商品的价格为： （元） 3. 已知科普类图书的单价是42.5元/本，那么科幻类杂志的单价为： （元） 列出综合算式为： （元） 方法二（分步法）： 1. 首先，求出购买5本科普类图书的总价： （元） 2. 接着，求出购买5本科幻类杂志的总价： （元） 3. 最后，求出每本科幻类杂志的单价： （元） 列出综合算式为： （元） 答：每本科幻类杂志27.5元。 学生易错 1. 运算顺序错误：在使用分步法列综合算式 时，部分学生容易漏掉小括号，写成 ，从而导致计算顺序出错。 2. 小数计算失误：在进行 或 等小数乘除法笔算时，容易因为粗心将小数点位置点错，例如将 的结果错算为 或 。 变式拓展 乐乐去文具店买铅笔和橡皮，铅笔每支1.5元，橡皮每块的价格是铅笔的2倍。乐乐买了一些铅笔和同样数量的橡皮，一共付了27元。乐乐买了多少支铅笔？ ■ 第 19 题 深度解析： 19. 我国自主研制的超级计算机“神威·海洋之光”的峰值运算速度为每秒15.2亿亿次，比某国外超级计算机运算速度的8倍还多0.48亿亿次。这款国外超级计算机的运算速度是每秒多少亿亿次？ 【考点】列方程解决问题, 稍复杂的方程, 小数乘除法应用题 【难度】中等 最终答案 每秒1.84亿亿次 思路起点 引导学生切入本题的思考起点： 1. 寻找核心等量关系：题目中存在两个主要的量，一是我国超级计算机的速度（已知，15.2亿亿次），二是国外超级计算机的速度（未知）。 2. 剥离生活场景：抓住关键句“比某国外超级计算机运算速度的8倍还多0.48亿亿次”，这里的“比”字后面接的是“国外超级计算机的速度”，说明它是基准量（即设为 ）。 3. 建立数量关系式：国外超级计算机的速度 我国超级计算机的速度。由此既可以列方程解答，也可以通过逆向思维利用算术法求解。 详细解答 本题可以通过两种方法进行解答： 方法一：列方程解答 解：设这款国外超级计算机的运算速度是每秒 亿亿次。 根据题意，可列出方程： 在方程左右两边同时减去 0.48，得： 在方程左右两边同时除以 8，得： 方法二：算术法解答 根据题意，我国超级计算机的速度比国外超级计算机速度的 8 倍还多 0.48 亿亿次。如果从我国超级计算机的速度中减去多出的 0.48 亿亿次，剩下的部分正好是国外超级计算机速度的 8 倍。 列式计算如下： 答：这款国外超级计算机的运算速度是每秒 1.84 亿亿次。 学生易错 1. 数量关系理不顺：部分学生容易分不清谁是“一倍量”，错将已知量当成基准量，列出错误算式 。 2. 算术法漏掉括号：在使用算术法列综合算式时，容易忽略先算减法的步骤，错误地列成 。 3. 小数除法计算失误：在计算 时，由于小数除法的数位对齐问题，容易在商的小数点定位上出错，或者算错商的百分位上的数字。 变式拓展 我国自主研制的“奋斗者”号全海深载人潜水器在马里亚纳海沟成功下潜，最大下潜深度达到10.909千米，比某款普通潜水器最大下潜深度的12倍还多0.109千米。这款普通潜水器的最大下潜深度是多少千米？ ■ 第 20 题 深度解析： 20. 某果园收获了108吨苹果，由甲、乙两个专业运输队共同运往冷库。已知甲队的运输量是乙队的1.25倍，甲、乙两队各运输苹果多少吨？(列方程解答) 【考点】列方程解决实际问题, 和倍问题 【难度】中等 最终答案 甲队60吨，乙队48吨 思路起点 本题属于经典的“和倍问题”。解决本题的思考起点在于找准两个未知量之间的倍数关系与它们相加的总和。题目给出了“甲队的运输量是乙队的1.25倍”和“两队共同运送108吨”这两个核心条件。通常我们可以将作为基准的一倍量（即较小的量，这里是乙队的运输量）设为 ，则另一个量（甲队的运输量）可以表示为 。以此构建“甲队运输量 + 乙队运输量 = 总运输量”的等量关系来列方程求解。 详细解答 解：设乙队运输苹果 吨，则甲队运输苹果 吨。 根据题意，甲、乙两队共运输苹果108吨，列出方程： 合并同类项，得： 方程两边同时除以2.25，得： 求出乙队的运输量后，再计算甲队的运输量： （吨） 或者使用减法计算： （吨） 答：甲队运输苹果60吨，乙队运输苹果48吨。 学生易错 1. 设未知数不当：部分学生在设未知数时，可能会习惯性地设甲队为 吨，从而得出乙队为 吨。在方程中引入除法运算，容易在解方程时因为计算繁琐而出现失误。 2. 漏解第二个未知量：部分学生在求得 之后，未仔细审阅问题，误以为已经完成解答，漏掉了计算甲队运输量这一步。 3. 数量关系混淆：少数学生在列方程时，容易将“甲是乙的1.25倍”误表示为 ，混淆了倍数关系与相差关系。 变式拓展 某书店运进一批图书共450套，其中科普读物的套数是故事书的1.5倍。科普读物和故事书各有多少套？(列方程解答) 学科网（北京）股份有限公司 $