精品解析：安徽省合肥市育英中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

七年级下册数学期末试卷 一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 1. 在实数、、、0中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是整数，且，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 如图所示，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式的值为正数的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 6. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（ ） A. 113113 B. 111331 C. 113553 D. 115335 10. 已知，，且满足，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 11. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．氢原子基态电子绕着原子核运动一周所需时间约150阿秒，将150阿秒用科学记数法表示为________秒． 12. 已知，，则 ． 13. 对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 14. 有长方形纸片，已知，、分别是、上一点，且，将纸片沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）如图1，当时，____ （2）如图2，过点作线段，将分成度数比为的两个角，交直线于点，则________．（用含有的式子表示） 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． （1）画出平移后的； （2）线段、之间关系是__________ （3）的面积是__________ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： … （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简： 20. 新定义：若两个一元一次不等式的解集存在公共部分，且公共部分内既有正整数解，又有负整数解，则称这两个不等式为“联动不等式”．现有不等式A：，不等式B： （1）当a取以下哪些值时________（填序号），可使不等式A和B为联动不等式； ① ② ③ （2）在（1）中取一个合适的a值使不等式A和B为联动不等式，且关于x的方程的解恰好落在不等式A和B的公共解集中，求整数k的最小值； （3）若不等式A和B为“联动不等式”，则a的取值范围为________．（直接写出答案） 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 为服务合肥文旅宣传，学生实践小组筹备两款合肥城市打卡文创礼盒：A款庐州剪影礼盒、B款巢湖风物礼盒．已知单个B款礼盒定价是A款礼盒的1.2倍，用600元采购A款礼盒的数量，比同金额采购B款礼盒的数量多5个． （1）求两款文创礼盒的单价； （2）小组计划一共采购礼盒50个，且A款礼盒数量不超过B款礼盒数量的1.5倍，总采购预算不超过1090元，请列出所有可行采购方案． 22. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休”、数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若x满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，长方形中，，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点，作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积为________． 七、解答题（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图1是经典的平行线间拐点问题，其中，点在上，点在上，点在直线、之间，连接、． （1）为探索和、之间的数量关系，小明同学试图证明如下： 过点作，∵，∴…… 请你沿着小明同学的思路将证明写完． （2）如图2，点在直线与之间，且，求证：． （3）如图3，连接，移动点至直线上方，使得，延长交直线于点，若，，平分，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下册数学期末试卷 一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 1. 在实数、、、0中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各数，再根据实数大小比较规则：负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 最小的数是． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，，错误； B、根据积的乘方法则：每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，错误； C、变形后用平方差公式计算，，正确； D、根据同底数幂相除法则：底数不变，指数相减，，错误． 3. 已知是整数，且，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 4. 如图所示，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，由同位角相等，可判定，不符合题意； B、，由对顶角相等和同旁内角互补，可判定，不符合题意； C、，由内错角相等，可判定，不符合题意； D、，不能判定，符合题意． 5. 分式的值为正数的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 6. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用不等式的基本性质，逐一判断各选项不等式是否成立，即可找出不正确的选项． 【详解】解：已知， A选项：∵，∴，即成立，A正确，不符合要求； B选项：∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，∴，即成立，B正确，不符合要求； C选项：∵，，不等式两边同时乘非负数，不等号方向不变，∴成立，C正确，不符合要求； D选项：∵，可得，给两边同时除以，得，即，也就是，∴不成立，D不正确，符合要求． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用整体代入法求分式的值，先根据已知等式推导出与的关系，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，通分可得， ∴，整理得． 又∵ ∴． 8. 2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作 ，利用平行线的性质求出的度数，再根据已知条件求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（ ） A. 113113 B. 111331 C. 113553 D. 115335 【答案】B 【解析】 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入、的值计算各因式得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码． 【详解】解：， 当取，时，，， 那么11、31、13为因式码，按从小到大顺序排列后连接得到密码111331． 10. 已知，，且满足，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用表示和，再根据，求出和的取值范围，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将代入得，， ∵，， ∴， 解得， 对A选项：，故A错误； 对B选项：，故B错误； 对C选项：计算得，与不符，故C错误； 对D选项：∵，，∴不等式变形得，不等式各项加得 ，即，故D正确． 二、填空题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 11. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．氢原子基态电子绕着原子核运动一周所需时间约150阿秒，将150阿秒用科学记数法表示为________秒． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，阿秒秒， 则阿秒． 12. 已知，，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知等式求出，再利用负整数指数幂求解即可． 【详解】解：，， ， ． 13. 对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算法则得到分式方程，去分母化简求解得，再根据分式方程有增根，得到，即可得解． 【详解】解：由得，， 整理得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 解得：． 14. 有长方形纸片，已知，、分别是、上一点，且，将纸片沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）如图1，当时，____ （2）如图2，过点作线段，将分成度数比为的两个角，交直线于点，则________．（用含有的式子表示） 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，由可得； （2）同理（1）可得，结合折叠的性质可得．分为和两类讨论，分别计算即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴； （2）同理（1）可得， ∴， 由折叠的性质可得，， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； 综上所述，或． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． （1）画出平移后的； （2）线段、之间关系是__________ （3）的面积是__________ 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）7 【解析】 【分析】（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出，； （3）用正方形的面积减去3个三角形的面积即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； ； 【小问2详解】 解：如图，由平移的性质即可得出，． 故答案为：平行且相等； 【小问3详解】 解：． 故答案为：7． 【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，在网格中求三角形的面积．利用数形结合的思想是解题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： … （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简： 【答案】（1） （2）左边 右边； （3） 【解析】 【分析】（1）根据规律填空即可； （2）利用多项式的乘法法则，计算即可证明结论成立； （3）利用规律解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解： ． 20. 新定义：若两个一元一次不等式的解集存在公共部分，且公共部分内既有正整数解，又有负整数解，则称这两个不等式为“联动不等式”．现有不等式A：，不等式B： （1）当a取以下哪些值时________（填序号），可使不等式A和B为联动不等式； ① ② ③ （2）在（1）中取一个合适的a值使不等式A和B为联动不等式，且关于x的方程的解恰好落在不等式A和B的公共解集中，求整数k的最小值； （3）若不等式A和B为“联动不等式”，则a的取值范围为________．（直接写出答案） 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得公共部分为；分别将a的值代入计算，即可判断； （2）由（1）得时，公共解集：，根据题意得到，据此求解即可； （3）根据题意得到不等式组，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵不等式A的解集为，不等式B的解集为， ∴公共部分为． ①时， 解集：，只有负整数，无正整数，不是联动不等式； ②时， 解集：，负整数：；正整数：1和2，正负都有，是联动不等式； ③时， 解集：，只有正整数，无负整数，不是联动不等式； 【小问2详解】 解：由（1）得时，公共解集：， 解方程，得， 满足，解得， ∴整数k的最小值为； 【小问3详解】 解：∵不等式A和B为“联动不等式”， ∴公共部分内既有正整数解，又有负整数解． ∵不等式A的解集为，不等式B的解集为， ∴公共部分为． 要使公共部分内有负整数解，则，即； 要使公共部分内有正整数解，则，即． 综合以上条件，可得． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 为服务合肥文旅宣传，学生实践小组筹备两款合肥城市打卡文创礼盒：A款庐州剪影礼盒、B款巢湖风物礼盒．已知单个B款礼盒定价是A款礼盒的1.2倍，用600元采购A款礼盒的数量，比同金额采购B款礼盒的数量多5个． （1）求两款文创礼盒的单价； （2）小组计划一共采购礼盒50个，且A款礼盒数量不超过B款礼盒数量的1.5倍，总采购预算不超过1090元，请列出所有可行采购方案． 【答案】（1）A款文创礼盒单价为元，B款文创礼盒单价为元； （2）共有三种可行采购方案：方案①采购A款个，B款个；方案②采购A款个，B款个；方案③采购A款个，B款个 【解析】 【分析】（1）设A款文创礼盒单价为x元，则B款文创礼盒单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设采购A款文创礼盒m个，则采购B款文创礼盒个，根据题意求得求解即可． 【小问1详解】 解：设A款文创礼盒单价为x元，则B款文创礼盒单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款文创礼盒单价为元，B款文创礼盒单价为元； 【小问2详解】 解：设采购A款文创礼盒m个，则采购B款文创礼盒个， 由题意得， 解得， ∵为正整数，∴可取28，29，30， 当时，； 当时，； 当时，； 答：共有三种可行采购方案：方案①采购A款个，B款个；方案②采购A款个，B款个；方案③采购A款个，B款个． 22. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休”、数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若x满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，长方形中，，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点，作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积为________． 【答案】（1）①③② （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）根据面积相等确定对应的等式即可； （2）①利用公式进行计算即可； ②设，，则，，将变形成，再使用公式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，由可得，结合长方形的面积可得．容易判断四边形也是正方形，且边长为，最后利用计算即可． 【小问1详解】 解：对于图形甲：大正方形的面积为，两个较小的正方形的面积分别为、，长方形的面积为， ∴对应的等式为； 对于图形乙：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， ∴对应的等式为； 对于图形丙：大正方形的面积为，中等正方形的面积为，长方形的面积为，重叠部分的面积为， ∴对应的等式为； 综上，正确的排列为①③②； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，； ②设，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积为． 七、解答题（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图1是经典的平行线间拐点问题，其中，点在上，点在上，点在直线、之间，连接、． （1）为探索和、之间的数量关系，小明同学试图证明如下： 过点作，∵，∴…… 请你沿着小明同学的思路将证明写完． （2）如图2，点在直线与之间，且，求证：． （3）如图3，连接，移动点至直线上方，使得，延长交直线于点，若，，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：如图，延长交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，，因此； （2）延长交直线于点，由可得，结合可得，因此； （3）设，则，，．由（1）的结论可得，结合可得，解方程求出，进而计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $