03讲 有理数的乘方 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算 03讲 有理数的乘方目录 【知识点1. 有理数的乘方 1】 【知识点2. 整数指数幂的符号规律 3】 【知识点3. 有理数的加减乘除乘方混合运算顺序 3】 【知识点4. 科学记数法 7】 【知识点5. 准确数、近似数、精确度 9】 【考点1. 有理数乘方的概念 11】 【考点2. 有理数乘方的运算 12】 【考点3. 有理数乘方的逆运算 14】 【考点4. 含乘方的混合运算 16】 【考点5. 有理数乘方的实际应用 20】 【考点6. 有理数乘方的新定义问题 23】 【考点7. 用科学记数法表示数 26】 【考点8. 用科学记数法表示的数变回原数 28】 【考点9. 求一个数的近似数 30】 【考点10. 近似数的精确度 31】 【考点11. 近似数推断取值范围 33】 【课后作业 35】 知识清单：有理数的乘方 1、有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1．下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的定义．根据定义：表示个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．式子表示的意义是（　　） A．2个3相乘 B．2个3相加 C．3个2相加 D．3个2相乘 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方的意义．根据乘方表示几个相同的数的积即可解答． 【详解】解：，即表示的意义是个相乘． 故选：D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法和乘方的定义，根据有理数的乘法和乘方的定义，列式即可． 【详解】解：； 故选：A． 4．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 5．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 6．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的性质，掌握负数的奇数次幂为负数，负数的偶数次幂为正数是解题的关键． 根据有理数乘方的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识清单：整数指数幂的符号规律与混合运算 1、整数指数幂的符号规律 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 2、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先乘方，再乘除，最后加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 巩固基础 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】先分别计算乘方项、与乘法项，再将结果进行加减运算，得到最终结果． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)－2 (2)3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算； (2)根据乘方的定义、绝对值的定义把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括乘方、绝对值、分数运算等，需注意运算顺序和符号处理： （1）先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，再利用乘法分配律将乘到括号内部进行简算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号内的计算，再算乘方，接着进行乘法运算，最后进行加法运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 6．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解体的关键. 先计算乘方，再计算乘除即可. 【详解】解：原式 . 知识清单：科学记数法 1、科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．据中新社援引日本《读卖新闻》的报道，2023年8月24日，日本政府将会正式开始把福岛那123万吨核污水排入大海，首批7800吨核污水将在17天内排放完毕，2023年内将总计排放3.12万吨．123万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：123万． 2．中国超级市场规模增速超过全球，预计到2025年将达到46600000000元，这表明，中国在超级计算机领域不仅取得了技术上的突破，还在全球范围内展现了强大的竞争力和影响力，46600000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，桥隧全长55千米，用科学记数法表示这个长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：55千米米， ∴米米． 4．假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于时，为正整数，据此即可求解． 【详解】解：将用科学记数法表示为：， 故答案为：． 5．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕‘文化大餐’．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长，”将数据142亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：亿． 6．2023年我国经济回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长，增速居世界主要经济体前列．数据126万亿用科学记数法可以表示为的形式，则n的值为________． 【答案】14 【详解】解：根据题意，得126万亿， 解得． 7．2023年我国国内生产总值突破亿元，请用科学记数法表示亿元_______元． 【答案】 【分析】根据科学记数法将数值改写为，其中，为整数，将亿元先换算成元，再用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】解：亿元元， ． 知识清单：准确数、近似数、精确度 1、1）准确数：表示实际数量的数。 2）近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 3）精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 2、精确度的类型 1）纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； 2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； 3）近似数是估值，但是要控制误差。 巩固基础 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 2．精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数． 【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字． ∵的千分位数字是4，且， ∴直接舍去千分位及后面的数字，得到． 因此正确选项为C． 3．按要求取近似数：______（精确到） 【答案】 【分析】精确到，则需要对万分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：（精确到）． 4．把精确到千分位的近似数是 __________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，由的万分位数字是5，等于5，故向千分位进1；千分位数字9加1后为10，写0并向百分位进1；百分位数字3加1后为4，十分位和整数部分不变，故结果为． 【详解】解：． 故答案为：． 5．“近似数万”精确到__________位． 【答案】百 【分析】本题主要考查了确定数的精确度，掌握确定精确度的方法是看最后一位数字所在数位是解题的关键． 将近似数万转换为整数形式，再根据最后一位数字所在数位确定精确度即可． 【详解】解：近似数万即，数字4位于百位上，故精确到百位． 故答案为：百． 6．用四舍五入法取近似数：_______（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的近似数，根据四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 直击考点 【考点1：有理数乘方的概念】 例1.计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的概念，乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘法的定义得，利用乘方的定义得，进而得解． 【详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 变式1.把算式写成乘方的形式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的定义可解决此题． 【详解】解：， 故选：B． 变式2.对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义，理解有理数的乘方的定义是解题的关键． 先确定和的底数和运算结果即可解答． 【详解】解：∵ 的底数为，的底数为，，， ∴和底数不同，并且结果也不相等． 故选：D． 变式3.若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 变式4.把写成乘方的形式为_______，把写成乘方的形式为_______． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，个相同因数相乘可表示为，分别分析两个式子中相同因数及个数来转化为乘方形式．本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握乘方是个相同因数相乘的简便表示形式是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：， ． 【考点2：有理数乘方的运算】 例1.下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 例2.计算：______． 【答案】 【详解】解：． 变式1.计算： _________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 根据乘方运算规则计算即可． 【详解】解：∵对于的任何次幂，结果都是， ∴， ∵表示的是的相反数， ∴， 故答案为：． 变式2.________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法法则和负整数指数幂的运算是解题的关键，先利用同底数幂的除法法则，再利用负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3._____． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数乘方，解题的关键是掌握有理数乘方运算法则． 根据有理数乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式4.计算：_______，_______，________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了乘方的定义，乘方是求几个相同因数的乘积的计算，指数是几就是几个相同底数相乘，解决本题的关键是确定底数是哪个数，底数中是否包括负号．的底数是，表示求个的乘积的相反数，展开就是，根据有理数的乘法法则进行计算即可；的底数是，表示求个的乘积的相反数的相反数，展开就是，根据有理数的乘法法则进行计算即可；的底数是，表示分母不变是，分子是个相乘，展开就是，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：，4，． 【考点3：有理数乘方的逆运算】 例1.若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 例2.立方等于64的数是_________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴立方等于64的数是4， 故答案为：4． 变式1.平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 变式2.已知，那么__________；__________的立方等于． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 变式3.如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 【考点4：含乘方的混合运算】 例1.计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： 例2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （2）先运算乘方，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1.计算：． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键，先算乘方，去绝对值，然后进行乘除运算，最后再算加减即可． 【详解】解： ． 变式2.计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 变式3.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算括号内，然后把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ． 变式4.计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)27 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用有理数乘法的分配律计算即可得； （2）先计算乘方、化简绝对值，再计算乘法与除法，然后计算减法即可得； （3）先计算乘方、化简绝对值，再计算除法与乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 变式5.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，再计算括号内减法，然后计算乘法，最后进行加减计算； （2）先计算乘方，再计算括号内减法，然后计算乘除，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点5：有理数乘方的实际应用】 例1.《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 例2.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 变式1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 变式2.一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．若要使对折后的纸的厚度超过，则至少要对折______次． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，根据一张纸的厚度为，对折1次后纸的厚度为，对折2次后纸的厚度为，对折次后纸的厚度为，结合，即可得出答案． 【详解】解：一张纸的厚度为，对折1次后纸的厚度为， 对折2次后纸的厚度为， 对折3次后纸的厚度为， 对折次后纸的厚度为． 因为， 所以， ， 所以． 因为， 所以至少要对折15次，纸的厚度才能超过． 故答案为：15． 变式3.代数式有最小值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，解题关键是得出当时，代数式有最小值．根据偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式4.如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 变式5.生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 【考点6：有理数乘方的新定义问题】 例1.定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 例2.定义新运算“*”，规定，则的运算结果为：______． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的混合运算．代入数值根据规定的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：3 变式1.定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，定义运算，掌握用幂的意义推导定义运算是解题的关键． 根据，得出，根据，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： A． 变式2.定义一种新运算：，则的结果是（   ） A．6 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，根据新定义把转化为计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 变式3.用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有；那么______． 【答案】24 【分析】本题考查有理数的新定义运算及乘方运算，解答本题的关键是明确新定义运算概念，转化为乘方运算，进而求解． 根据新定义，代入求值即可求解． 【详解】∵， ∴． 故答案为：24． 变式4.，为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 变式5.用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点7：用科学记数法表示数】 例1.用科学记数法表示1230000，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 例2.据央视报道，嫦娥五号返回器于年月日凌晨着陆地球，圆满完成首次月球无人采样返回任务，往返地月之间共计约的路程．用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义确定和的值即可求解． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 则，， 故． 变式1.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 变式2.鸟巢作为我国国家体育场，曾举行过奥运会、残奥会等多项大型国际比赛，可容纳91000人，已成为地标性的体育建筑和奥运遗产．将91000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵ 是正数，将小数点向左移动位可得到，满足， ∴ ， ∴. 变式3.我国刑法规定，走私、贩卖、运输、制造海洛因50克以上的，处15年有期徒刑、无期徒刑或死刑，并处没收财产，2023年3月16日美国政府在毒贩查理的家中搜出2.023亿美元现金，亿这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．将亿用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，亿， 故答案为：． 变式4.桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，其值由原数的小数点移动的位数决定，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：530亿， 故答案为：． 【考点8：用科学记数法表示的数变回原数】 例1.我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 例2.莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为_______万平方米． 【答案】792 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 【详解】解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 变式1.若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数是． 故选：B． 变式2.小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 变式3.我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 变式4.是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有______个零． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴原数的后面有个， 故答案为： 【考点9：求一个数的近似数】 例1.用四舍五入法将数精确到百分位：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了近似数． 精确到百分位需保留两位小数，根据千分位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：∵的千分位是8，且， ∴ 向百分位进一，百分位1变为2， ∴， 故选：B 例2.圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 变式1.若一个数通过四舍五入后得到，则该数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数，根据四舍五入法的方法，精确到哪一位，就要对保留的数位的后一位的数进行四舍五入，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A．精确到十分位是，故不符合题意； B．精确到十分位是，故符合题意； C．精确到十分位是，故不符合题意； D．精确到十分位是，故不符合题意． 故选：B． 变式2.最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 【答案】B 【分析】本题考查数的大小比较，可以先4.08万改写成用“个”作单位的数，再把各选项的数分别与4.08万相减，差最小的最接近4.08万． 【详解】解：4.08万，4.081万 因为， ， ， ， ， 所以最接近4.08万的整数是40801． 故选：B． 变式3.2024年五一假期期间，济南市以“泉在济南·泉新之旅”为主题，推出自在游园、快乐亲子、惬意乡村、纵情山野、演出盛宴、文博大观等六大系列100余项文旅活动，依托泉水文化、“二安”文化、红色文化、诗词文化等独特的文化资源优势，古老的济南又一次迎来了与游客的双向奔赴，共接待海内外游客约三百六十四万五千八百人次．横线上的数写作____人次，改成用“万”作单位的数是____万人次（保留一位小数）． 【答案】 3645800 364.6 【分析】本题主要考查近似数，解题的关键是掌握大数的写法和近似数的概念． 根据大数的写法和近似数的概念求解即可． 【详解】解：三百六十四万五千八百人次写作3645800人次，改成用“万”作单位的数是364.6万人次， 故答案为：3645800，364.6． 【考点10：近似数的精确度】 例1.地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 【答案】C 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 例2.万精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 把2024.12万还原成原数，看数字2所在的数位即可． 【详解】解：2024.12万， 2在原数中的百位上，因此精确到百位． 故答案为：百． 变式1.下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键． 【详解】解：、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意； 、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意； 故选：． 变式2.2025年某市大约有名学生参加中考，有理数精确到______位． 【答案】百 【分析】在标准形式中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是6，8，9，且其展开后可看出精确到的是百位． 此题考查科学记数法的表示方法以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 【详解】解：， ∴有理数精确到百位． 故答案为：百 变式3.近似数精确到_____位． 【答案】百 【分析】本题主要考查了精确度和科学记数法，根据科学记数法的表示方法判断出中数字0所在的位即可得到答案． 【详解】解：由题意得，近似数精确到百位， 故答案为：百． 【考点11：近似数推断取值范围】 例1.近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 例2.【近似数】一个三位小数四舍五入到百分位约是2.96，这个三位小数最大是_______． 【答案】2.964 【分析】本题考查用“四舍五入”方法对小数的大小进行判断．根据“四舍五入”进行解答即可． 【详解】解：要使这个三位小数最大，就要用“四舍”，所以千分位上最大是4， 所以这个三位小数最大是2.964． 故答案为：2.964． 变式1.已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据近似数推断取值范围，当舍去千分位得到时，则它的最大值小于；当的千分位进1得到时，则它的最小值是；据此即可求解； 【详解】解：当舍去千分位得到时，则它的最大值小于； 当的千分位进1得到时，则它的最小值是. ∴所以的取值范围是：， 又因为是一个三位小数， 所以的取值范围是， 故选：D 变式2.由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的取值范围，根据近似数的求解方法可得原数满足大于等于，小于，据此可得答案． 【详解】解：∵由四舍五入法得到的近似数是2.75， ∴这个数大于等于，小于， 故选：D． 变式3.小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握近似数和有效数字的定义成为解题的关键． 根据精确到哪位就是对它后边的一位进行四舍五入即可解答． 【详解】解：据题意可知，他实际身高可能是最小米，最高小于米． 则x的取值范围是． 故答案为：． 变式4.一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是________，最大可能是________． 【答案】 6.795 6.804 【分析】本题考查近似数和有效数字，取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大． 【详解】一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是6.795，最大可能6.804． 故答案为：6.795，6.804． 课后作业 1．（2026·湖南长沙·二模）据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·云南临沧·二模）云南被称为“植物王国”，是全国植物种类最多的省份，热带、亚热带、温带、寒温带等植物类型都有分布，共有19000多种高等植物，占全国的一半还多．19000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】∵ 将19000改写为的形式时，把19000的小数点向左移动4位得到，小数点移动了4位，因此， ∴ ． 3．（2026·云南昆明·一模）跨京杭运河特大桥主桥在国内首次采用分离式全焊接钢桁梁拱组合桥梁体系，总用钢量达12800吨．数据12800用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，按规则确定和的值即可得到答案； 【详解】解：． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算的结果是（   ） A．3 B． C．13 D． 【答案】B 【分析】先分别计算绝对值和乘方，再计算加法即可． 【详解】解： ． 5．（25-26九年级下·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 6．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 7．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：___________． 【答案】10392 【分析】根据有理数的混合运算顺序进行计算． 【详解】解： ． 10．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 11．（2026·河南周口·一模）定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 12．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 【答案】40 【分析】本题主要考查了取近似数，解题的关键是掌握取近似数的法则． 根据占比求出社会消费品零售总额，并求近似数即可． 【详解】解：2020年实物商品网上零售额为亿元， 则社会消费品零售总额为万亿元， 故答案为：40． 13．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 14．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【详解】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 15．（25-26七年级下·山东济南·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 16．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 4 【详解】解： ． 17．（25-26七年级下·北京密云·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式=． 20．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）解：原式． 21．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 22．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 24．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【答案】（1）15；（2）①；②51或69 【分析】本题考查有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键，属于中档题． （1）根据三进制转换为十进制的方法计算即可； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： ，因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数，所以 能被 3 整除，要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除，进而可得出答案； ②先根据题意得出，由（1）知 ，得出，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2，满足 的情况有：当，时，此时三进制数为；当，时，此时三进制数为，分别求出即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：15； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： 因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数， 所以 能被 3 整除． 要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除． 又因为三进制数的数字只能是 0，1，2，所以 ； ②已知所有数位上的数字之和为 5，即 ， 由①知 ，代入得，即． 因为 a 是三进制四位数的首位，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2． 满足 的情况有： 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： ； 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： 所以，这个三进制数对应的十进制数为 51 或 69． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 03讲 有理数的乘方目录 【知识点1. 有理数的乘方 1】 【知识点2. 整数指数幂的符号规律 2】 【知识点3. 有理数的加减乘除乘方混合运算顺序 2】 【知识点4. 科学记数法 4】 【知识点5. 准确数、近似数、精确度 5】 【考点1. 有理数乘方的概念 6】 【考点2. 有理数乘方的运算 7】 【考点3. 有理数乘方的逆运算 7】 【考点4. 含乘方的混合运算 7】 【考点5. 有理数乘方的实际应用 9】 【考点6. 有理数乘方的新定义问题 10】 【考点7. 用科学记数法表示数 11】 【考点8. 用科学记数法表示的数变回原数 12】 【考点9. 求一个数的近似数 13】 【考点10. 近似数的精确度 13】 【考点11. 近似数推断取值范围 14】 【课后作业 14】 知识清单：有理数的乘方 1、有理数的乘方 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1．下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 2．式子表示的意义是（　　） A．2个3相乘 B．2个3相加 C．3个2相加 D．3个2相乘 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 5．计算： ____________． 6．计算：___________． 7．若，则______． 知识清单：整数指数幂的符号规律与混合运算 1、整数指数幂的符号规律 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 2、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先乘方，再乘除，最后加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 巩固基础 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1) (2) 6．计算： 知识清单：科学记数法 1、科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．据中新社援引日本《读卖新闻》的报道，2023年8月24日，日本政府将会正式开始把福岛那123万吨核污水排入大海，首批7800吨核污水将在17天内排放完毕，2023年内将总计排放3.12万吨．123万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．中国超级市场规模增速超过全球，预计到2025年将达到46600000000元，这表明，中国在超级计算机领域不仅取得了技术上的突破，还在全球范围内展现了强大的竞争力和影响力，46600000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，桥隧全长55千米，用科学记数法表示这个长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 5．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕‘文化大餐’．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长，”将数据142亿用科学记数法表示为______． 6．2023年我国经济回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长，增速居世界主要经济体前列．数据126万亿用科学记数法可以表示为的形式，则n的值为________． 7．2023年我国国内生产总值突破亿元，请用科学记数法表示亿元_______元． 知识清单：准确数、近似数、精确度 1、1）准确数：表示实际数量的数。 2）近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 3）精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 2、精确度的类型 1）纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； 2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； 3）近似数是估值，但是要控制误差。 巩固基础 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 2．精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 3．按要求取近似数：______（精确到） 4．把精确到千分位的近似数是 __________ ． 5．“近似数万”精确到__________位． 6．用四舍五入法取近似数：_______（精确到）． 直击考点 【考点1：有理数乘方的概念】 例1.计算（   ） A． B． C． D． 变式1.把算式写成乘方的形式正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2.对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 变式3.若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 变式4.把写成乘方的形式为_______，把写成乘方的形式为_______． 【考点2：有理数乘方的运算】 例1.下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 例2.计算：______． 变式1.计算： _________． 变式2.________． 变式3._____． 变式4.计算：_______，_______，________． 【考点3：有理数乘方的逆运算】 例1.若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2.立方等于64的数是_________． 变式1.平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 变式2.已知，那么__________；__________的立方等于． 变式3.如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 【考点4：含乘方的混合运算】 例1.计算： 例2.计算： (1)； (2)． 变式1.计算：． 变式2.计算： (1) ； (2)． 变式3.计算：． 变式4.计算 (1) (2) (3) 变式5.计算： (1)； (2)． 【考点5：有理数乘方的实际应用】 例1.《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 变式1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式2.一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．若要使对折后的纸的厚度超过，则至少要对折______次． 变式3.代数式有最小值为 ___________． 变式4.如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 变式5.生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【考点6：有理数乘方的新定义问题】 例1.定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 例2.定义新运算“*”，规定，则的运算结果为：______． 变式1.定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 变式2.定义一种新运算：，则的结果是（   ） A．6 B．4 C．3 D．1 变式3.用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有；那么______． 变式4.，为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 变式5.用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【考点7：用科学记数法表示数】 例1.用科学记数法表示1230000，正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.据央视报道，嫦娥五号返回器于年月日凌晨着陆地球，圆满完成首次月球无人采样返回任务，往返地月之间共计约的路程．用科学记数法表示为_____． 变式1.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式2.鸟巢作为我国国家体育场，曾举行过奥运会、残奥会等多项大型国际比赛，可容纳91000人，已成为地标性的体育建筑和奥运遗产．将91000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式3.我国刑法规定，走私、贩卖、运输、制造海洛因50克以上的，处15年有期徒刑、无期徒刑或死刑，并处没收财产，2023年3月16日美国政府在毒贩查理的家中搜出2.023亿美元现金，亿这个数用科学记数法表示为______． 变式4.桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，亿用科学记数法表示为______． 【考点8：用科学记数法表示的数变回原数】 例1.我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 例2.莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为_______万平方米． 变式1.若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 变式2.小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式3.我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是______． 变式4.是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有______个零． 【考点9：求一个数的近似数】 例1.用四舍五入法将数精确到百分位：（   ） A． B． C． D． 例2.圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 变式1.若一个数通过四舍五入后得到，则该数可能是（   ） A． B． C． D． 变式2.最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 变式3.2024年五一假期期间，济南市以“泉在济南·泉新之旅”为主题，推出自在游园、快乐亲子、惬意乡村、纵情山野、演出盛宴、文博大观等六大系列100余项文旅活动，依托泉水文化、“二安”文化、红色文化、诗词文化等独特的文化资源优势，古老的济南又一次迎来了与游客的双向奔赴，共接待海内外游客约三百六十四万五千八百人次．横线上的数写作____人次，改成用“万”作单位的数是____万人次（保留一位小数）． 【考点10：近似数的精确度】 例1.地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 例2.万精确到______位． 变式1.下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 变式2.2025年某市大约有名学生参加中考，有理数精确到______位． 变式3.近似数精确到_____位． 【考点11：近似数推断取值范围】 例1.近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 例2.【近似数】一个三位小数四舍五入到百分位约是2.96，这个三位小数最大是_______． 变式1.已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2.由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 变式3.小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是______． 变式4.一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是________，最大可能是________． 课后作业 1．（2026·湖南长沙·二模）据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南临沧·二模）云南被称为“植物王国”，是全国植物种类最多的省份，热带、亚热带、温带、寒温带等植物类型都有分布，共有19000多种高等植物，占全国的一半还多．19000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·一模）跨京杭运河特大桥主桥在国内首次采用分离式全焊接钢桁梁拱组合桥梁体系，总用钢量达12800吨．数据12800用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算的结果是（   ） A．3 B． C．13 D． 5．（25-26九年级下·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：___________． 10．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 11．（2026·河南周口·一模）定义新运算：，例如：☆，则_____． 12．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 13．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 14．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 15．（25-26七年级下·山东济南·期中）计算：． 16．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 17．（25-26七年级下·北京密云·期中）计算：． 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 19．（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 20．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 21．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 22．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 23．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 24．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $