精品解析：福建省三明市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025−2026学年第二学期期末适应性练习 八年级 数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是李叔叔用一种正多边形地板砖（忽略厚度）铺设书房地面的局部示意图，则这个正多边形地板砖的形状是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 用反证法证明：在中，，的对边分别是，，若，则．第一步应假设（ ） A. B. C. D. 8. 舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 若如图所示关于的不等式解集中有且只有个正整数解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和的顶点都在格点上，与，分别交于点，点，与交于点．下列结论： ①； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 请写出一个使分式有意义的的值________．（写出一个即可） 12. 为了测量某小区地下车库立柱两条对角棱之间的水平距离，小明在空地上取一点，连接，，取，的中点，，连接．测得，则，之间的距离为________． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________． 14. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 16. 如图，直线和交于点，关于的不等式的解集为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式组： 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向右平移个单位长度，得到，请画出，并写出的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出的坐标． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：． 22. 如图，为内一点，连接，． （1）在内求作一点，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 23. 我市将于年月日至日举办福建省第十八届运动会．吉祥物“明明”以三明麒麟山传说中的瑞兽为创作原型，通体以青绿为主色调，手持竹笋状火炬，闪耀金黄色山形火苗．某文旅商店准备采购A，B两种吉祥物套装，已知每个B套装的进价比每个A套装的进价多元，商店用元采购A套装的数量与用元采购B套装的数量相同． （1）求A，B两种套装每个的进价分别是多少？ （2）该商店采购两种套装的吉祥物共个，两种套装均按各自进价倍的价格销售，若购进的B套装数量不超过A套装数量的一半，且所有商品均可全部售完，如何安排进货，才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 24. 探究最短路径问题，并完成下列问题 （1）【问题再现】如图，在直线上找一点，使得的值最小，小明为了解决这个问题，设计了以下四种方案： 你认为方案________可行，根据是：________．（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③线段垂直平分线的性质．） （2）【类比迁移】如图，村庄，位于河两岸（两岸互相平行），规划在河面上修建一座桥，要求桥与河岸垂直，测得，两点到河岸的距离，分别是米，米，河宽为米，且到直线距离为米，当等于多少米时，才能使得到的路线最短？ （3）【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，分别为，上的动点，且，连接，，求的最小值． 25. 如图，在中，，点为边上一动点（不含端点），连接，将绕点逆时针旋转得到，与交于点． （1）求的度数； （2）如图，过点作，交射线于点． ①求证：； ②若，，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期期末适应性练习 八年级 数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对A选项：∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，即，故A正确； 对B选项：∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，即，故B正确； 对C选项：∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴，即，故C正确； 对D选项：∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，即，与选项中不符，故D错误． 3. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：的分子与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 选项B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 选项C：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 选项D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 4. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐项分析判断即可． 【详解】A． 将多项式化为了整式的积的形式，符合因式分解的定义，该选项正确； B． 的右边不是整式乘积的形式，不符合定义，该选项错误； C． 是整式乘法，是将整式乘积化为多项式，不是因式分解，该选项错误； D． 是整式乘法，是将整式乘积化为多项式，不是因式分解，该选项错误 6. 如图是李叔叔用一种正多边形地板砖（忽略厚度）铺设书房地面的局部示意图，则这个正多边形地板砖的形状是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，6个能密铺，不符合题意； B、正方形的每个内角是，4个能密铺，不符合题意； C、正五边形的每个内角是，不能整除，不能密铺，不符合题意； D、正六边形的每个内角是，能整除，3个能密铺，符合题意． 7. 用反证法证明：在中，，的对边分别是，，若，则．第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，只需找出待证结论的否定即可得到答案． 【详解】解：∵原命题要证明的结论是， ∴第一步应假设． 8. 舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据角所对直角边等于斜边一半可得结论． 【详解】解：过点作，如图， ∵米，， ∴（米）， 所以，点到的距离为0.75米． 9. 若如图所示关于的不等式解集中有且只有个正整数解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于的不等式解集中有且只有个正整数解得正整数解为1，2，3，故可得出字母的取值范围是． 【详解】解：∵关于的不等式，解集中有且只有个正整数解， ∴正整数解为1，2，3， ∴字母的取值范围是． 10. 如图，和的顶点都在格点上，与，分别交于点，点，与交于点．下列结论： ①； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别以所在直线为纵轴，所在直线为横轴，点为原点建立平面直角坐标系，根据证明，得，根据三角形内角和定理得，可判断①；运用待定系数法分别求出直线的解析式，求出点的坐标，分别求出的长，即可判断②③④． 【详解】解：分别以所在直线为纵轴，所在直线为横轴，点为原点建立平面直角坐标系，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， 又∵，，且， ∴，即，故①正确； 根据题意得，，，，， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， 所以，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 把代入得， ∴； ∴，, ∴， 又∵， ∴点在的平分线上，故③正确； ∵，，，， ∴，， ∴，故④不正确， 综上。正确的结论是①②③． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 请写出一个使分式有意义的的值________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，得出分母不为，求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：分式有意义的条件为分母不等于．对于分式，令分母不等于，可得，解得． 取，符合要求． 12. 为了测量某小区地下车库立柱两条对角棱之间的水平距离，小明在空地上取一点，连接，，取，的中点，，连接．测得，则，之间的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断是的中位线，根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出，再根据线段的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又是的垂直平分线， ∴． 14. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 【答案】21 【解析】 【分析】根据题意得，，，，得出，进一步得出，结合得出，得到是等边三角形，得到，故可求出的周长． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，对应的刻度分别为，， ∴ ∴， ∴的周长． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的定义，解题关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得出，代入整式方程求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程为， 分式方程有增根， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，直线和交于点，关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，即函数的图象在函数图象的上方，故可得不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， 由图象得，直线和交于点， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故不等式的解集为． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式直接运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】解不等式组：， 解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向右平移个单位长度，得到，请画出，并写出的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出的坐标． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出的对应点，再顺次连接可得，再根据点在坐标系中的位置可写出的坐标； （2）根据旋转的性质得出的对应点，再顺次连接可得，再根据点在坐标系中的位置可写出的坐标 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先化简所求式子，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：． 【答案】（1）证明：， ． ， ， ． ． ． ． （2）证明：如图，过点作于点， ， ， ． ，， ． 是的中点， ． ， ． ． ， 【解析】 【分析】（1）由得，，由得，证得，进一步可得结论． （2）过点作于点，则可证明，再证明，得，得出，故可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，为内一点，连接，． （1）在内求作一点，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） （2）证明：接． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，则四边形是平行四边形； （2）由四边形是平行四边形得，由四边形是平行四边形得，故可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 我市将于年月日至日举办福建省第十八届运动会．吉祥物“明明”以三明麒麟山传说中的瑞兽为创作原型，通体以青绿为主色调，手持竹笋状火炬，闪耀金黄色山形火苗．某文旅商店准备采购A，B两种吉祥物套装，已知每个B套装的进价比每个A套装的进价多元，商店用元采购A套装的数量与用元采购B套装的数量相同． （1）求A，B两种套装每个的进价分别是多少？ （2）该商店采购两种套装的吉祥物共个，两种套装均按各自进价倍的价格销售，若购进的B套装数量不超过A套装数量的一半，且所有商品均可全部售完，如何安排进货，才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A，B两种套装吉祥物每个的进价分别是元和元 （2）购买个A套装吉祥物和个B套装吉祥物时，销售总利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】（1）设A套装吉祥物每个的进价是元，则B套装每个的进价是元．根据“用元采购A套装的数量与用元采购B套装的数量相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设采购A套装个，则采购B套装个．总利润为，根据题意得，由一次函数的性质得出结论． 【小问1详解】 解：设A套装吉祥物每个的进价是元，则B套装每个的进价是元．根据题意： ， 解得， 经检验是所列方程的解且符合题意， B套装每个的进价是元， 答：A，B两种套装吉祥物每个的进价分别是元和元． 【小问2详解】 解：设采购A套装个，则采购B套装个． 根据题意： 解得 总利润 当时，最大利润元 答：购买个A套装吉祥物和个B套装吉祥物时，销售总利润最大，最大利润元 24. 探究最短路径问题，并完成下列问题 （1）【问题再现】如图，在直线上找一点，使得的值最小，小明为了解决这个问题，设计了以下四种方案： 你认为方案________可行，根据是：________．（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③线段垂直平分线的性质．） （2）【类比迁移】如图，村庄，位于河两岸（两岸互相平行），规划在河面上修建一座桥，要求桥与河岸垂直，测得，两点到河岸的距离，分别是米，米，河宽为米，且到直线距离为米，当等于多少米时，才能使得到的路线最短？ （3）【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，分别为，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1）三，① （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作点关于直线的对称点，将对称点与点相连，交直线于点，则点即为所求作的点，故方案三可行，根据是①； （2）在上截取米，连接，交河岸一侧于点，过作⊥于点，此时到的路线最短，过点作交的延长线于点，交直线于点,根据三角形面积差列式求解即可； （3）过作，截取，连接．证明，当，，三点共线时，为最小值，再由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：方案三可行，根据是①； 【小问2详解】 如图，在上截取米，连接，交河岸一侧于点，过作⊥于点，此时到的路线最短．过点作交的延长线于点，交直线于点,连接， 依题意，得（米），米； ∵ ∴ ∴ 解得，． 根据题意得，四边形是矩形， ∴． 【小问3详解】 解：过作，截取，连接． ，，是等边三角形； ． ，，， ， ， ． 当，，三点共线时，为最小值； 此时，在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， 的最小值是． 25. 如图，在中，，点为边上一动点（不含端点），连接，将绕点逆时针旋转得到，与交于点． （1）求的度数； （2）如图，过点作，交射线于点． ①求证：； ②若，，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①证明：连接，延长，交的延长线于点，如图 ，， ， ∴， 由（1）知，， ∴， ，，三点共线，． ， ，， 是等边三角形． ． ， ． ． ，， ∴四边形是平行四边形． ． ． ② 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由旋转的性质得，，可得，由平行线的性质可得的度数； （2）①连接，延长，交的延长线于点，证明，，三点共线，．证明是等边三角形．得出．再证明四边形是平行四边形得出，故可得出结论； ②连接，．证明，，三点共线，为等边三角形，分别求出、，从而可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①略 ②连接，． ∵， ∴， 又∵，， 为等边三角形， ， ， 由旋转得：， ∴为等边三角形， ， ， ，，三点共线， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $