2026-2027学年新高一暑期数学衔接练习-因式分解专题

**基本信息** 聚焦因式分解核心技能，通过选择、填空、解答题的分层设计，覆盖公因式提取、公式法、分组分解等方法，适配新高一暑期初高中衔接预习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/32分|公因式、平方差公式、完全平方公式|基础巩固，如第1题考查公因式确定，第5题结合立方和公式| |填空题|6题/24分|提取公因式、立方差公式、十字相乘法|技能应用，如第13题运用立方差公式，第14题需分组分解| |解答题|5题/44分|拆添项法、换元法、代数求值|能力提升，如第17题通过拆项分解三次多项式，第19题结合因式分解解决代数求值，体现数学思维与运算能力|

第页（共页） ※密※封※线※内※不※要※答※题※ 姓名：__________ 准考证号：__________ 班级：__________福建省新高一数学暑期衔接练习 2026-2027学年新高一暑期 初高中数学衔接练习·因式分解 ────────────────────────────────────────────────── 温馨提示：本试卷满分100分，考试时间90分钟。请考生将答案写在答题卡上。 一、选择题（8题，32分） 二、填空题（6题，24分） 三、解答题（5题，44分） 注意事项： 1. 本练习满分100分，建议用时90分钟。 2. 答题前，请将姓名、准考证号填写在密封线内。 3. 因式分解必须在整数（或有理数）范围内分解到不能再分解为止。 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 多项式 6a²b - 3ab² 的公因式是（　　）（4分） A. 3ab B. ab C. 3a²b² D. 6ab 2. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）（4分） A. x² + y² B. x² - y² C. x² + xy + y² D. x² - 2xy + y² 3. 多项式 x² - 6x + 9 分解因式的结果是（　　）（4分） A. (x - 3)² B. (x + 3)² C. (x - 9)² D. (x + 9)² 4. 多项式 x² - 5x + 6 分解因式的结果是（　　）（4分） A. (x - 2)(x - 3) B. (x + 2)(x + 3) C. (x - 1)(x - 6) D. (x + 1)(x + 6) 5. 多项式 x³ + 8 分解因式的结果是（　　）（4分） A. (x + 2)(x² - 2x + 4) B. (x - 2)(x² + 2x + 4) C. (x + 2)(x² + 2x + 4) D. (x + 2)(x² - 4x + 4) 6. 多项式 x² - y² + 2x + 2y 分解因式的结果是（　　）（4分） A. (x + y)(x - y + 2) B. (x + y)(x - y - 2) C. (x - y)(x + y + 2) D. (x - y)(x - y + 2) 7. 多项式 3x³ - 12x 分解因式的结果是（　　）（4分） A. 3x(x² - 4) B. 3x(x + 2)(x - 2) C. 3(x³ - 4x) D. x(3x² - 12) 8. 若多项式 x² + mx - 12 可分解因式为 (x - 3)(x + 4)，则 m 的值为（　　）（4分） A. 1 B. -1 C. 7 D. -7 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填在题中的横线上。） 9. 分解因式：2a² - 4a = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 10. 分解因式：9a² - 25b² = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 11. 分解因式：4x² + 12xy + 9y² = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 12. 分解因式：2x² - 5x - 3 = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 13. 分解因式：a³ - 27 = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 14. 分解因式：a² - b² + a - b = ____________．（4分）＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 分解因式（每小题4分，共8分）： （1）6x² - 7x - 5 （2）x⁴ - 5x² + 4 16. 分解因式（每小题4分，共8分）： （1）x³ + x² + x + 1 （2）a² - b² - 2b - 1 17. 分解因式（每小题5分，共10分）： （1）x³ - 3x² + 4（提示：拆 -3x² 为 -4x² + x²） （2）x⁴ + 4（提示：添项 4x² 再配方） 18. 分解因式（每小题4分，共8分）： （1）(x² + x)² - 8(x² + x) + 12 （2）(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 19.（10分）已知 a + b = 5，ab = 6，求下列各式的值： （1）a²b + ab²（3分） （2）a³b + ab³（3分） （3）a² + b²（4分） 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. A 【解析】6a²b与-3ab²都含有因式3ab，公因式为3ab。 【评分细则】选对得4分 2. B 【解析】x² - y² = (x + y)(x - y)，符合平方差公式的结构特征。 【评分细则】选对得4分 3. A 【解析】x² - 6x + 9 = (x - 3)²，是完全平方公式。 【评分细则】选对得4分 4. A 【解析】x² - 5x + 6，常数项6=(-2)×(-3)，一次项系数-5=(-2)+(-3)，故(x-2)(x-3)。 【评分细则】选对得4分 5. A 【解析】x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4)，利用立方和公式。 【评分细则】选对得4分 6. A 【解析】x² - y² + 2x + 2y = (x + y)(x - y) + 2(x + y) = (x + y)(x - y + 2)。 【评分细则】选对得4分 7. B 【解析】先提取公因式3x：3x³ - 12x = 3x(x² - 4) = 3x(x + 2)(x - 2)。 【评分细则】选对得4分 8. A 【解析】(x - 3)(x + 4) = x² + x - 12，所以 m = 1。 【评分细则】选对得4分 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 2a(a - 2) 【解析】提取公因式2a：2a² - 4a = 2a(a - 2)。 【评分细则】写成2a(a-2)得4分，只写出2a(a²-2)给2分 10. (3a + 5b)(3a - 5b) 【解析】9a² = (3a)²，25b² = (5b)²，用平方差公式。 【评分细则】结果正确得4分 11. (2x + 3y)² 【解析】4x² = (2x)²，9y² = (3y)²，12xy = 2·2x·3y，是完全平方式。 【评分细则】结果正确得4分 12. (2x + 1)(x - 3) 【解析】用十字相乘法：2x²分解为2x·x，-3分解为1×(-3)，交叉相乘再相加等于-5x。 【评分细则】结果正确得4分 13. (a - 3)(a² + 3a + 9) 【解析】a³ - 27 = a³ - 3³ = (a - 3)(a² + 3a + 9)，利用立方差公式。 【评分细则】结果正确得4分 14. (a - b)(a + b + 1) 【解析】分组：a² - b² + a - b = (a + b)(a - b) + (a - b) = (a - b)(a + b + 1)。 【评分细则】结果正确得4分 三、解答题（共44分） 15.（1） 6x² - 7x - 5 = (2x + 1)(3x - 5) 【解析】用十字相乘法：6x² = 2x·3x，-5 = 1×(-5)，交叉相乘2x×(-5)+3x×1=-10x+3x=-7x。 【评分细则】十字相乘步骤正确得2分，结果完全正确得4分 15.（2） x⁴ - 5x² + 4 = (x² - 1)(x² - 4) = (x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) 【解析】先将x²视为整体用十字相乘：x⁴ - 5x² + 4 = (x² - 1)(x² - 4)，再用平方差公式继续分解。注意：必须分解到不能再分解为止。 【评分细则】第一步十字相乘正确得2分，完全分解得4分；若未分解到底只给2分 16.（1） x³ + x² + x + 1 = (x + 1)(x² + 1) 【解析】分组分解：x³ + x² + x + 1 = (x³ + x²) + (x + 1) = x²(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x² + 1)。 【评分细则】分组正确得2分，结果正确得4分 16.（2） a² - b² - 2b - 1 = a² - (b² + 2b + 1) = a² - (b + 1)² = (a + b + 1)(a - b - 1) 【解析】分组技巧：将后三项结合为完全平方，再用平方差公式。a² - b² - 2b - 1 = a² - (b² + 2b + 1) = a² - (b + 1)² = (a + b + 1)(a - b - 1)。 【评分细则】后三项合成为(b+1)²给2分，最终结果正确得4分 17.（1） x³ - 3x² + 4 = (x + 1)(x - 2)² 【解析】拆项：x³ - 3x² + 4 = x³ + x² - 4x² + 4 = x²(x + 1) - 4(x² - 1) = x²(x + 1) - 4(x + 1)(x - 1) = (x + 1)(x² - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)²。 另解：用因式定理，当x=-1时，(-1)³-3×(-1)²+4=-1-3+4=0，故有因式(x+1)，再用多项式除法。 【评分细则】拆项或代入法思路正确得2分，结果完全正确得5分 17.（2） x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2) 【解析】添项配方：x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² = (x⁴ + 4x² + 4) - 4x² = (x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)。 【评分细则】添项思路正确得2分，结果完全正确得5分 18.（1） (x² + x)² - 8(x² + x) + 12 = (x² + x - 2)(x² + x - 6) = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2) 【解析】换元法：设 t = x² + x，则原式 = t² - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) = (x² + x - 2)(x² + x - 6)，再分别十字相乘：x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1)，x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)。 【评分细则】换元思路正确得1分，十字相乘各得1分，完全分解得4分 18.（2） (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = (x²+5x+6)(x²+5x+4) - 24 设 t = x² + 5x，则原式 = (t+6)(t+4) - 24 = t²+10t+24-24 = t(t+10) = (x²+5x)(x²+5x+10) = x(x+5)(x²+5x+10) 【解析】将(x+1)(x+4)和(x+2)(x+3)分别结合：(x+1)(x+4)=x²+5x+4，(x+2)(x+3)=x²+5x+6。设t=x²+5x，则原式=(t+4)(t+6)-24=t²+10t=t(t+10)=(x²+5x)(x²+5x+10)=x(x+5)(x²+5x+10)。注意最后一个二次式x²+5x+10的判别式Δ=25-40=-15<0，在实数范围内不能继续分解。 【评分细则】正确分组给1分，换元化简给1分，结果正确给2分 19.（1） a²b + ab² = ab(a + b) = 6 × 5 = 30 【解析】先提取公因式ab：a²b + ab² = ab(a + b)，再代入a+b=5，ab=6，得6×5=30。 【评分细则】因式分解正确得2分，代入计算正确得1分，共3分 19.（2） a³b + ab³ = ab(a² + b²) = ab[(a + b)² - 2ab] = 6 × (25 - 12) = 6 × 13 = 78 【解析】先提取公因式ab：a³b + ab³ = ab(a² + b²)；再利用完全平方公式变形：a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 12 = 13；代入得6×13=78。 【评分细则】因式分解正确得1分，a²+b²变形正确得1分，计算结果正确得1分，共3分 19.（3） a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 12 = 13 【解析】直接利用完全平方公式变形：a² + b² = (a + b)² - 2ab = 5² - 2×6 = 25 - 12 = 13。 【评分细则】公式运用正确得2分，计算正确得2分，共4分 数学 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $