1.2.1 有理数的概念暑期预习导学案（附同步作业）2026-2027学年七年级上册数学人教版

1.2.1 有理数的概念 导学案 【学习目标】 1、掌握有理数的定义，明确整数、分数的构成范围。 2、熟练掌握有理数两种分类标准，能精准对数字进行归类。 3、区分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数的归属，厘清有理数边界。 4、理解非正数、非负数、非负整数等专属概念，规避分类易错点。 【学习重难点】 重点：有理数的两种分类方法；整数与分数的界定 难点：小数的归类判定；理清各类数的从属层级关系；区分非正/非负概念 【课前预习·自主导学】 任务一：衔接旧知 上节课学习了正数和负数，结合小学知识，我们学过的数包含：正整数、__________、__________、负整数、__________。 任务二：有理数基础定义 1、整数的组成：__________、__________、__________； 2、分数的组成：__________、__________； 3、__________和__________统称为有理数。 任务三：关键概念预习 填空记忆： 非负数 = __________ + 0 非正数 = __________ + 0 非负整数 = __________ + 0（即自然数） 任务四：预习自测（判断题） 1、所有整数都是有理数 （ ） 2、所有小数都是分数 （ ） 3、是有理数 （ ） 4、0是最小的非负整数 （ ） 【课堂探究·合作学习】 探究1：数的归类核心判定 小组讨论：小数属于有理数吗？ 1、有限小数（0.25、-3.6）：可化为分数 → 属于分数，是有理数； 2、无限循环小数（）：可化为分数 → 属于分数，是有理数； 3、无限不循环小数（）：不可化为分数 → 不是有理数。 探究2：有理数两大分类（核心必考） 分类标准1：按【定义】分类（整数、分数） 分类标准2：按【性质（正负）】分类 探究3：从属关系辨析 问题辨析： 1、整数一定是正数吗？举例：__________ 2、分数一定是负数吗？举例：__________ 3、有理数包含0，无理数不包含0（填“是”或“否”） 【例题精讲·考点突破】 例1 基础分类填空 在中： 正整数集合：{_______________…} 负分数集合：{_______________…} 非负有理数集合：{_______________…} 有理数集合：{_______________…} 解析：是无限不循环小数，不属于有理数；30%=0.3属于正分数。 例2 概念辨析选择题 下列说法正确的是（） A. 非负数就是正数 B. 整数分为正整数和负整数 C. 分数都是有理数 D. 无限小数都是无理数 【当堂检测】 一、填空题 1、有理数分为__________和__________两大类。 2、最小的正整数是__________，最小的非负整数是__________。 3、在中，无理数有__________个。 二、选择题 1、下列数中，不是有理数的是（ ） A. -0.125 B. C. D. 0 2、非正整数包括（ ） A. 0和正整数 B. 0和负整数 C. 负整数 D. 全体整数 三、解答题 写出大于-4且小于3的所有整数，并区分其中的非负整数。 【课堂小结】 1、有理数=整数+分数，0是整数，属于有理数； 2、分类口诀：定义分整分，性质分正负，0单独归位； 3、小数判定：有限/循环是分数，无限不循环是无理数； 4、熟记专属概念：非负、非正、非负整数的范围。 【课后分层作业】 基础题（必做） 1. 完成教材习题； 2. 整理：整数、分数、有理数、无理数的包含关系思维导图。 提升题（选做） 已知数集：，分别填入正有理数、负整数、负分数三个集合中。 1.2.1 有理数的概念 一．选择题（共8小题） 1．下列各数中：+3、+（﹣2.1）、、﹣π、0、﹣|﹣9|、﹣0.1010010001中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 3．下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥是无限不循环小数，所以不是有理数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4．下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数 B．零既是正数也是负数 C．若a是正数，则﹣a不一定是负数 D．零既不是正数也不是负数 5．下列说法正确的是（　　） A．整数就是正整数和负整数 B．负整数的相反数就是非负整数 C．有理数中不是负数就是正数 D．零是自然数，但不是正整数 6．在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，，316%这几个数中，非负数的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．下列说法正确的个数有（　　） ①负分数一定是负有理数 ②自然数一定是正数 ③﹣π是负分数 ④a一定是正数 ⑤0是整数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如果m是一个有理数，那么﹣m是（　　） A．正数 B．0 C．负数 D．以上三者情况都有可能 二．填空题（共5小题） 9．在有理数集合中，最小的正整数是　 　 ，最大的负整数是　 　 ． 10．在﹣1，0.2，，3，0，﹣0.3，中，负分数有　 　 ，整数有　 　 ． 11．有下列说法： （1）-3.56既是负数、分数，也是有理数； （2）正整数和负整数统称为整数； （3）0是非正数； （4）7既是正数也是整数，但不是有理数． 其中正确的是 （填写序号） 12．观察下列数的规律，填上合适的数：1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，49，　 　 ． 13．循环小数0.可化分数为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 14．把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣4，﹣||，0，，﹣3.14，2006，﹣（+5），+1.88 （1）正数集合：{　 　 …}； （2）负数集合：{　 　 …}； （3）整数集合：{　 　 …}； （4）分数集合：{　 　 …}． 15．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⋆（c，d）＝bc﹣ad． 例如：（1，2）⋆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（3，﹣5）⋆（4，﹣2）＝　 　 ； （2）若有理数对（﹣4，3x﹣1）⋆（2，1﹣x）＝8，求x的值； （3）当满足等式（﹣2，3x﹣1）⋆（k，x+k）＝5+k的x是整数时，求整数k的值． 16．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.化为分数形式， 由于0.0.7777…，设x＝0.7777…① 则10x＝7.777…② ②﹣①得9x＝7，解得x，于是得0.． 同理可得0.，7.7+0.7． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 基础训练 （1）0.　 　 ，8.　 　 ； （2）将0.化为分数形式，写出推导过程． 迁移应用 （3）0.5　 　 ；（注：0.50.153153…） 探索发现 （4）若已知0.1428，则2.8571　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：+（﹣2.1）＝﹣2.1，﹣|﹣9|＝﹣9； 所以负有理数有：+（﹣2.1）、、﹣|﹣9|，﹣0.1010010001共4个． 故选：C． 2．【解答】解：根据题意m＝8，n＝2，k＝3， 所以m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝8﹣5＝3． 故选：A． 3．【解答】解：①没有最小的整数，故错误； ②有理数包括正数、0和负数，故错误； ③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误； ④非负数就是正数和0，故错误； ⑤是无理数，故错误； ⑥是无限循环小数，所以是有理数，故错误； ⑦无限小数不都是有理数是正确的； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的． 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B． 4．【解答】解：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“﹣”号，所得的数是非负数，故A错误； B、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B错误； C、若a是正数，则a＞0，﹣a＜0，所以﹣a一定是负数，故C错误； D、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故D正确． 故选：D． 5．【解答】解：A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误； B、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误； C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误； D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确； 故选：D． 6．【解答】解：在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，，316%这几个数中，非负数有15，0，5，2，316%，共5个． 故选：B． 7．【解答】解：①负分数一定是负有理数，故①正确； ②自然数一定是非负数，故②错误； ③﹣π是负无理数，故③错误 ④a可能是正数、零、负数，故④错误； ⑤0是整数，故⑤正确； 故选：B． 8．【解答】解：如果m是一个有理数，那么﹣m是正数、零、负数， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 9．【解答】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1． 故答案为1；﹣1． 10．【解答】解：负分数有，﹣0.3；整数有﹣1，3，0． 11．【解答】解：（1）-3.56既是负数、分数，也是有理数，则（1）正确； （2）正整数，0和负整数统称为整数，则（2）错误； （3）非正数包括0和负数，则（3）正确； （4）7既是正数也是整数，它也是有理数，则（4）错误； 综上，正确的为（1）（3）， 故答案为：（1）（3） 12．【解答】解：根据题意，第几个数的绝对值就是序数几的平方，且序数是奇数时是正数，序数是偶数时是负数；要填的是第八个，所以应该是﹣82＝﹣64；故应填﹣64． 13．【解答】解：设x，则100x＝15.， ∴15.15， ∴100x＝15+x 解得x． 故答案为：． 三．解答题（共3小题） 14．【解答】解：（1）正数集合：{ ，2006，+1.88，…}； （2）负数集合：{﹣4，﹣||，﹣3.14，﹣（+5），…}； （3）整数集合：{﹣4，0，2006，﹣（+5），…}； （4）分数集合：{﹣||，，﹣3.14，+1.88，…}． 15．【解答】解：（1）根据题意得：原式＝﹣20+6＝﹣14； 故答案为：﹣14； （2）根据题意得：2（3x﹣1）+4（1﹣x）＝8 去括号得，6x﹣2+4﹣4x＝8， 移项合并得：2x＝6， 解得：x＝3 （3）∵等式（﹣2，3x﹣1）⋆（k，x+k）＝5+k的x是整数， ∴（3x﹣1）k﹣（﹣2）（x+k）＝5+k， ∴（3k+2）x＝5， ∴x， ∵x是整数， ∴3k+2＝±1或±5， ∵k为整数， ∴k＝﹣1，1． 16．【解答】解：（1）0.， 8.8+0.8， 故答案为：，； （2）将0.化为分数形式， 由于0.0.646464…，设x＝0.646464…①， 则100x＝64.6464…②， ②﹣①得99x＝64， 解得x， 于是得0.； （3）类比（1）（2）的方法可得， 0.， 故答案为：； （4）∵0.1428， ∴714.85711000， ∴0.85711000﹣714， ∴2.85712， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $