1.2.1有理数的概念—导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的概念与分类，通过回顾小学及上一节学过的数，以问题探究为支架引导学生从具体数的特征抽象出有理数定义，梳理整数、分数等概念的联系，构建知识脉络。 以问题驱动探究过程，通过分类训练和实例运用帮助学生理解有理数概念，多样化达标检测题强化辨析能力，培养数学抽象和数据分析素养，提升学生用数学思维解决问题的能力，适合自主学习与课堂教学结合。

姓名: 学科: 日期: 1.2.1 有理数的概念 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月12日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究与数据整理，认识与理解有理数的概念与分类，并能准确辨别生活中的有理数.（数学抽象、数据分析·重难点） 【学习过程】 一、问题探究 （一）问题1 在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数，回想一下，到目前为止，我们认识了哪些数? 探究： 在小学阶段和上一节中，我们认识的数可以举例如下 等（答案不唯一） （2） 问题2 问题1中所列举的数分别叫做什么数，它们都有什么共同的特征？ 探究： 1.像这样的数叫作正整数，它们都可以看作分母为 的 的形式： 2.像这样的数叫作负整数，它们都可以看作分母为 的 的形式： 3.是 ，但0既不是 ，也不是 ，0也可以看作分母为 的分数： . 4.像这样的数叫作正分数，其中正的 小数与 小数都可以转化为 ： 5.像这样的数叫作负分数，其中负的 小数与 小数都可以转化为 ： 6.像这样的数叫作无限不循环小数，它们不能写成分数的形式. 综上所述，正整数、负整数、正分数（正有限小数、正无限循环小数）、负分数（负有限小数、负无线循环小数）这些数都能写成 的形式. 2、 有理数的概念 可以写成 形式的数称为有理数（rational number).其中，可以写成正分数形式的数为 ，可以写成负分数形式的数为 . 注①：这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了 范围. 注②：像这样的无限不循环小数 写成分数形式，故无限不循环小数 有理数. 3、 有理数的分类 由问题探究与有理数的定义，可将有理数作如下分类 1.分类一 有理数（可以写成分数形式的数） （可以看作分母为1的分数） （有限小数与无限循环小数可以转化为分数） 2.分类二 有理数（可以写成分数形式的数） 正有理数 负有理数 4、 实例运用 例1指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 解： （1） 正有理数有： （2） 负有理数有： （3） 正整数有： （4） 负整数有： 5、 变式训练 变式1．下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式2．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 6、 达标检测 1．下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 2．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有________个 7．在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 8．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛___________｝…； 正整数集合：｛___________｝…； 分数集合：｛___________｝… 9．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有________个． 10．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 11．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 自然数集合：{ …}； 12．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 13．现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 14．把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，，，，，． 正数： ； 整数： ； 负分数： ； 非负数： ． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 1.2.1 有理数的概念 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月12日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究与数据整理，认识与理解有理数的概念与分类，并能准确辨别生活中的有理数.（数学抽象、数据分析·重难点） 【学习过程】 一、问题探究 （一）问题1 在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数，回想一下，到目前为止，我们认识了哪些数? 探究： 在小学阶段和上一节中，我们认识的数可以举例如下 等（答案不唯一） （2） 问题2 问题1中所列举的数分别叫做什么数，它们都有什么共同的特征？ 探究： 1.像这样的数叫作正整数，它们都可以看作分母为1的正分数的形式： 2.像这样的数叫作负整数，它们都可以看作分母为1的负分数的形式： 3.是整数，但0既不是正整数，也不是负整数，0也可以看作分母为1的分数：. 4.像这样的数叫作正分数，其中正的有限小数与无限循环小数都可以转化为正分数： 5.像这样的数叫作负分数，其中负的有限小数与无限循环小数都可以转化为负分数： 6.像这样的数叫作无限不循环小数，它们不能写成分数的形式. 综上所述，正整数、负整数、正分数（正有限小数、正无限循环小数）、负分数（负有限小数、负无线循环小数）这些数都能写成分数的形式. 2、 有理数的概念 可以写成分数形式的数称为有理数（rational number).其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数. 注①：这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围. 注②：像这样的无限不循环小数不能写成分数形式，故无限不循环小数不是有理数. 3、 有理数的分类 由问题探究与有理数的定义，可将有理数作如下分类 1.分类一 有理数（可以写成分数形式的数） 整数（可以看作分母为1的分数） 分数（有限小数与无限循环小数可以转化为分数） 正整数 0 负整数 自然数（或非负整数） 正分数 负分数 2.分类二 有理数（可以写成分数形式的数） 正有理数 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 0 4、 实例运用 例1指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 解： （1） 正有理数有： （2） 负有理数有： （3） 正整数有： （4） 负整数有： 5、 变式训练 变式1．下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的定义 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 变式2．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【难度】0.65 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 6、 达标检测 1．下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 2．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数的定义 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 4．下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【详解】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 5．下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 6．下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有________个 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，据此解答即可得． 【详解】解：是负分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是正分数，属于有理数， 0是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，不属于有理数， （每两个2之间依次多一个6）是无限不循环小数，不属于有理数， 是无限循环小数，属于有理数， 综上，有理数有5个， 故答案为：5． 7．在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 【答案】 4 2 3 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】根据分数、整数、非负数的定义，对给定的数进行分类统计．本题主要考察了有理数的分类，熟练掌握分数、整数、非负数的定义是解题的关键． 【详解】分数有，共4个；整数有0，，共2个；非负数有0，，，共3个． 故答案为：4；2；3． 8．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛___________｝…； 正整数集合：｛___________｝…； 分数集合：｛___________｝… 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数定义及其分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：；；． 9．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有________个． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 10．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【难度】0.85 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 11．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：正数集合： ，，，，，； 负数集合： ，，，，，； 整数集合： ，，，，，，； 分数集合： ，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 12．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【答案】， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】解：，，，， 整数：{， ， 0}； 负分数：{， }； 正有理数集：{， ， }； 非负整数集：{， 0} 故答案为：， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 13．现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【答案】(1) ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 (2)错误 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要查了有理数的知识，熟练掌握其分类及定义是解题的关键． （1）根据有理数的分类及分数，正整数，负整数定义即可求得答案． （2）根据有理数还包括0，然后即可求解； 【详解】（1）解：分数：，，，； 正整数：，； 负整数：，，； 故答案为： ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 ； （2）解：分数，正整数，负整数和0才是全体有理数， ∴ “有理数可分为分数、正整数、负整数．”这句话错误， 故答案为：错误； 14．把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，，，，，． 正数： ； 整数： ； 负分数： ； 非负数： ． 【答案】正数：{；；；；；…}；整数：{；；；；…}；负分数：{；；；…}；非负数：{；；；；；；…} 【难度】0.65 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的分类即可解答． 【详解】由，； 正数：{；；；；；…}； 整数：{；；；；…}； 负分数：{；；；…}； 非负数：{；；；；；；…}． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $