26.2 特殊角的三角函数值（课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过回顾直角三角形三角函数定义，结合三角板中特殊角问题引入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探索特殊角函数值的推导与应用。 其亮点在于以参数推导函数值培养推理能力，通过例题示范和逆向练习强化模型意识，表格归纳提升抽象能力。如推导30°角函数值时设参数计算，例3利用三角函数求角度，帮助学生深化理解，教师教学更高效。

第二十六章 解直角三角形 26.2 特殊角的三角函数值 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，理解正、余弦相互关系式及推导过程. 2.能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算． 3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小. 熟记30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 计算含有30°，45°，60°角的三角函数的式子. 回顾复习 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ ， sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ ． (2)若∠A＝30°，则 ＝____． A B C c a b 斜边 如图，在一副三角板中有三个特殊的锐角，分别是30°，45°，60°. 1.直接说出30°角的正弦值，60°角的余弦值和45°角的正切值，并说明理由. 2.30°，45°，60°角的其他三角函数值分别为多少？你是如何得到的？ 30° 60° 45° 45° 问题引入 思考 问题1：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为 ， 另一条直角边长 = ∴sin 30°= ， sin 60°= ， cos 30°= ， cos 60°= ， tan 30°= ， tan 60°= . 30° 60° 探索新知 2a 问题2：设两条直角边长为 a，则斜边长 = . 45° 45° = ∴sin 45°= ， cos 45°= ， tan 45°= . 归纳 30°，45°，60°角的三角函数值如下表： 对于sin α与tan α，角度越大，函数值也越大； 对于cos α，角度越大，函数值越小. 1 例1 求下列各式的值： （1）2sin 30°+3tan 30°－tan 45°; （2）sin²45° + tan 60°cos 30°. 为方便起见，今后将（sin α）2，（cos α）2，（tan α）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α. 例题示范 解：（1）2sin 30°+3tan 30°－tan 45° =2×+3×－1= （2）sin²45° + tan 60°cos 30° =（）²+×=+=2. 填一填：（逆向思维） 30° 45° 60° 60° 45° 30° 30° 45° 60° 思考 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大). 例题示范 例2 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( D ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念， 知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D. 【方法总结】当0°<∠A<90°时，0<sinA<1，1>cosA>0. 当45°＜∠A＜90°时，tanA＞1. 例题示范 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC=2 ,CD=3，求∠B的度数． 解：∵CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中， ∵ AC=2 ,CD=3，∴sin A== . ∴∠A=60°. ∴∠B=90°－∠A=90°－60°=30°. 随堂演练 1.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是(　　) A．40° B．30° C．20° D．10° 2.在△ABC中，若| sin A－ | ＋ (cos B－ )2 ＝0，则∠C=(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 3.下列各式中不正确的是（ ）． A．sin ²60°+cos ²60°=1 B．sin 30°+cos 30°=1 C．sin 35°=cos 55° D．tan 45°>sin 45° D D B 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． A B C 解：在图中，AB= ，BC=， ∴sin A===， ∴∠A=45°. 5.求下列各式的值： （1）1－2 sin 30°cos 30°;（2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60° 解：(1)1－2 sin 30°cos 30° (2) 3tan 30°－tan 45°+2sin 60° 6. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵(1－tan A)2 ＋|sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ， ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 拓展提升 1.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=2 , 求AB的长. 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∠A=30°，AC= . ∵sinA ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ AB=AD+BD=3+2=5. ∵tan A= 2.已知α为锐角，且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α＋cos2α－ tan(α+15°)的值． 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tan α＞0，∴tan α=1，∴α=45°. ∴2sin2α+cos2α- 3tan(α+15°) =2sin245°+cos245°- 3tan 60° =2×（ ）2+（ ）2－3× . = (1－ ) . 归纳小结 30°，45°，60°角的三角函数值 30° 45° 60° $