25.7 相似三角形的应用（课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，系统讲解用相似知识解决不可测距离与高度问题，通过古塔距离、旗杆高度等实际情境导入，结合A字型、X字型模型复习，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以交叉卡钳测量、无人机航拍等现实案例培养数学眼光，通过构造相似模型（如内接正方形）发展推理能力，用公式推导强化数学语言。采用问题驱动与模型归纳，学生能联系生活激发兴趣，教师可直接使用结构化资源提升教学效率。

第 二十五章 图形的相似 25.7 相似三角形的应用 第1课时 学习目标 能运用三角形相似知识解决不能直接测量两点间的距离等实际问题. 学习重难点 重点 运用相似三角形的知识计算不能直接测量两点间的距离. 难点 正确建立相似三角形模型. 典型例题 例1 如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量，若 CD=b,则这个零件的内径为多少，零件的壁厚x又是多少？（用含a,b,m的代数式表示） 知识点 利用相似三角形求两点间的距离 解：∵，∠COD=∠AOB， ∴△CDO∽△ABO. ∴. 又∵CD=b，AB=a-2x，∴AB=mb，x=. 答：这个零件的内径为mb，壁厚为. 如图（1），在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.如何求古塔和观景台之间的距离呢？ （1） （2） 1.图（2）是小明设计的测量方案示意图，这个方案可行吗？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果. 新知探究 小明的测量方案和测量数据 从点C(观景台)沿正西方向走到点 B，使点 B 恰好位于点A(古塔)的正南方向上，然后向南走到点E，再从点E 向东走到点D，使得D，C， A三点恰在一条直线上.量得 BE=40 m, ED=100 m, DC=48 m,由此可计算AC 的长. 2.提出你的设计方案，并与同学交流. 归纳总结 求不能直接测量两点间的距离的实际问题，可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.A字型. 2.X字型. 1. 如图，A、B两地被假山阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别在CA、CB上取点D、E，使得CD：AD=CE：BE=1:2，量得DE的长为8 m，则AB两地的距离为________m． 24 随堂练习 2.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB. 解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD. ∴ 解得AB=100（m）. 答：河宽AB为100 m. 3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ. 解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴， 即，, PQ×90=（PQ+45）×60. 解得PQ=90（m）. 答：河宽PQ为90 m. 1.俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点A为他的肩部，点B为手掌与地面的接触点，点C为小杨的头顶，且AB⊥OB．若测得AB=50 cm，OA=125 cm，小杨的身高OC=160 cm，则小杨头顶C到地面的竖直高度CD为（ ） A.64 cm B.68 cm C.70 cm D.72 cm A 拓展提升 2.无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段CD，△DCO∽△BAO．无人机镜头O距地面的垂直高度OM为100 m，CD的长度为64 mm，若此时该相机镜头O距离成像传感器CD的距离ON为8 mm，则目标线段AB的长度为（ ） A.60 m B.64 m C.80 m D.100 m C 3.如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在A′，B′处，线段AB的像是线段A′B′，AB上点C的像是点C′．若A′B′∥AB，求证：． 证明: ∵A′B′∥AB, ∴△OA′C′∽△OAC,△OB′C′∽△OBC, ∴=,=, ∴=,即= 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在A处，摄影师给小美仰拍．小美的身高AB的像为A′B′，腿部AC的像为A′C′．若OA=a，OA′=b，OB=c，OB′=d，，则______． 解析：如图，作B'G∥AB,A'H∥AB,分别交直线CC'于点G,H. 同理△OB'G∽△OBC,△OA'H∽△OAC, ∴ ∵B'G∥AB, A'H∥AB, ∴B'G||A'H, ∴△B'GC'∽△A'HC'，∴. ∵， ∴ ∴ 课堂小结 利用相似三角形求两点间的距离 A字型 X字型 第 二十五章 图形的相似 25.7 相似三角形的应用 第2课时 学习目标 能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度等实际问题. 学习重难点 重点 运用相似三角形的知识计算不能直接测量物体的高度. 难点 解决三角形内接四边形中的相似问题. 求不能直接测量两点间的距离的实际问题，可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.A字型. 2.X字型. 复习回顾 如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高度呢？ 新知引入 知识点1 利用相似三角形测量高度 为了求学校操场上旗杆的高度，大刚设计了如下测量方案. 大刚设计的方案 如图，在阳光下的某一时刻，将一根标杆CD竖立在旗杆影子上，使标杆的影子BD落在旗杆的影子BO上，且它们影子的顶端重合.这时，量一量CD，BD，BO的长，可得旗杆AO的长为AO= 1.大刚设计的方案是否可行?如果可行，请说明理由. 2.请你也设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与同学交流. 归纳总结 利用太阳光进行测量时应在晴天，用这一方法时要牢记：太阳光线是平行光线.在同一时刻物高与影长成比例，即 例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 cm，高AD=80 cm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长为多少厘米？ 例题解读 知识点2 三角形内接四边形中的相似问题 解：设裁出的正方形为EFGH，△ABC的高AD与HG交于点K，则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF，∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角，∴△AHG∽△ABC. ∴. ∵四边形EFGH为正方形， ∴AK=AD-HG. 从而. 设HG=x cm，则=. 解得x=48. 答：这个正方形的边长为48 cm. 1.如图，BC为标杆AB在路灯O下的影子，已知标杆高AB为2.4 m，影长BC为3 m，标杆与路灯的水平距离BP为6 m，则路灯的高度OP为（ ） A.6.48 m B.7.2 m C.8.1 m D.9.6 m 随堂练习 B 2.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？ 解得x = 54， 解:设这栋高楼的高度为x，则 即这栋高楼的高度为54 m. 1.如图，在水平路段AB上，CD为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为GH）从H出发，沿着H→F方向前行20 m至点F，发现影子缩短了5 m．已知小明原来影子长15 m，小明身高1.6 m，那么路灯的高度为（ ）m． A.6 B.8 C.10 D.12 B 拓展提升 2.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处到地面BE的距离为1.5 m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足FD=FA，若EB的长度是9 m，则车宽FA的长度为___________m. 1.8 3.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端 C 了？ 解：如图（2），假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK.所以 即， 解得EH=8（m）. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边较低的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶点 C . AB =8 m， CD=12 m，BD=5 m，眼睛距地面估计1.6 m． 课堂小结 对于利用相似三角形求不可测的高度、距离的问题，要从题目中挖掘相似三角形，判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质解题. 相似三角形的实际应用 一般构建相似的直角三角形． $