25.6 相似三角形的性质（课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，核心知识点为对应线段、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。课堂导入通过回顾相似三角形定义与判定，结合图形问题引入，搭建新旧知识支架，引导学生逐步探究。 其亮点是以问题驱动探究，通过对应高、中线、角平分线比的严格证明培养推理意识，结合例题图形分析发展几何直观。采用“回顾-探究-应用”流程，小结条理清晰，助力学生构建知识体系，教师可高效教学，提升学生逻辑思维与应用能力。

第二十五章 图形的相似 25.6 相似三角形的性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 2.掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及其在实际中的应用. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 用相似三角形的性质定理解决简单的实际问题. 回顾复习 1.什么叫相似三角形？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 全等三角形是相似三角形，其相似比为1. 共5种；定义法，定理，判定定理1，判定定理2，判定定理3. 问题引入 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线. （1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由. （2）AE和A'E'的比，AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由. 探索新知 问题1 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比各是多少？ 如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D' ． 则∠ADB＝∠A'D'B'＝90°. ∴△ABD ∽△A'B'D' . ∴ ＝ ＝k. 结论：相似三角形对应高的比等于相似比． 知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比 思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知：两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′. 又BE，B′E′分别为对应角的平方线. ∴ ∠ABE＝∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. ∴ . 结论：相似三角形对应角平分线的比也等于相似比． 已知：两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， . 又AD，A′D′分别为对应边的中线， ∴ . ∴ △ABD∽△A′B′D′. ∴ . 结论：相似三角形对应中线的比也等于相似比． 相似三角形的性质定理1： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳总结 问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由. 求证：相似三角形周长的比等于相似比. 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 知识点2 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理2： 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 问题4 △ABC的面积和△A1B1C1的面积的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由. 求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k , 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴ , ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ ,∴ ∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 . 相似三角形的性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 归纳总结 例题解读 例 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D, EF∥BC,分别交AB, AC, AD于点E, F, G, =,AD=15,S△ABC=150,求AG的长和△AEF 的面积. 解: ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∵AD⊥BC，∴AG⊥EF. ∴=,=. ∵=,AD=15, ∴=，∴AG=9. 又∵S△ABC=150, ∴=, ∴S△AEF=54. 随堂练习 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________． 2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为________． 3．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩短到原来的______． 2 : 1 8，3 1．已知△ABC∽△DEF，BG,EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的长． 拓展提升 解：∵△ABC∽△DEF， ∴ , ∴ , 解得EH＝3.2 cm. 答：EH的长为3.2 cm. 2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长. 解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm. 3．如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 解：∵∠BAC＝∠DAE，且 , ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100-36＝64 cm2. 归纳小结 定理1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 定理2 定理3 相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. $