精品解析：四川成都市实验外国语学校2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题

成都市实验外国语学校2024级高二下零诊模拟考试 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的展开式的通项为 . 令 ，得， 所以 的展开式中的系数为 . 2. 在等差数列中， ， ，则公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，由 ， ， 可得 ， ，即，， 所以该数列的公差为 . 3. 52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是 ，则第二次抽到 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C， 则. 4. 在梯形 中， ，，.将梯形 绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知旋转后的几何体如图: 直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为 故选C. 考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 5. 已知函数在 处有极大值，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 令 ，解得和， 若，则，函数在 上单调递增，无极值点； 若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意； 当 时，，当时， ，在上单调递增， 当 时， ，在上单调递减， 当 时， ，在上单调递增， 故为函数的极大值点，故 ，则. 6. 已知等比数列中 ，则其前3项的和的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式，求得前三项的和，结合基本不等式可以求得取值范围. 【详解】因为等比数列中 ， 所以， 所以当时，当且仅当时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 所以前3项的和的取值范围是. 故选：D 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 8. 设 ，是两个事件，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式和事件的独立性依次讨论求解即可. 【详解】对于A，，当且仅当 或时等号成立，故A一定成立； 对于B，当 ，是两个相互独立事件时，则， 当 ，是不相互独立事件时，，故B不一定成立； 对于C，由全概率公式可得，故C不一定成立； 对于D，当时，，， 则，故D不一定成立. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，， ，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，， ，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设 是 的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以 ， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 10. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 【答案】BC 【解析】 【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】对于A，恒成立， 存在正数，使得恒成立， 数列是有界的，A错误； 对于B，，， ， ， 所以存在正数，使得恒成立， 则数列是有界的，B正确； 对于C，因为， 所以当为偶数时，；当为奇数时，； ， 存在正数，使得恒成立， 数列是有界的，C正确； 对于D，， ； 在上单调递增，， 不存在正数 ，使得恒成立， 数列是无界的，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的零点为，函数的零点为 ，其中，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式和导数的性质逐一判断即可. 【详解】令、，则、， 在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像， 因为函数与互为反函数，其图象关于直线对称， 解方程组得， 因为函数的零点为，函数的零点为 ， 所以，关于对称，则，， 所以由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 因为，故，所以A错误，B、C正确. 对于D，由于表示点，间距离的平方， 令，则，由解得 ，此时， 所以上的点距的最小距离为， 所以由反函数的对称性可得直线与、相交于点，时，线段AB的长度最小， 此时，所以成立，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】令得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 13. 若函数 在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将“函数 在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】函数 的定义域为， . 因为在上是增函数，所以 在上恒成立， 所以   ，即在恒成立. 当 时， ，当且仅当，即 时等号成立. 因此 ，即 . 故的取值范围是 . 14. 方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_____条． 【答案】 【解析】 【详解】方程变形得，若表示抛物线，则， 分五种情况： （1）当 时，或或或. （2）当时，或或或,以上两种情况下有条重复，故共有条. （3）同理当或时，共有条. （4）当 时，或或或，共有条，综上，共有 ，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查分类计数加法原理、分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，， 是的中点， 作交 于点 . （1）求证： 平面； （2）求平面与平面 的夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建系，通过线面位置的向量表示即可求证； （2）由面面角的向量法即可求解. 【小问1详解】 在四棱锥中， 底面 ， 底面 ， 所以, 由底面 是正方形，得， 以 为原点，直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 设平面的法向量为 则 ， 令 ，则， 则为平面的一个法向量， 则 ，而 不在平面内， 所以 平面. 【小问2详解】 由（1） 知，， 且 设平面的法向量为 ， 则 ， 取 ，， 所以为平面的一个法向量， 而 ， 则 ， 即 ， 则的一个法向量为 ， 因此 ， 而 则 所以平面与平面 的夹角是 16. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{an}的公比为q, 由＝9a2a6得＝9, 所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 故. 所以数列的前n项和为 17. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是． （Ⅰ）若袋中共有10个球， （i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 【答案】（Ⅰ）（i）5 （ii） （Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由条件给出了球的个数及每种颜色球的概率，（i）问可由古典概率的公式列出方程求出白球的个数；（ii）为求随机变量 （白球的个数）的分布列,可按步骤，先分析 的可能取值，再分别求出概率，可作出分布列，代入公式可得期望； （2）由题为证明，可由条件先设出球的个数和黑球个数，再表示出“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”的概率，从而可推出白球和红球的个数，而得证． 试题解析：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A， 设袋中白球的个数为 ，则，得到．故白球有5个 （ii）随机变量 的取值为0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 的数学期望． （Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得， 所以，，故． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则 ． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 ，红球的个数少于．故袋中红球个数最少． 考点：（1）古典概率与组合数方程及随机变量分布列及期望；（2）概率与方程和不等式思想． 18. 已知椭圆的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为的直线交 于 ， 两点，点 在 上，． （1）若椭圆的离心率为． ①求椭圆 的方程； ②若时，求的面积； （2）当时，求 的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线 的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 ①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率​，所以​，解得 ， 因此椭圆的方程为. ②因为 是 的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点 ），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. 【小问2详解】 已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线 斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为​，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 19. 已知函数 ． （1）求在处的切线方程． （2）设若 恒成立，求实数的取值范围； （3）已知 ，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明： 要证，只需证（*），​ 不妨设 ，令，则 ， ， （*）即 ， 整理得，等价于 ， 设函数， 则 ， 令，则 ，再设函数，则 ， 所以在 单调递增，所以 ，即 恒成立，当且仅当 时取等号， 所以在单调递增， ，即 ， 原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先求对数函数在 处的函数值与导数值得到切点和切线斜率，再用点斜式直接写出切线方程; （2）分离参数将恒成立问题转化为求分式函数的下界，构造辅助函数借助单调性证明 恒成立，从而得到a的取值范围； （3）先两边取对数化简不等式，换元将二元不等式转为单变量不等式，构造函数求导，再二次换元构造简易辅助函数判断导函数恒非负，得到原函数单调递增且最小值为，完成证明. 【小问1详解】 的定义域为，求导得，则 ，切点为， 切线斜率 ， 则切线方程为，即 . 【小问2详解】  原不等式化为， 当时，左边 ，不等式对任意 恒成立； 当 时， ，不等式可化为 ， ​ 问题转化为对任意 恒成立， 令，则 ，  故在单调递增，又 ， 因此时， ,即，故得 ； 当 时， ,即，又此时 ，所以 ， 因此当 时，恒有 ， 故 ，即实数的取值范围为 . 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2024级高二下零诊模拟考试 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中， ， ，则公差为（ ） A. B. C. D. 3. 52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在梯形 中， ，，.将梯形 绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C. D. 5. 已知函数在 处有极大值，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知等比数列中 ，则其前3项的和的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 8. 设，是两个事件，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，， ，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 10. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 11. 已知函数的零点为 ，函数的零点为 ，其中，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为______． 13. 若函数 在是增函数，则 的取值范围是__________． 14. 方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_____条． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，侧棱底面 ，， 是的中点， 作交 于点 . （1）求证： 平面； （2）求平面与平面 的夹角的大小. 16. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 17. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是． （Ⅰ）若袋中共有10个球， （i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 18. 已知椭圆的焦点在轴上，是 的左顶点，斜率为的直线交 于， 两点，点 在 上，． （1）若椭圆的离心率为． ①求椭圆 的方程； ②若时，求的面积； （2）当时，求 的取值范围． 19. 已知函数 ． （1）求在处的切线方程． （2）设若 恒成立，求实数 的取值范围； （3）已知，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $