精品解析：安徽马鞍山市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

马鞍山市2025～2026学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数在复平面内所对应的点为， 位于第四象限. 2. 如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相等向量，向量的加法运算即可求解. 【详解】在矩形中，因为点分别是和的中点， 故，则， 由图可知和，，都不是相等向量， 所以A正确，BCD错误. 3. 已知m，l为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】A选项根据线面平行的判定定理判断；B选项根据线面垂直的性质判断；C选项根据线面平行的性质判断；D选项根据面面垂直的性质判断． 【详解】A选项，根据线面平行的判定定理可知，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，选项中未强调平面外的直线，故A错误； B选项，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可判断，B选项正确； C选项，线面平行，则这条直线与平面内的直线没有公共点，可能平行可能异面，故C错误； D选项，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，可以平行，故D错误． 4. 若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故A错误； 对于B选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故B错误； 对于C选项， 不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故C错误； 对于D选项，因为，所以该组向量不可以作为该平面的基底，故D正确. 5. 已知数据的平均数为11，标准差为3，则的平均数和标准差分别为（ ） A. 33，9 B. 33，7 C. 31，9 D. 31，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和标准差的性质计算即可. 【详解】因为数据的平均数为11，标准差为3，即， 所以的平均数为 . 根据标准差的性质可知，数据的标准差为. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解． 【详解】在上的投影向量为． 7. 一个箱子里有20个小球，分别以编号．甲从中随机抽取1个小球，记下其编号．记事件“编号为奇数”，事件“编号为偶数”，事件“编号小于18”，事件“编号大于18”，则下列结论错误的是（ ） A. A与B互斥 B. A与B互为对立事件 C. C与D互为对立事件 D. B与D互为独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出样本空间和事件，即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断． 【详解】由题意甲从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件表示，事件表示，事件表示， 所以，则与互斥，且与互为对立事件，故AB正确； 因为，所以C与D不是对立事件，故C错误； 因为，所以，所以B与D为相互独立事件，故D正确． 8. 在中，，，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量线性运算得到，通过平方得到，在中，两次使用余弦定理即可求解. 【详解】由，得 故 ，  ，  代入已知， 得​： ，  即，解得.  ， .​​ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是的共轭复数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念等知识逐项判断即可. 【详解】设，由得： A选项：，，不一定等于2，A错误； B选项：，B正确； C选项：表示圆心为原点的单位圆上的点到点的距离，最小值为，C正确； D选项：，D正确 10. 在边长为2的等边中，和的中点分别为和，点满足，，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以中点为原点建立平面直角坐标系，写出各点坐标，由得到动点的坐标；A利用向量中线公式验证，B通过向量夹角余弦公式计算夹角，C用两点间距离公式结合二次函数求线段最小值，D将向量点积化为二次函数求最值． 【详解】 如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 的边长为， ，，，，， 由，且，得， 对于A，由向量平行四边形法则，在中，是的中点， 所以，A正确； 对于B，，， 所以， 又，所以，B错误； 对于C，，， ， 当时，取最小值为，C正确； 对于D，，， ， 当时，取最小值为，D正确． 11. 六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形.若该六棱锥的外接球半径为2，则顶点P与底面的中心之间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正六边形的特征及外接球的性质分类讨论球心的位置计算即可. 【详解】易知底面的外接圆半径长等于其边长，其圆心即正六边形的中心，设为点Q， 又该六棱锥的外接球半径为2， 设六棱锥的外接球球心为O，则，作球O如下， 因为六棱锥的高为，取的中点G，延长到H，使， 则P在以G或为圆心且平行于底面的圆面上， ①当P在以G为圆心且平行于底面的圆面上时， 因，则， 又因，则； ②当P在以H为圆心且平行于底面的圆面上时， 同理可得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的高为6，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的底面积为，侧面积为， 侧面积是底面积的2倍，则有，得， 圆锥的高，圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，有， 代入和得：，解得， 因此，母线长. 13. 某中学有高一年级学生1050人，高二年级学生1000人，高三年级学生950人.现采用在各年级中按比例分配的分层随机抽样，从三个年级共抽取60名学生进行身高调查，则高一年级抽取的学生数为__________. 【答案】21 【解析】 【详解】由题意，抽样比为， 则高一年级抽取的学生数为. 14. 如图，在中，，，，，点是的中点，与交于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以作为基底，利用三点共线设参数求出系数，再展开利用数量积运算即可进行求值. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 因为三点共线，设，即， 又因为三点共线，可设，则， 所以，解得， 所以 ，， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率. （1）若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6； （2）若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 从这7个数中人选1个数，有7种选择， 因为这7个数中只有4和6的平方的个位数字为6， 所以若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6的概率为； 【小问2详解】 随机选择两个不同的数共有种， 两个数之和的个位数字为6，符合条件的共有3种， 所以随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6的概率为. 16. 某市统计局统计了某城际地铁自开通以来的天每天的客流量，发现它们都在万人次之间，将它们分成组（单位：万人次）：，制作成如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求这天中客流量不少于万人次的天数； （3）假设这些数据在各组内均匀分布，估计这天客流量的第百分位数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各组面积之和等于求解即可； （2）先计算出不少于万人次的天数的频率，然后再计算即可； （3）根据百分位数计算方法计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，解得：. 【小问2详解】 不少于万人次的天数的频率为， 故不少于万人次的天数为天. 【小问3详解】 因为， 所以第百分位数一定在区间内，设第百分位数为， 则，解得：， 所以第百分位数为. 17. 如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）连接，设，连接. 由四边形为平行四边形可得，与互相平分，即点是的中点， 又因为为中点，所以. 因为面，面，所以面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分得到中点，结合是中点构造三角形中位线，证出线线平行，最后利用线面平行判定定理即可证出线面平行； （2）先利用勾股定理证明垂直底面，用三垂线定理找出二面角的平面角，再在中求解余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接和. 因为，所以，且，同理， 所以在中，，， 则，即， 又因为，面，所以面. 过点作的垂线，垂足为，连接，则，又， 则为二面角的平面角. 在中，，， 所以，解得. 故. 即二面角的余弦值为. 18. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 19. 如图，在三棱锥中，，，平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）若点在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求该角的正弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，由此得到高，根据三棱锥体积公式计算即可； （2）通过作平行线，将异面直线转化为共面直线找到夹角，利用解三角形的方法计算异面直线夹角； （3）过作平面的垂线，连接垂足与点即可作出线面角，再利用直角三角形的边角关系进行计算线面夹角． 【小问1详解】 取棱BC的中点为，连接， 因为为边长2的等边三角形，所以，且； 因为平面平面，且平面平面，平面, 所以平面． 因为，，由，得， 故． 所以三棱锥的体积为． 【小问2详解】 取棱和的中点分别为和，连接，，， 可得，， 则异面直线与的夹角为直线与所成的角． 过点作的垂线，垂足为，连接， 易得，所以平面，而平面，则， ，故． 在中，因,, 由余弦定理，得， 故异面直线与的夹角余弦值为． 【小问3详解】 过点作平面的垂线，垂足为，连接和， 则为直线与平面所成角， 由（1）可知，，且平面，因为平面， 故，因为，且平面， 所以平面，所以，则， 在中，，， 则， 可得． 因为，所以． 因为，故当取最小值时，取最大值，则取最大值， 因为为棱上一动点，当且仅当时，取得最小值为， 此时． 即直线与平面所成最大角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市2025～2026学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，l为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知数据的平均数为11，标准差为3，则的平均数和标准差分别为（ ） A. 33，9 B. 33，7 C. 31，9 D. 31，7 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 一个箱子里有20个小球，分别以编号．甲从中随机抽取1个小球，记下其编号．记事件“编号为奇数”，事件“编号为偶数”，事件“编号小于18”，事件“编号大于18”，则下列结论错误的是（ ） A. A与B互斥 B. A与B互为对立事件 C. C与D互为对立事件 D. B与D互为独立事件 8. 在中，，，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是的共轭复数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 10. 在边长为2的等边中，和的中点分别为和，点满足，，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形.若该六棱锥的外接球半径为2，则顶点P与底面的中心之间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的高为6，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线长为__________. 13. 某中学有高一年级学生1050人，高二年级学生1000人，高三年级学生950人.现采用在各年级中按比例分配的分层随机抽样，从三个年级共抽取60名学生进行身高调查，则高一年级抽取的学生数为__________. 14. 如图，在中，，，，，点是的中点，与交于点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率. （1）若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6； （2）若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6. 16. 某市统计局统计了某城际地铁自开通以来的天每天的客流量，发现它们都在万人次之间，将它们分成组（单位：万人次）：，制作成如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求这天中客流量不少于万人次的天数； （3）假设这些数据在各组内均匀分布，估计这天客流量的第百分位数. 17. 如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 18. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 19. 如图，在三棱锥中，，，平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）若点在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求该角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $