安徽芜湖市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

2025一2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 8 D B D B A c A 二、多选题 9 10 父 AC ABD BC 三、填空题 12.0.8 13. 9W5 14.1213+6√2 4 四、解答题 15.(13分) 解答： （1D因为ā与6共线，所以1×1=k×2→k=2 1 …5分 (2)因为a⊥b,所以a.b=1×k+2×1=0三k=-2 所以b=(-2,1),c=(2,3) 所以C0s<b,c> 万-2×2+1×3√65 同 √5√13 65 …13分 16.(15分) 解：(1)不妨设出剪刀、石头、布分别用A,B,C来表示，则甲、乙比赛的全部基本事件为： (A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),其中甲得2分的有 A,C),因，0，(C,B),三种情况，所以R=3- 937分 (1)甲、乙两人两局比赛的结果的全部基本事件为：（胜，胜），（胜，平），（胜，负），（平，胜），（平，平）， (平，负)，（负，胜），（负，平），（负，负），其中满足题意的有（胜，平），（平，胜）， 所以=号ml5分 17.(15分) 解：(1)由题可知10×(0.005+0.005+0.01+0.05+x+0.005)=1,解得x=0.025 .4分. (2) (i)x=45×0.05+55×0.05+65×0.1+75×0.5+85×0.25+95×0.05=757分. (ii)由题易知落在[40,50)内有5人；落在[50,60)内有5人， 因此：E=5×45+5x55 50 10 11分. 1 s2=x(2+(45-50)+×3+(55-502)= 55 …15分. 2 18.(17分) 解：（1)连接AC,BD相交于点O,连接OM, 四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点，又M为PD中点， 所以PB/1OM,又OMc平面MAC,PB丈平面MAC, 所以PB/平面MAC 5分 (2)AP⊥AB、AP⊥AD 又AB、ADC面ABCD且AB、AD相交 .AP⊥面ABCD .AP⊥BD .7分 又.CA⊥BD AP、CAC面PCA且AP、CA相交 .BD⊥面PCA 又BDC面PCD 所以平面PBDL平面PAC10分 (i)过P作I11CD,:.Ic面PCD 又：AB/ICD :.1//AB .lC面PAB 2 .I是面PAB和面PCD的交线 12分 过A作AH⊥CD于H,连结PH 又AP⊥CD .CD⊥面PAH .1⊥面PAH .l⊥PA、1⊥PH .∠APH即为平面PCD与平面PAB所角… 15分 ∴.tan∠APH= 31 /32……………17分 19.(17分) 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得： a2+b2-c2 a+b:-(a+b') 2a2+b） _.2ab cosC= 2 2ab 2ab 2ab 2ab 3 (当且仅当a=b时等号成立)，所以cosC的最小值为 …3分 3 (2)由余弦定理及面积公式得： cos A cos B cosC 2bccos A 2ac cos B 2ab cosC sin A sin B sinC 2bcsin A 2acsin B 2absin C -6+c2-d+a+c-6+a+b2-c a2+b2+c2 4S 4S 4S 4S 设PA=x,PB=y,PC=z,在△PAB,△PBC,△PCA中，由余弦定理得： Cr= c2+x2-y2 、x义，c=。,b2 b2+z2-x2 2c0sθ 2c0s0 所以： s=}x(a+w+b的)×m0=x+r-y+a+y-+b2+2- 21 -)xsin 2cos0 (a2+b2+c2) .sine 4cosθ 即Cos8 a2+b2+c2 所以Cos8 cos A cos B cosC sin8sinA8inB十snC:…7分 十 sin0 4S (3)(1)在△PAB中，由正弦定理得： P4 sin(B-θ)sin Bcos0-cos Bsinθ =coSB、CosB 1n0 sin B sin B sin B 3 同理： PB=cos0-cosC snθ sinC sin,P =cos0-Cos 4 b sin A 由(2)中已证结论得：PA+PB+P℃ =3cos0- cos …sim0=2c0sθ c a b sina 月方面：c2=a2+b2-2abc0sC=a+b)→abc0sC=(a2+b)=c, 结合(2)的证明过程可得： cos0 a2+b2+c2 4c2 4abcosC sin 4S 4S 2absin C sin C 显然8，C均为锐角，故tan日=一tanC,从而e和C的增减性一致，所以： 2 PA PB PC -=2cos日最小，当且仅当cosC最小 c a b 由1)可知c0sC取最小值子时，amC=5an9= 4W21 3 2 4 21 所以： 4+PB+PC的最小值为8V2I …12分 C a b 21 (ii)证法1：由(i)的证明过程，结合c=2 Rsin C，,可得 e'tanC= (2RsinC)taC=2R sinC.sinc cosC 由于c是锐角，则证明S<9R?anC一2sin'c<9 sinc<3 9 8 4 由(1)可知cosC≥ ，所以smCs 4V53 1一。 <二，结论得证！ 934 证法2：由(2)和(3)(i)的证明过程并结合正弦定理Q b =2R可知： sinA sin B sin C 证明：S<9R'tanC一证明：S<9R'tm8台证明：4 9 -=a+b2+c2<9R2 8 4 tan 9 →证明：sin2A+sin?B+sin2C< 4 事实上：因为C是锐角，所以： sin4+sin B+sin'C=1-cos241-cos2B1-cos2C 2 -}cos2A-eos28+m20-号cas(11周eo18到-cosC+5 3 1 22 9 osCcos(A-B)-cosC52+c0C-cosC=(cC 4 21 (当且仅当A=B,c= 气，即△ABC为等边三角形时，等号成立) 4 而a2+b2=3c2,所以△ABC不可能为等边三角形，所以上面不等式等号取不到. sinA+sinB+sinC 成立，结论得证！…17分 4 2025—2026学年度第二学期期末考试（供选用） 高一年级数学试题卷 本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据90，92，94，97，99的第75百分位数为 A．90 B．92 C．94 D．97 2．已知复数满足，则复数的虚部为 A． B． C． D． 3．某中学高一年级300人，高二年级400人，高三年级300人，为了解该校学生对食堂的满意程度，现按照各年级人数的比例分配进行分层抽样，已知抽取高二学生20名，则本次抽取的样本容量为 A．15 B．30 C．40 D．50 4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 6．《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为4，则该方亭的体积为 A． B． C． D． 7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“两次掷出的点数之和是6”，“两次掷出的点数相同”，“第一次掷出的点数是偶数”，则 A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 8．已知，是两个非零向量，且，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组从小到大排列的样本数据，记为，，，，．现去掉，后，得到新数据，，，则下列说法正确的是 A．新数据的中位数与原数据的中位数相等 B．新数据的众数与原数据的众数一定相同 C．新数据的极差不大于原数据的极差 D．新数据的方差不小于原数据的方差 10．如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．已知四面体中，，，则下列说法正确的是 A．异面直线与所成角的余弦值为 B．四面体的外接球的表面积为 C．若平面过棱，，的中点，则平面与四面体的内切球相切 D．若为内部（包含边界）的动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度小于 三、填空题：本题共有3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，如果，互斥，则__________． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为__________． 14．正方体的棱长为12，，分别为线段和线段上的点，若，，则平面截正方体所得截面的周长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，． （1）若与共线，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 16．（15分）甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），计分规则如下：①两人手势相同（平局）：每人各分；②两人手势不同，胜者分，败者分．比赛一共进行两局，两人之间及每局游戏结果均相互独立． （1）求甲单局得2分的概率； （2）求甲得3分的概率． 17．（15分）为响应国家“全民健身”号召，某校为了解学生每周体育锻炼时长情况，随机抽取100名学生进行调查，将他们的周锻炼时长（单位：分钟）进行统计，并得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表． （i）估计样本中100名学生周锻炼时长的平均数； （ii）若落在内数据的方差是2；落在内数据的方差是3，求这两组数据合并后的平均数和方差． 18．（17分）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为2的菱形，，，，将沿翻折至，如图2． （1）若为中点，证明：平面； （2）当时． （i）证明：平面平面； （ii）求平面与平面所成角的正切值． 19．（17分）布洛卡点由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特征，是几何学中兼具美学与实用价值的点．定义如下：设在内部，且，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角． 如图，在中，，，分别为三个内角，，的对边，且．记的面积为，外接圆半径为，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）求的最小值； （2）证明：； （3）利用（1）和（2）的结论： （i）求的最小值； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $