26.4 二次函数的应用 《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理利用二次函数解决实际问题的步骤，涵盖销售、拱门、投球、拱桥等七类题型，搭建从二次函数性质到实际应用的学习支架。 资料特色在于结合冬奥会“冰墩墩”销售、隧道拱门等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过建立坐标系、列函数关系式等环节发展数学思维，强化模型意识，课中助力教师系统教学，课后随堂检测帮助学生查漏补缺。

26.4 二次函数的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 2 【题型2 拱门问题】 6 【题型3 投球问题】 11 【题型4 拱桥问题】 15 【题型5 喷水问题】 20 【题型6 图形问题】 23 【题型7 情境问题】 27 【随堂检测】 33 知识点 利用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 【题型1 销售问题】 【例1】2022年2月，中国向世界呈现了一届了不起的冬奥会．在冬奥会闭幕后，某网店购进一批“冰墩墩”毛绒玩具，每个“冰墩墩”毛绒玩具进价为每个55元，当销售单价定为120元时，每天可售出60个，每销售出一件需缴纳管理费5元，为了提高销售量，增加盈利，该网店决定采取适当的降价优惠措施（不涨价），经调查发现，销售单价每降低1元，则每天可多售出3件（销售单价不低于进价），设该款“冰墩墩”毛绒玩具的销售单价为元，每天的销售量为件． (1)求与的函数解析式（解析式也称关系式），并直接写出自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，销售该款“冰墩墩”毛绒玩具每天所获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)，； (2)当销售单价为100元时，每天所获得的利润最大，最大利润是4800元． 【分析】（1）根据“每天的销售量=原销售量+增加的销售量”列出函数关系式，找到自变量的取值范围即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，其中单件利润为销售单价减去进价与管理费，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 与的函数解析式为， 自变量的取值范围是； （2）解：由题意得：， ， ， 的图象开口向下， 当时，有最大值，， 当销售单价为100元时，每天所获得的利润最大，最大利润是4800元． 【变式1-1】某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元 【分析】（1）利润涨价后销售每件获得的利润涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）对称轴为直线，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为42和43，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元． 【变式1-2】2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【变式1-3】综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元 【分析】（1）设与的函数关系式为，把，代入即可求解； （2）设每天获取的利润为元，由题意可得，，根据二次函数图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：设每天获取的利润为元， 由题意得，， ∵该茶叶的日销售量不低于80千克， ∴， 解得， ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元． 【题型2 拱门问题】 【例2】河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)升降梯的最低高度应为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是y轴，从而可设抛物线为，又B为，故求得a的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为，故可令，则，从而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为，对称轴是y轴， ∴可设抛物线为． 又B为， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 当时，， 即， 在上取点，使，如图所示， 则升降梯的最低高度． 升降梯的最低高度应为． 【变式2-1】西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)点距地面的高度为； (2)两排灯的水平距离最小是米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先确定B点和顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，求得的值，从而得到点距地面的高度； （2）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为6所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 【详解】（1）解：根据题意得：，顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线的函数关系式为， 令，， ∴点距地面的高度为； （2）解：灯离地面的高度不超过， 令，则， 解得，， ， 如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是米． 【变式2-2】为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． （2）解：令，可得， 解得，， （m）， ∴这两根支柱之间的距离为m． 【变式2-3】某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)可以安全通过拱门，理由见解析 (3)每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门 【分析】（1）求出点，，利用待定系数法求出函数解析式，进一步即可求出答案； （2）求出当的自变量的值，进行解答和比较即可； （3）求出每两人的间距d的范围即可求出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 由题意得米， ∴米，， ∵米， ∴． 将点，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式是．   当时，． 答：拱门最高点距地面的高度为米． （2）可以安全通过拱门． 理由如下：由题意得，当时，， 解得，． ∵（米），（米）， ， ∴可以安全通过拱门． （3）解：由题意得（米）， ∴每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门． 【题型3 投球问题】 【例3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 【变式3-1】足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 【变式3-2】在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究，在图2中建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面点处． 科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度（）与离发射点的水平距离（）的几组关系数据如下． 水平距离 竖直高度 (1)根据上述表格，请求出抛物线的函数解析式． (2)请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，列出函数解析式是解题的关键； （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的表达式，结合抛物线过点，代入求解即可； （2）由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：由题意，可得抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数解析式为． ∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴抛物线的函数解析式为． （2）由（1），得， ∴令，则． 答：水火箭距离地面的竖直高度为m． 【变式3-3】实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 【题型4 拱桥问题】 【例4】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 【变式4-1】陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积． 【答案】(1) (2)4平方米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意得到顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则点，由对称性可得，，由此列式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设点的坐标为，则点， 由对称性可得， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴米， ∴门的面积为4平方米． 【变式4-2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 【变式4-3】有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 【题型5 喷水问题】 【例5】如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【变式5-1】某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)求水柱的最大喷射距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）根据顶点坐标，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线顶点为 设与之间的表达式为：． 将代入得：． 解得． ∴． （2）解：令，则 ． 解得，（不合题意，舍去） 答：水柱的最大喷射距离为． 【变式5-2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）略 【变式5-2】【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】（1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 【题型6 图形问题】 【例6】如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． (1)试用x的代数式表示菜园的面积y； (2)求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，菜园面积最大，最大面积是 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用． （1）确定长方形的另一条边长，根据长方形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意， 长方形的另一条边长为， ∴菜园的面积为， 即用x的代数式表示菜园的面积为； （2）解：， 根据题意得：， ∵， ∴当时，菜园面积最大，最大面积是． 【变式6-1】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆 120 米. (1)设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为__________米. (2)要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S. 【答案】(1) (2)当时，最大面积S为1200平方米 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）垂直墙的一边边长的3倍与平行墙的一边边长之和为120米，由此可列代数式； （2）列出S关于x的二次函数关系式，化为顶点式，即可求出最值． 【详解】（1）解：设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为米， 故答案为：； （2）解：依题意得： ， ∴当时，最大面积S为1200平方米． 【变式6-2】如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设矩形的面积为，找到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴, 设矩形的面积为，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当，即，点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【变式6-3】如图，小明计划利用一面墙（墙长11米）其它三面利用21米篱笆围成一个矩形．一侧有一木门，宽1米，若设，面积为．    (1)求与之间的函数关系，直接写出自变量的取值范围； (2)若鸡舍面积为60平方米时，求的长？ (3)长多少时，鸡舍面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形面积公式列出关系式，再结合篱笆总长和墙长列出不等式组，求出自变量的取值范围； （2）令，求出x，取符合范围的值即可； （3）根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∵墙长11米，篱笆总长21米， ∴， 解得：； （2）令， 解得：（舍）或， ∴鸡舍面积为60平方米时，的长为6米； （3）， 而，， ∴当时，y最大，且为， 即长为米时，鸡舍面积最大． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型7 情境问题】 【例7】露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 【变式7-1】“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．    (1)求抛物线的表达式； (2)小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； (3)身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 【答案】(1) (2)1.6 m (3)1 m或7 m 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的函数值，进一步求出小红的身高即可， （3）求出时的的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点代入得，解得， ． 即抛物线的表达式为． （2）把代入 得，（m）， 即小红的身高是1.6 m； （3）当时，， 解得或， 刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m）， 答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m． 【变式7-2】综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9.5 9 8.5 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．） 【答案】（1）（2）秒（3）滚动后停下来 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用； （1）设，根据表格提供的数据代入求解即可； （2）求出 ，再由求出解析式，当时求解即可； （3）当时，解得，将代入 求解即可． 【详解】（1）解：设，则有 ， 解得， ， 故答案为； （2）解： ，； ， ， ， 解得，（舍去）， 故黑球在滑道上滚动用了秒； （3）解：对于， 当时，， 解得， （）， 故黑球在滑道上滚动后停下来． 【变式7-3】综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； (3)能满足要求，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）根据平均每条通道每分钟可安检人数安检通道数量时间，可得已入场人数，再根据排队人数现场总人数已入场人数，可得到排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）将（1）所得关系式化为顶点式，求最大值即可； （3）由题意可知，开通7条安检通道，进而求出此时排队人数w与安检时间x的函数关系式，再根据二次函数的增减性，得到当时，随的增加而减小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平均每条通道每分钟可安检6人， 当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为； 由题意可知，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：，且排队人数现场总人数已入场人数 则排队人数w与安检时间x的函数关系式为， 故答案为：；； （2）解：， ，， 当时，有最大值为， 即排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； （3）解：由题意可知，开通7条安检通道， 已入场人数为， 排队人数w， 对称轴为直线， ， 当时，随的增加而减小， 即安检开始9分钟后，排队人数开始减少， 能满足演出主办方要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：依题意，令，则， 整理得 解得： （舍去）， ∴他将铅球推出的距离为 故选：C 2．某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得解． 【详解】解：如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：B． 3．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“每降价1元，每星期可多卖出20本”列方程即可． 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 4．若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为________秒． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质即可得解． 飞机停止时滑行距离达到最大值，根据二次函数的性质，顶点横坐标即为滑行时间． 【详解】解：二次函数的二次项系数，函数图象开口向下，有最大值，， 当时，取得最大值，飞机停止滑行． 故答案为15． 5．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 6．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键． （1）定价为每件元，比原价60元上涨了元，每涨价1元少卖出10件，所以少卖出的件数为件，原销量为300件，因此售出数量等于原销量减去少卖出的件数； （2）利润等于每件的利润乘以售出数量．每件的利润为定价元减去进价40元，即元；售出数量为件．因此利润可表示为，展开后得到二次函数，根据二次函数的性质，当时，函数取得最大值； 【详解】（1） ， 即； （2）设利润为元， 则 ， 对于二次函数，其中， 对称轴为， 将代入， 得 ． ∴每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元． 8．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)该同学抛出的弹珠不能投入箱子 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，，即可求解； （2）根据题意求出点，，，再由当时， 可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点， 将把点，代入得 解得 ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， 即点． ∵，， ∴． ∴点，，． 当时，， ∵， ∴该同学抛出的弹珠不能投入箱子． 9．4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据题意得出，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， 所以y与x的函数关系式为． （2）解：由题意，可知： ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴对称轴为直线时，w有最大值，最大值为， 答：每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元． 10．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球，证明见解析 (2)小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值可得抛物线解析式，把代入求出值与比较即可得答案； （2）把代入抛物线解析式，求出的值，再求出与球门的距离即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：或， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴， ， 答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 二次函数的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 2 【题型2 拱门问题】 4 【题型3 投球问题】 6 【题型4 拱桥问题】 8 【题型5 喷水问题】 10 【题型6 图形问题】 12 【题型7 情境问题】 14 【随堂检测】 17 知识点 利用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 【题型1 销售问题】 【例1】2022年2月，中国向世界呈现了一届了不起的冬奥会．在冬奥会闭幕后，某网店购进一批“冰墩墩”毛绒玩具，每个“冰墩墩”毛绒玩具进价为每个55元，当销售单价定为120元时，每天可售出60个，每销售出一件需缴纳管理费5元，为了提高销售量，增加盈利，该网店决定采取适当的降价优惠措施（不涨价），经调查发现，销售单价每降低1元，则每天可多售出3件（销售单价不低于进价），设该款“冰墩墩”毛绒玩具的销售单价为元，每天的销售量为件． (1)求与的函数解析式（解析式也称关系式），并直接写出自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，销售该款“冰墩墩”毛绒玩具每天所获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式1-1】某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-2】2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【变式1-3】综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 【题型2 拱门问题】 【例2】河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 【变式2-1】西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 【变式2-2】为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【变式2-3】某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【题型3 投球问题】 【例3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【变式3-1】足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【变式3-2】在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究，在图2中建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面点处． 科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度（）与离发射点的水平距离（）的几组关系数据如下． 水平距离 竖直高度 (1)根据上述表格，请求出抛物线的函数解析式． (2)请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【变式3-3】实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【题型4 拱桥问题】 【例4】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【变式4-1】陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积． 【变式4-2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【变式4-3】有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【题型5 喷水问题】 【例5】如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【变式5-1】某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)求水柱的最大喷射距离． 【变式5-2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【变式5-2】【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【题型6 图形问题】 【例6】如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． (1)试用x的代数式表示菜园的面积y； (2)求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【变式6-1】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆 120 米. (1)设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为__________米. (2)要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S. 【变式6-2】如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【变式6-3】如图，小明计划利用一面墙（墙长11米）其它三面利用21米篱笆围成一个矩形．一侧有一木门，宽1米，若设，面积为．    (1)求与之间的函数关系，直接写出自变量的取值范围； (2)若鸡舍面积为60平方米时，求的长？ (3)长多少时，鸡舍面积最大？ 【题型7 情境问题】 【例7】露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【变式7-1】“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．    (1)求抛物线的表达式； (2)小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； (3)身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 【变式7-2】综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9.5 9 8.5 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．） 【变式7-3】综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 2．某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．B． C． D． 3．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为________秒． 5．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 6．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 8．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 9．4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 10．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $