26.3二次函数与一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理抛物线与x轴交点的横坐标即方程根、交点个数与根的情况关系，延伸至二次函数与一元二次不等式的联系，构建从基础关系到应用的学习支架。 资料以7大题型为主线，每个题型配套例题与变式题，通过图象分析培养几何直观（数学眼光），借助表格估算方程近似解发展推理能力（数学思维），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

26.3二次函数与一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 5 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 5 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 6 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 7 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 8 【随堂检测】.................................................................................................................................................................9 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【变式1-1】抛物线与x轴的交点坐标是____． 【变式1-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为________． 【变式1-3】如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是___________． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式3-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式3-3】抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【变式4-2】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【变式5-1】二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【变式5-2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【变式5-3】如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【变式6-1】如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 【变式6-2】二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【变式6-3】已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【变式7-1】如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【变式7-2】如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【变式7-3】如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 随堂检测c 1．抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 3．如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 4．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 6．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 3 … y … … 下列各选项中，正确的是（    ） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最大值是 D．当时，y的值随x值的增大而增大 8．下列关于二次函数的图像的性质描述，其中正确的是（   ） A．图像开口向上 B．图像顶点为 C．图像可由函数的图像平移得到 D．图像与轴交点为 9.如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 10．二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的不等式的解集为________． 11．若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 12．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 5 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 7 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 9 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 11 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 13 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 15 【随堂检测】...............................................................................................................................................................17 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 设另一个交点的坐标为，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 【变式1-1】抛物线与x轴的交点坐标是____． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标问题． 令，解即可． 【详解】解：令，解，得， 即抛物线与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式1-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为________． 【答案】或3 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一个与轴的交点为， ∴方程的两个根为或3． 故答案为：或3 【变式1-3】如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是___________． 【答案】 【分析】先根据图像得到二次函数的对称轴为，并由此得到，再由函数与轴正半轴的交点横坐标为得，综合两个式子可得，则函数表达式可推得，将该式子进行因式分解后结合图像即可求解． 【详解】解：依图得：该二次函数的对称轴为，与轴正半轴的交点横坐标为， 即，， 由可得， 将代入可得， 则函数表达式， 该函数图像与轴负半轴交点的横坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图像与性质、用待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与的交点坐标、因式分解，解题关键是根据图像找到、、的关系． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 【变式2-1】若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象即可求得关于的一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知二次函数与轴的交点，， ∴关于的一元二次方程的解是，， 故选：． 【变式2-2】如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线， 二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为， 二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 故选：B． 【变式2-3】如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解为，； 故选C． 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式3-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式3-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式3-3】抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【变式4-1】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 【变式4-2】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式5-1】二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式5-3】如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-1】如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 【变式6-2】二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 【变式6-3】已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 【答案】或/或 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 【变式7-1】如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 【变式7-2】如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 【变式7-3】如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 随堂检测c 1．抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在x轴下方时对应的取值范围即可得答案． 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 3．如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 4．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 5．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 6．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 7.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 3 … y … … 下列各选项中，正确的是（    ） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最大值是 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，关键是通过对称轴和开口方向判断增减性． 通过给定的三组对应值，求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】设二次函数为，代入点、、 得，， 解得， ∴函数解析式为， ∵， ∴图象开口向上，故A错误； ∵判别式， ∴图象与x轴有两个交点，故B错误； ∵开口向上， ∴函数有最小值，无最大值，故C错误； ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确． 故选：D． 8．下列关于二次函数的图像的性质描述，其中正确的是（   ） A．图像开口向上 B．图像顶点为 C．图像可由函数的图像平移得到 D．图像与轴交点为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键；根据二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移逐一判断即可． 【详解】解：、， 图像开口向下，故本选项不符合题意； 、二次函数的图像的顶点为，故本选项不符合题意； 、二次函数的图像可由函数的图像向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，故本选项符合题意； 、当时，， 图像与轴交点为，故本选项不符合题意； 故选：． 9.如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 10．二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数图象与坐标轴的交点求不等式的解集，根据函数图象得出对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点为，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点为 ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 11．若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 12．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $