精品解析：重庆市开州区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

开州区2025~2026学年度（下）七年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 的立方根是（ ） A. B. C. 8 D. 4 3. 开州大桥是重庆市首座水幕景观大桥，设双向六车道，车辆限速，若车辆的速度为，下列不等式能正确表示“车辆限速”的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a，b相交，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 开州被誉为“中国春橙之都”，开州春橙销往全国各地，质检员需要从1000箱春橙（每箱数量相同，每个春橙被抽到的可能性相同）中抽取20个春橙检测甜度．下列抽样方式中，属于简单随机抽样的是（ ） A. 从离质检员最近的箱子中抽取20个春橙 B. 从所有箱子中，用抽签法随机抽取20箱，再在每箱中随机抽取1个春橙 C. 挑选每箱中最上面、看起来最甜的春橙 D. 从堆放在最底层的箱子中抽取春橙 6. 如图，在平面直角坐标系中，坐标为的点是（ ） A. A B. B C. C D. D 7. 某校为运动社团采购75个篮球和若干排球，购买总资金有16000元，已知购买排球花费7000元，以下价格的篮球中，不在选择范围内的篮球价格是（ ） A. 118元 B. 119元 C. 120元 D. 121元 8. “翻花绳”是一种利用绳子或橡皮筋在手指间翻转出各种花样、由两人或多人轮流进行的传统游戏，祺祺在观察翻花绳时发现，可以从某一时刻的图案中抽象出数学问题：如图，，，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降，比2005年下降．如果已知2005年我国的碳排放强度为万元，设2015年和2020年我国碳排放强度分别为万元和万元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 若第一个二元一次方程组为，第二个二元一次方程组为，第三个二元一次方程组为，后面的二元一次方程组按照此规律以此类推，下列结论中正确的个数为（ ） ①；②在，，，…，中，至少有2个非负数；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的平方根是____． 12. 二元一次方程组的解是__________． 13. 开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 14. 一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是_________． 15. 二十四节气是我国前人世代农耕劳作智慧的结晶，某个节气过后，白昼时长逐渐变短，但气温升高、日照充足，农作物进入快速生长期．上图是某地一年中白昼时长随节气变化的统计图，根据统计图的变化规律，这个节气是________；若相邻两个节气之间的时间间隔约为15天，从小寒到春分白昼时长平均变化速度________（填“等于”或“快于”或“慢于”）从秋分到冬至白昼时长平均变化速度． 16. 对于各位数字不为零且各不相同的任意三位数，将其百位数字移到十位，将其十位数字移到个位，将其个位数字移到百位，得到，则称的“右移数”为．例如852的“右移数”是285，则369的“右移数”=________；若对于满足上述条件的三位数，满足为整数，在满足条件的数中，任意取两个不同的数，用其中的大数减去小数，得到的差都可以表示为（为正整数，为非负整数）的形式，当符合要求的正整数取得最大值时，将得到的差表示为的形式为：________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算． （1） （2） 18. 解不等式（组）． （1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）求不等式组的解集． 解：解不等式①得_______________________， 解不等式②得__________________________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集是_____________________________． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，求满足条件的整数的和． 20. 开州区某初中学校有2000名学生，要想了解全校学生上下学的出行方式，现在从各个班级一共随机抽取了若干学生进行调查，然后通过分析被调查学生的数据来判断全校学生上下学的出行方式．如图1，是发放的调查问卷样式，利用调查问卷，收集到如图2的数据． 调查问卷 2026年6月 （单选）你上下学采用最多的出行方式是（） A．步行B．公交车C．小汽车D．摩托车 图1 A D D B C C A A B C B C D C D B B B A A B A A A C B D B C D D D C B B C D A B C C A A B B D C B A C 图2 （1）为了更清楚地了解数据所蕴含的规律，需要对数据进行整理，统计中经常用表格整理数据，请补全学生采用的出行方式的人数统计表； 学生采用的出行方式的人数统计表 出行方式 人数 百分比 步行（A） 公交车（B） 小汽车（C） 摩托车（D） （2）为了直观地表示“学生采用的出行方式的人数统计表”中的信息，可以制作扇形统计图来描述数据，A类别对应圆心角为________，B类别对应圆心角为________，C类别对应圆心角为________，D类别对应圆心角为________； （3）步行与公交车都属于低碳出行方式，请根据样本数据，估计该校初中学生上下学采用低碳出行方式的人数． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，有一个正方形． （1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标； （2）将正方形依次沿两个坐标轴方向平移，得到正方形，点A平移后的对应点为，请写出正方形的一种沿坐标轴的平移方式，以及点、、的坐标； （3）如图2，在正方形中，有一条折线，折线向右平移a个单位长度，得到第二条折线，求阴影部分的面积． 22. 开州大桥为单塔双索面斜拉桥，现将开州大桥部分景观抽象成如图所示的数学图形，请阅读下面的推理过程，完成证明． 已知：，，，． 求证：平分． 证明：， （①_____________）． ， ②________， ③_________． ， ∴④__________（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （⑤_____________）． 平分． 23. 2026年5月10日下午，新韵重庆·2026重庆城市篮球超级联赛（以下简称“渝BA”）在重庆市体育馆打响，“渝”汇聚了全市39支代表队，将历时4个月，进行110场对决．截至5月24日，已进行28场小组赛，每场比赛中各代表队得分数据如图所示． 72 62 62 84 88 94 75 76 79 81 103 96 66 83 101 108 92 62 83 72 91 67 79 86 82 72 74 83 72 81 99 74 75 73 76 69 89 75 84 75 50 84 60 80 96 101 81 92 78 86 68 63 68 55 69 72 频数分布表 分组 划记 频数 （1）请按组距为10，将数据等距分组，补充频数分布表； （2）请根据（1）问的频数分布表，画出频数直方图； （3）请根据频数直方图，说出2条关于“截止5月24日，“渝”每场比赛中各代表队得分”分布情况． 24. 我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4人）如下： 第一阶梯2.5元/立方米（每户每年水量）； 第二阶梯3.50元/立方米（每户每年水量）； 第三阶梯5元/立方米（每户每年水量）． （1）王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3人，王瀚家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第二阶梯，两个家庭年用水量共，年用水费共1405元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多少； （2）刘莎家庭的居民户内人口为4人，2025年全年水费不少于1000元，请列不等式求出刘莎家庭2025年用水量至少为多少． 25. 综合探究 （1）在平面直角坐标系中，有点、，点、的坐标分别为、，且、满足，求，两点的坐标，在图1中画出线段后，说出与的位置关系，并简要说明理由； （2）如图2，与满足第（1）问中的位置关系，线段与上分别有点、，线段与之间有一点，求证：； （3）如图3，与满足第（1）问中的位置关系，点、分别为线段与的中点，平面上有一动点，若，，请用含，的式子表示，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2025~2026学年度（下）七年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是. 2. 的立方根是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 的立方根是． 3. 开州大桥是重庆市首座水幕景观大桥，设双向六车道，车辆限速，若车辆的速度为，下列不等式能正确表示“车辆限速”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】限速即车辆行驶速度最高不超过限定速度，据此可列出正确不等式. 【详解】解：车辆限速，表示车辆行驶速度不能超过，车辆速度为 满足不等式. 4. 如图，直线a，b相交，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据对顶角相等，可得． 5. 开州被誉为“中国春橙之都”，开州春橙销往全国各地，质检员需要从1000箱春橙（每箱数量相同，每个春橙被抽到的可能性相同）中抽取20个春橙检测甜度．下列抽样方式中，属于简单随机抽样的是（ ） A. 从离质检员最近的箱子中抽取20个春橙 B. 从所有箱子中，用抽签法随机抽取20箱，再在每箱中随机抽取1个春橙 C. 挑选每箱中最上面、看起来最甜的春橙 D. 从堆放在最底层的箱子中抽取春橙 【答案】B 【解析】 【分析】解题思路是根据简单随机抽样要求总体中每个个体被抽到的可能性相等，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A仅抽取就近箱子内的春橙，选项C挑选特定的春橙，选项D仅抽取底层箱子内的春橙，三种抽样方式都不能保证每个春橙被抽到的可能性相等， 因此都不属于简单随机抽样， 选项B用抽签法随机选箱子，再在每箱随机抽1个春橙，保证了每个春橙被抽到的可能性相等，符合简单随机抽样的定义． 6. 如图，在平面直角坐标系中，坐标为的点是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据图形，可得坐标为的点是点D． 7. 某校为运动社团采购75个篮球和若干排球，购买总资金有16000元，已知购买排球花费7000元，以下价格的篮球中，不在选择范围内的篮球价格是（ ） A. 118元 B. 119元 C. 120元 D. 121元 【答案】D 【解析】 【分析】先计算可用于购买篮球的总资金，再求出单个篮球的最高允许价格，对比选项即可得到答案． 【详解】解：∵采购总资金为16000元，购买排球花费7000元， ∴可用于购买篮球的总资金为元， 设篮球的单价为元， 则， 解得， ∵选项中只有121元高于120元， 因此121元的篮球不在选择范围内． 8. “翻花绳”是一种利用绳子或橡皮筋在手指间翻转出各种花样、由两人或多人轮流进行的传统游戏，祺祺在观察翻花绳时发现，可以从某一时刻的图案中抽象出数学问题：如图，，，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由两组对边平行判定四边形是平行四边形，利用平行线内错角相等得到，再根据，结合两直线平行同位角相等，求出的度数． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ，根据两直线平行，内错角相等： ， 又 ． 9. 2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降，比2005年下降．如果已知2005年我国的碳排放强度为万元，设2015年和2020年我国碳排放强度分别为万元和万元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 2020年碳排放强度比2015年下降，2015年强度为，2020年强度为， ∴ ， 又∵ 2020年碳排放强度比2005年下降，2005年强度为， ∴ ， ∴． 10. 若第一个二元一次方程组为，第二个二元一次方程组为，第三个二元一次方程组为，后面的二元一次方程组按照此规律以此类推，下列结论中正确的个数为（ ） ①；②在，，，…，中，至少有2个非负数；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先推导第个方程组中和的一般表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数． 【详解】首先根据规律写出第个方程组的形式：， 用第二个方程减第一个方程得：，， 将代入第一个方程整理得：， 逐一验证结论： ① ，①正确； ② 仅时是非负数，时，，越大越小，因此只有1个非负数，②错误； ③ ，与结论不符，③错误； ④ ，④错误， 综上，正确结论只有个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ①②得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以二元一次方程组的解为． 13. 开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，． 14. 一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是_________． 【答案】相等或互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、补角的定义，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是相等或互补，注意不要漏掉情况．画出图形，根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故； 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故． 故答案为：相等或互补． 15. 二十四节气是我国前人世代农耕劳作智慧的结晶，某个节气过后，白昼时长逐渐变短，但气温升高、日照充足，农作物进入快速生长期．上图是某地一年中白昼时长随节气变化的统计图，根据统计图的变化规律，这个节气是________；若相邻两个节气之间的时间间隔约为15天，从小寒到春分白昼时长平均变化速度________（填“等于”或“快于”或“慢于”）从秋分到冬至白昼时长平均变化速度． 【答案】 ①. 夏至 ②. 快于 【解析】 【分析】第一空：先抓住题干关键条件“节气过后白昼时长逐渐变短，但气温升高、农作物快速生长”，结合图像白昼时长峰值为夏至，夏至后白昼开始变短，再结合二十四节气物候知识判断对应节气； 第二空：平均变化速度=白昼时长变化总量÷总天数，分别计算两段时长变化量与总间隔节气数，对比单位时间内时长变化幅度，幅度越小速度越慢． 【详解】解：①由统计图可知：夏至是全年白昼最长的节点，夏至过后白昼时长开始逐步缩短，因此该节气为夏至． ②已知相邻节气间隔15天，变化速度=白昼时长变化量÷总天数． 节气间隔数：小寒至春分共5个间隔，总天数：天； 节气间隔数：秋分到冬至共6个间隔，总天数：天， 所以小寒至春分总天数小于秋分到冬至总天数， 又小寒至春分白昼时长变化量等于秋分到冬至白昼时长变化量， 因此小寒到春分白昼时长平均变化速度快于秋分到冬至． 16. 对于各位数字不为零且各不相同的任意三位数，将其百位数字移到十位，将其十位数字移到个位，将其个位数字移到百位，得到，则称的“右移数”为．例如852的“右移数”是285，则369的“右移数”=________；若对于满足上述条件的三位数，满足为整数，在满足条件的数中，任意取两个不同的数，用其中的大数减去小数，得到的差都可以表示为（为正整数，为非负整数）的形式，当符合要求的正整数取得最大值时，将得到的差表示为的形式为：________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空根据“右移数”的定义直接求解，第二空先设三位数的百位、十位、个位数字分别为，写出和的代数式，根据为整数推导得到数字满足的整除条件，再找出满足条件的最大和最小，计算得到最大差，最后将差表示为的形式，得到取最大值时的表达式． 【详解】第一空：根据“右移数”的定义，将369的个位数字移到百位，百位数字移到十位，十位数字移到个位，得到右移数为； 第二空：设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中是到的整数，且互不相等，则 ， ，计算得：， 因为为整数，所以能被整除， 又为整数， 则 能被8整除， 又，且与互质， 所以能被8整除，即，为整数，且， 找出满足条件的最小：取最小不重复的，，得，满足条件，故最小； 找出满足条件的最大：取最大不重复的时，得，得，满足条件，故最大； 计算最大差：， 因为，所以符合要求的最大正整数，，因此差表示为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式（组）． （1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）求不等式组的解集． 解：解不等式①得_______________________， 解不等式②得__________________________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集是_____________________________． 【答案】（1），数轴表示解集如下图所示： （2）；，，无解 【解析】 【分析】（1）根据不等式的基本性质解不等式即可； （2）利用不等式的基本性质分别解不等式即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为“”，得； 在数轴上表示见答案 【小问2详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集是无解． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，求满足条件的整数的和． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到参数的取值范围；解关于的一元一次方程，用表示出，结合为非负整数进一步缩小的范围；找出范围内所有整数，最后求和． 【详解】解：解不等式： ， ， ， 解不等式： ， ， 已知不等式组解集为，根据“同大取大”，可得： ， 解得：； 解方程： ， ， ， 为非负整数，满足两个条件： ①，即， ， ； ②能被整除，即是的倍数， 结合且，得， 设（为自然数，），则， 代入： ， 可取自然数：． 分别计算对应整数： ， ， ， ， 满足条件的整数：， ． 20. 开州区某初中学校有2000名学生，要想了解全校学生上下学的出行方式，现在从各个班级一共随机抽取了若干学生进行调查，然后通过分析被调查学生的数据来判断全校学生上下学的出行方式．如图1，是发放的调查问卷样式，利用调查问卷，收集到如图2的数据． 调查问卷 2026年6月 （单选）你上下学采用最多的出行方式是（） A．步行B．公交车C．小汽车D．摩托车 图1 A D D B C C A A B C B C D C D B B B A A B A A A C B D B C D D D C B B C D A B C C A A B B D C B A C 图2 （1）为了更清楚地了解数据所蕴含的规律，需要对数据进行整理，统计中经常用表格整理数据，请补全学生采用的出行方式的人数统计表； 学生采用的出行方式的人数统计表 出行方式 人数 百分比 步行（A） 公交车（B） 小汽车（C） 摩托车（D） （2）为了直观地表示“学生采用的出行方式的人数统计表”中的信息，可以制作扇形统计图来描述数据，A类别对应圆心角为________，B类别对应圆心角为________，C类别对应圆心角为________，D类别对应圆心角为________； （3）步行与公交车都属于低碳出行方式，请根据样本数据，估计该校初中学生上下学采用低碳出行方式的人数． 【答案】（1） 出行方式 人数 百分比 步行（A） 12 公交车（B） 15 小汽车（C） 13 摩托车（D） 10 （2），，， （3）人 【解析】 【分析】（1）、先统计图2样本中A、B、C、D的总人数，分别数出四类出行方式数量，计算每类占样本总数的百分比，完成统计表； （2）、扇形圆心角公式：圆心角度数该类别百分比，分别代入四类百分比计算； （3）、低碳出行是步行+公交车，先算出样本中低碳出行总占比，再用全校总人数2000乘该占比得到估计人数． 【小问1详解】 解：逐行统计图2原始数据： 步行A：12人 公交车B：15人 小汽车C：13人 摩托车D：10人 样本总人数：人 步行A：， 公交车B：， 小汽车C：， 摩托车D：， 【小问2详解】 解：A（步行）：， B（公交车）：， C（小汽车）：， D（摩托车）：． 【小问3详解】 解：低碳出行包含步行、公交车，总占比：， 全校共2000人，低碳出行预估人数： （人）． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，有一个正方形． （1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标； （2）将正方形依次沿两个坐标轴方向平移，得到正方形，点A平移后的对应点为，请写出正方形的一种沿坐标轴的平移方式，以及点、、的坐标； （3）如图2，在正方形中，有一条折线，折线向右平移a个单位长度，得到第二条折线，求阴影部分的面积． 【答案】（1），，， （2）,,； （3） 【解析】 【分析】（1）观察图中的正方形各顶点所在网格线在平面直角坐标系对应的数值可得答案； （2）根据平移前后点A的坐标，结合平移的规律“左减右加，上加下减”得到平移方式，进而得到其它各点平移后的坐标； （3）根据平移性质得到空白部分的高度等于正方形的边长6，水平上的宽度都为a，空白部分的面积等同于一个底为a，高为6的长方形的面积，故根据长方形和正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为； 【小问2详解】 解：∵点平移后的对应点为，即， ∴平移方式为：将正方形先向左平移7个单位长度，再向下平移8个单位长度得到正方形， ∴平移后的点、、的坐标分别为,,； 【小问3详解】 解：由图可知，正方形的边长为，正方形的面积为， 根据平移性质，空白部分的面积等于底为a，高为6的长方形的面积， 故阴影部分的面积为． 22. 开州大桥为单塔双索面斜拉桥，现将开州大桥部分景观抽象成如图所示的数学图形，请阅读下面的推理过程，完成证明． 已知：，，，． 求证：平分． 证明：， （①_____________）． ， ②________， ③_________． ， ∴④__________（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （⑤_____________）． 平分． 【答案】①两直线平行，同位角相等；②；③；④；⑤同角的余角相等 【解析】 【分析】先由平行线的性质得出，再根据垂直与等量代换得到，再次运用平行线的性质得到，进而根据同角的余角相等得到，根据角平分线的定义得证结论． 【详解】证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， ， ． ， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （同角的余角相等）． 平分． 23. 2026年5月10日下午，新韵重庆·2026重庆城市篮球超级联赛（以下简称“渝BA”）在重庆市体育馆打响，“渝”汇聚了全市39支代表队，将历时4个月，进行110场对决．截至5月24日，已进行28场小组赛，每场比赛中各代表队得分数据如图所示． 72 62 62 84 88 94 75 76 79 81 103 96 66 83 101 108 92 62 83 72 91 67 79 86 82 72 74 83 72 81 99 74 75 73 76 69 89 75 84 75 50 84 60 80 96 101 81 92 78 86 68 63 68 55 69 72 频数分布表 分组 划记 频数 （1）请按组距为10，将数据等距分组，补充频数分布表； （2）请根据（1）问的频数分布表，画出频数直方图； （3）请根据频数直方图，说出2条关于“截止5月24日，“渝”每场比赛中各代表队得分”分布情况． 【答案】（1） 分组 划记 频数 丅 2 正正一 11 正正正丅 17 正正正 15 正丅 7 4 （2） （3）截至5月24日，“渝”每场比赛中各代表队得分集中于60分至90分，约占．得分少于60分的只有2队，说明弱队较少． 【解析】 【分析】（1）根据分组将数据整理，即可补全频数分布表； （2）根据频数分布表画出频数直方图； （3）分析得分情况即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4人）如下： 第一阶梯2.5元/立方米（每户每年水量）； 第二阶梯3.50元/立方米（每户每年水量）； 第三阶梯5元/立方米（每户每年水量）． （1）王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3人，王瀚家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第二阶梯，两个家庭年用水量共，年用水费共1405元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多少； （2）刘莎家庭的居民户内人口为4人，2025年全年水费不少于1000元，请列不等式求出刘莎家庭2025年用水量至少为多少． 【答案】（1）王瀚家庭年用水量为，李诺家庭年用水量为. （2）刘莎家庭2025年用水量至少为. 【解析】 【分析】（1）设王瀚家用水量为（第一阶梯：），则李诺家用水量为 （第二阶梯：）．水费规则：王瀚家水费：，李诺家水费：，两家水费相加等于总水费1405元，列一元一次方程求解； （2）用水水费：；用水水费：， 对比1000元，判断用水量超过，设用水量为，列水费不等式求解最小值． 【小问1详解】 解：设王瀚家庭年用水量为，则李诺家庭年用水量为． 由题意：，． 李诺家处于第二阶梯，水费计算： ， 两家总水费方程： ， 解得， 李诺家用水量：， 所以王瀚家庭年用水量，李诺家庭年用水量． 【小问2详解】 解：水费：元， 水费：元， ， 说明用水量， 超出部分按5元计费． 全年水费不等式： ， 解得 所以刘莎家庭2025年用水量至少为． 25. 综合探究 （1）在平面直角坐标系中，有点、，点、的坐标分别为、，且、满足，求，两点的坐标，在图1中画出线段后，说出与的位置关系，并简要说明理由； （2）如图2，与满足第（1）问中的位置关系，线段与上分别有点、，线段与之间有一点，求证：； （3）如图3，与满足第（1）问中的位置关系，点、分别为线段与的中点，平面上有一动点，若，，请用含，的式子表示，并说明理由． 【答案】（1），，线段如图所示： ，理由如下： ∵点A和点B的纵坐标相等，点C和点D的纵坐标相等， ∴轴，轴， ∴； （2）证明：如图2，过G作，则， 由（1）知，则， ∴， ∵， ∴； （3）当点G在线段与之间且在线段的左侧或线段上时，；当点G在线段与之间且在线段的右侧时，；当点G不在线段与之间时，． 理由：连接，由（1）知， ①当点G在线段与之间且在的左侧时，如图： 由（2）知； ②当点G在线段与之间且在的右侧时，如图，过作，则，， ∴， ∵， ∴， ③当G在线段上时，， ∵， ∴，即，满足； ④当点G不在线段与之间时，如下图所示：过G作，则， ∴，， 对于前两个图，，且， 特殊情况：当点G在射线上时， ，，满足； 当点G在射线上时，，，满足； 对于后两个图，，且， 特殊情况：当点G在射线上时， ，， 满足； 当点G在射线上时，，，满足； 当G在线段的延长线上或线段的延长线上时，，即，，满足或， 即当点G不在线段与之间时，； 综上，当点G在线段与之间且在线段的左侧或线段上时，；当点G在线段与之间且在线段的右侧时，；当点G不在线段与之间时，． 【解析】 【分析】（1）先解方程组得到x、y，进而得到点C、点D的坐标，画出线段，进而可得与的位置关系，利用坐标与图形性质可得； （2）过G作，由（1）知，则，利用平行线的性质证明即可； （3）根据点G的位置，分情况讨论，结合平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：解方程组 ，得，解得 将代入，得，解得 ∴该方程组的解为， ∴，， 图略，与的位置关系为，理由略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $