暑假作业06 二元一次方程（组）（巩固培优，18大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以定义-解法-拓展为逻辑主线，系统整合消元方法与多元转化策略，通过分层题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|6个核心概念|代入/加减消元步骤、三元转化二元策略|从二元定义到解的概念，通过消元法构建解法体系，延伸至三元方程（组）| |题型|18类分层训练|参数问题定义应用、错解复原代入法、整体换元技巧|覆盖判断、求解、应用全场景，典例精选各地期中真题，突出高频考点与转化思想|

暑假作业06 二元一次方程（组）完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 【知识点1 二元一次方程的定义】 1.定义：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的 方程，叫做二元一次方程。形如的方程，其中、分别叫做未知数x、y的系数。 注：判断一个方程是否为二元一次方程，应根据以下三个标准判断： ①是否是整式方程(分母不含未知数); ②是否含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数是否都为1。 若三个标准都符合，则是二元一次方程；若有任意一个标准不符合，则不是二元一次方程。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有 ；若附加条件限制，解的个数可能为有限个。 【知识点2 二元一次方程组的定义】 1.定义：含有 未知数，且含有未知数的项的次数都是 的方程组，叫做二元一次方程组。 注：判断一个方程组是否为二元一次方程组，应根据以下三个标准判断： ①方程组中一共含有两个未知数； ②每个方程都是一次整式方程； ③方程组由两个或两个以上的一次方程组成。 若三个标准都符合，则是二元一次方程组；若有任意一个标准不符合，则不是二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解。方程组的解需要同时满足方程组中的每一个方程，不满足任意一个方程的未知数的值，都不是方程组的解。 【知识点3 解二元一次方程组 —— 代入消元法】 1.定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 ，简称代入法。 注：用代入消元法解方程组，应根据以下步骤操作： ①变：选系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②代：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值； 写解：写出方程组的解。 【知识点4 解二元一次方程组 —— 加减消元法】 1.定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 注：用加减消元法解方程组，应根据以下步骤操作： ①化：将方程组中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数； 加减：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值； 写解：写出方程组的解。 【知识点5 三元一次方程组的定义】 1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。形如(a,b,c不全为0)的方程，其中a,b,c分别叫做未知数x,y,z的系数。 注：判断一个方程是否为三元一次方程，应根据以下三个标准判断： ①是否是整式方程(分母不含未知数); ②是否含有三个未知数； ③含有未知数的项的次数是否都为1。 若三个标准都符合，则是三元一次方程；若只符合其中部分标准，则不是三元一次方程。 2.三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。注：判断一个方程组是否为三元一次方程组，应根据以下三个标准判断： ①方程组中一共含有三个未知数； ②每个方程都是一次整式方程； ③方程组由三个或三个以上的一次方程组成。 若三个标准都符合，则是三元一次方程组；若有任意一个标准不符合，则不是三元一次方程组。 【知识点6 解三元一次方程组的基本思路】 1.基本思路：消元，通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，最终求出方程组的解。 注：消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，选择哪种方法，需根据方程组中系数的特点决定。 【题型1 判断是否为二元一次方程】 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）下列式子中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若是关于，的二元一次方程，则________． 4．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是_____________． 【题型3 已知二元一次方程组的解求代数式的值】 1．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）若是方程的解，则________． 2．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是__________． 4．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值______． 【题型4 用一个字母表示出另外一个字母】 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）将方程写成用含的式子表示的形式：________． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）由，得到用x表示y的式子为______． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则_________． 4．（25-26七年级下·北京·阶段检测）把变形为用表示的形式为_______． 【题型5 判断是否为二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 判断是否为二元一次方程组的解】 1．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型7 解二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·福建南平·期中）解方程组： (1) (2) 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组： (1) (2) 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1) (2) 4．（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【题型8 判断解二元一次方程组的过程是否正确】 1．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③，…………………………第一步 解得．…………………………………………第二步 把代入①，得：， 解得．…………………………………………第三步 原方程组的解为………………………………第四步 思考并解决： (1)在上述过程中，第_____步是消元，消元的依据是_____； (2)小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解： ，得 ……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 3．（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 4．（25-26九年级下·广东湛江·期中）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【题型9 已知二元一次方程组的解求代数式的值】 1．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）若是关于的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为（） A． B． C．5 D．3 4．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【题型10 二元一次方程组的特殊解法】 1．（25-26七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 【题型11 二元一次方程组中错解复原问题】 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【题型12 构造二元一次方程组求解】 1．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【题型13 已知二元一次方程组解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 2．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）若方程组的解与方程的一组解相同，则为______． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知方程组的解满足，则k的值为_____． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【题型14 方程组中同解问题】 1．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【题型15 二元一次方程组中新定义类问题】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 2．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标是，则称点N是点M的“k级变化点”（其中k为常数，且）．例如，点的“2级变化点”为点，即点． (1)若点M的坐标为，则它的“3级变化点”的坐标为 ； (2)若点的“4级变化点”的坐标为，求点M的坐标． (3)若点N是点的“级变化点”，P是y轴上一个动点，当三角形的面积是三角形面积的4倍时，求点P到直线的距离． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． (1)点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； (2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； (3)点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 5．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【题型16 二元一次方程组中整体带入类问题】 1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 2．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 3．（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【题型17 解三元一次方程组】 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程组： (1) (2) 2．（25-26六年级下·上海·阶段检测）解方程： (1) (2) (3) 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【题型18 利用三元一次方程组求解】 1．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ___________． 2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 3．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则______． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则_________． 5．（18-19七年级下·湖北武汉·期末）已知，、、为非负数，且，则的取值范围是_____． 6．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是_______． 1．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 2．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知有理数满足，则_____． 5．【问题背景】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“（为整数）系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即此时点的坐标为． 【初步理解】（1）已知点的“2系伴随点”为，则点的坐标为____________． 【深入应用】（2）已知点的“系伴随点”为，则点的坐标为____________． 6．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 1．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业06 二元一次方程（组）完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 【知识点1 二元一次方程的定义】 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。形如的方程，其中、分别叫做未知数x、y的系数。 注：判断一个方程是否为二元一次方程，应根据以下三个标准判断： ①是否是整式方程(分母不含未知数); ②是否含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数是否都为1。 若三个标准都符合，则是二元一次方程；若有任意一个标准不符合，则不是二元一次方程。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解；若附加条件限制，解的个数可能为有限个。 【知识点2 二元一次方程组的定义】 1.定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组。 注：判断一个方程组是否为二元一次方程组，应根据以下三个标准判断： ①方程组中一共含有两个未知数； ②每个方程都是一次整式方程； ③方程组由两个或两个以上的一次方程组成。 若三个标准都符合，则是二元一次方程组；若有任意一个标准不符合，则不是二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。方程组的解需要同时满足方程组中的每一个方程，不满足任意一个方程的未知数的值，都不是方程组的解。 【知识点3 解二元一次方程组 —— 代入消元法】 1.定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：用代入消元法解方程组，应根据以下步骤操作： ①变：选系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②代：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值； 写解：写出方程组的解。 【知识点4 解二元一次方程组 —— 加减消元法】 1.定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 注：用加减消元法解方程组，应根据以下步骤操作： ①化：将方程组中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数； 加减：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值； 写解：写出方程组的解。 【知识点5 三元一次方程组的定义】 1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。形如(a,b,c不全为0)的方程，其中a,b,c分别叫做未知数x,y,z的系数。 注：判断一个方程是否为三元一次方程，应根据以下三个标准判断： ①是否是整式方程(分母不含未知数); ②是否含有三个未知数； ③含有未知数的项的次数是否都为1。 若三个标准都符合，则是三元一次方程；若只符合其中部分标准，则不是三元一次方程。 2.三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。注：判断一个方程组是否为三元一次方程组，应根据以下三个标准判断： ①方程组中一共含有三个未知数； ②每个方程都是一次整式方程； ③方程组由三个或三个以上的一次方程组成。 若三个标准都符合，则是三元一次方程组；若有任意一个标准不符合，则不是三元一次方程组。 【知识点6 解三元一次方程组的基本思路】 1.基本思路：消元，通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，最终求出方程组的解。 注：消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，选择哪种方法，需根据方程组中系数的特点决定。 【题型1 判断是否为二元一次方程】 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】即含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．中含有3个未知数，不是二元一次方程． B．是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，满足所有条件，是二元一次方程． C．中含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程． D．中项的次数为2，不是二元一次方程． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，项的次数为2，不是二元一次方程； B．，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； C．，不是整式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程； D．，未知数项的次数为2，不是二元一次方程． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）下列式子中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程， 选项A中的次数为2，不符合定义，A错误； 选项B中项的次数为，不符合定义，B错误； 选项C是不等式，不是方程，不符合定义，C错误； 选项D 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义，D正确． 4．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； B、原式变形为，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、是二元一次方程，故选项符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】/ 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且 由解得或， 即或 又∵， ∴，故， 由解得， ∴． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 3 【分析】根据二元一次方程的定义可得，，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的不等式和含绝对值的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 由， 解得； 由， 解得或； 综上所述，． 4．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是_____________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的未知数次数为1，列出关于、的方程求解． 根据二元一次方程的定义，未知数、的次数都为1，因此分别列出方程求解、的值，再代入计算． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，未知数的次数均为， 可得， 解得． 则． 【题型3 已知二元一次方程组的解求代数式的值】 1．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）若是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先由二元一次方程解的定义得到，再将其整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 是方程的解， ，即， 则． 2．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是__________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到的值，再对所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：将代入方程， 可得：, ． 4．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值______． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，将给定的方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴代入得，， 整理得， 解得． 【题型4 用一个字母表示出另外一个字母】 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）将方程写成用含的式子表示的形式：________． 【答案】 【详解】解：由， 移项得， 两边同除以3，得． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）由，得到用x表示y的式子为______． 【答案】 【分析】利用等式的性质，通过移项，系数化为1求解y即可． 【详解】解：， 移项，得 系数化为，得 ． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】 【分析】把y看成常量，把x看成未知数，求解关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·阶段检测）把变形为用表示的形式为_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，解题思路为将含的项留在等式左侧，把其余项移到等式右侧，再将的系数化为，即可得到结果． 【详解】解： 移项得 系数化为得． 【题型5 判断是否为二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足的条件：含有两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为，根据条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程组； B、方程组含有，，三个未知数，不是二元一次方程组； C、不是整式方程，不是二元一次方程组； D、方程组含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为，符合二元一次方程组的定义． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，且每个方程中未知数的项的次数都是1，均为整式方程，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，中的次数为2，不符合二元一次方程组的要求，∴A不符合题意； 选项B中，方程组中共有三个未知数，不符合二元的要求，∴B不符合题意； 选项C中，中项的次数为2，不符合一次的要求，∴C不符合题意； 选项D中，方程组含有两个未知数，且所有未知数的项的次数均为1，都是整式方程，符合二元一次方程组的定义，∴D符合题意. 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 4．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 【题型6 判断是否为二元一次方程组的解】 1．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 【详解】代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别把代入二元一次方程组，能够使方程组中各个方程左右两边都相等，即为答案． 【详解】解：将代入各选项验证： 代入A选项第二个方程，左边，不满足方程组，∴ A错误； 代入B选项第一个方程，左边，不满足方程组，∴ B错误； 代入C选项，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都满足，∴ C正确； 代入D选项第一个方程，左边，不满足方程组，∴ D错误． 4．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【题型7 解二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·福建南平·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解：把①代入②，得， 解得，， 把代入①，得， 方程组的解为； （2）解： 解：①②，得， 解得，， 把代入①，得， 解得，， 方程组的解为． 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察方程组未知数的系数，和成倍数关系，采用加减消元法即可消去，先求出，再回代求； （2）先把两个方程去括号、去分母整理成标准形式，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， ①得：③， ③+②，消去： ， ， ， 把代入①式： ， ， ， ， 方程组的解为． （2）解：整理： ， ①， 整理，两边同乘15消分母： ， ， ②， 联立化简后的方程组： ， ①+②消去： ， ， ， 把代入①式： ， ， ， 方程组的解为． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； （2） 得 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为． 4．（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：将①代入②可得， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴方程组的解为． 【题型8 判断解二元一次方程组的过程是否正确】 1．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③，…………………………第一步 解得．…………………………………………第二步 把代入①，得：， 解得．…………………………………………第三步 原方程组的解为………………………………第四步 思考并解决： (1)在上述过程中，第_____步是消元，消元的依据是_____； (2)小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立． (2)解：， 由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：第一步是消元，消元的依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立； （2）略． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解： ，得 ……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)①D ②D ③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）； (2)见解析 【分析】（1）①根据题意可得阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化； ③根据题意可得第一步错误；理由为①时等号右边的没有乘． （2）将第一步改正，再按照加减消元法的步骤求解即可． 【详解】（1）①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法， 故选：D； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化， 故选：D； ③根据题意可得第一步错误； 理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可） （2）解：①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 3．（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)A (2)三 (3)解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略 4．（25-26九年级下·广东湛江·期中）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． 【详解】（1）解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． （2）略 【题型9 已知二元一次方程组的解求代数式的值】 1．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）若是关于的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为（） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，利用方程组的解满足方程组中所有方程，将已知解代入方程组求出和的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是二元一次方程组的一组解， ∴将解代入方程组得：，， 解得， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 【题型10 二元一次方程组的特殊解法】 1．（25-26七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 2．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体思想，将待求方程组整理为与原方程组结构一致的形式，对应得到新方程组即可求解． 【详解】解：整理待求方程组的第二个方程：， 移项得， 提取公因式得， 待求方程组可变形为， 方程组的解为， ，解得． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元思想，将和看作整体，先找出两个原二元一次方程的公共解，得到关于的新方程组，再用消元法求解． 【详解】解：可化为， 由表格可知，，同时满足两个原方程， 因此可得，整理得 得：，解得， 将代入得 ，解得， 因此方程组的解为． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的形式列式求解即可． 【详解】解：方程组的解是， ∴， 解得，， 故选：D ． 5．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察两个二元一次方程组可得，解方程组即可得解． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，利用整体代换思想，将所求方程组变形，与已知方程组结构对应，即可求解． 【详解】解：将所求方程组两边同乘，得：， 已知方程组的解为， 对应可得： ， 解得： ． 【题型11 二元一次方程组中错解复原问题】 1．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 【题型12 构造二元一次方程组求解】 1．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 【答案】2 【分析】根据新定义建立二元一次方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 解得 ． ∴． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，需理解规定的意义和运算顺序，解决本题根据新定义的意义，求出是关键； 根据已知规定及两式，确定出的值，再利用新规定化简原式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，． ，解得： ． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型13 已知二元一次方程组解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】本题可通过将二元一次方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件，列方程求出的值，最后计算的算术平方根． 【详解】解： 得 ， ∴ ， ∵ 与的和为4， ∴ ， 解得 ， 的算术平方根为． 2．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）若方程组的解与方程的一组解相同，则为______． 【答案】 【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，因此先联立与求出公共解，再将公共解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：原方程组的解与的解相同， 联立， 解得， 将，代入， 得， 解得． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知方程组的解满足，则k的值为_____． 【答案】2 【详解】解：， 得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴k的值为2． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 【答案】 【分析】将原方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知建立关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ， ， 解得：． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到和关于的表达式，根据，都是正整数，结合为整数，即可求出的值． 【详解】解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ，都是正整数，是整数， 是的正约数，即， 解得：， 当时，，符合是正整数． 【题型14 方程组中同解问题】 1．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，再联立含有、的两个方程，把、的值代入，两方程相加即可求得的值． 【详解】解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 【题型15 二元一次方程组中新定义类问题】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系． （2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值． （3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 2．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 【答案】(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标是，则称点N是点M的“k级变化点”（其中k为常数，且）．例如，点的“2级变化点”为点，即点． (1)若点M的坐标为，则它的“3级变化点”的坐标为 ； (2)若点的“4级变化点”的坐标为，求点M的坐标． (3)若点N是点的“级变化点”，P是y轴上一个动点，当三角形的面积是三角形面积的4倍时，求点P到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，点M的坐标为，它的“3级变化点”的坐标为即； （2）根据定义，转化为方程组问题解答即可； （3）先确定点的坐标，再根据三角形的面积关系，解答即可． 【详解】（1）解：根据定义，点M的坐标为，它的“3级变化点”的坐标为即． （2）解：根据题意点 “4级变化点”的坐标为， ∴， 解得， 故点的坐标为． （3）解：点N是点的“级变化点”， 故，即，则轴，设与y轴的交点为D， 则，， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的4倍， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴， 解得或， 点或， ∴点到直线的距离或， 故点到直线的距离为1或7． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． (1)点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； (2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； (3)点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得，再由，可得，即可解答； （3）设点的坐标为，根据新定义可得点的坐标为，从而得到，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：点的“1系友好点”的坐标是，即； 设这个点的坐标是， ∵该点的“2系友好点”的坐标是， ∴， 解得：， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵点是点的“系友好点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解： 设点的坐标为， ∵点P的“k系友好点”为点， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在y轴正半轴上， ∴， 当时，， 恒为一个定值， ∴，不成立； 当时，， 恒为一个定值， ∴， 解得：（舍去）或； 综上所述，k的值为． 5．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据方程组解的定义求出m，再求出y，即可求出n，再求出，即可得解； （3）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据a，b，c的关系即可求出y，再把方程组的解代入方程，即可得解． 【详解】（1）解：的“对称方程”， 它们组成的方程组为， 解得； （2）解：关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， ； 将代入①得，， 解得， ． ， 的平方根为． （3）解： 是关于x，y的二元一次方程， ， ， ， 关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ， ， ， ∴方程组的解为， 将代入，得，即，， ． 【题型16 二元一次方程组中整体带入类问题】 1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，进一步可得结论； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可. 【详解】（1）解：∵关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得：. （2）解：设，， ∴原方程组可化为，解得：， ∴，解得：； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ∴，解得：． 2．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 3．（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 【答案】(1)③ (2) (3)m的值为19或 【分析】（1）将或或分别代入中求解，即可判断； （2）结合解与a的取值无关，可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ①不是方程的解； 当时，， 解得：， ②不是方程的解； 当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程与a的取值无关， ∴， ∴，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， ①+②得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， ∵方程组有解， ∴，即， ∴， ∵k、x、y均为正整数， ∴可取1，2，5，10，即k可取3，4，7，12， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，m的值为19或． 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 【答案】 【分析】模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理可得原方程组的解为． 【详解】解：设， 则原方程组可化为关于的方程组 由①＋②×2得，解得， 把代入②，得， ，整理得， 两式子相加得，， 把代入，解得， 原方程组的解为 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 【题型17 解三元一次方程组】 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解得即可； （2）利用加减消元法解得即可． 【详解】（1）解： 由得：， 即④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解： 由得：④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 2．（25-26六年级下·上海·阶段检测）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 把②代入①得， 解得， 由②得， 即方程组的解为； （2）解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 即方程组的解为； （3）解：， 得， 整理得， 得， 把④代入⑤得， 整理得， 解得， 把代入④得， 把代入①得， 整理得， 解得， 即方程组的解为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先用加减消元法消，得到方程，解得，再代入解得； （2）先用表示，再消，联立求解； （3）先消z，再联立消元求解； （4）先消去，再联立解． 【详解】（1）解：， ①+②：④， 由①得：，代入③： ， ⑤， ④×3+⑤：， ， ， 把代入④：， ， ， ． （2）解：， 由①：④， ②③：， ⑤， 将④代入⑤：， ， ， ， 代入②：， ， ． （3）解：， ①+③：④， ③×3+②：， ⑤， 由⑤：代入④， ， ， ， ， ， 代入①：， ， ． （4）解：， ②+③：④， ④−①：， ， 代入①：， ， ， 代入②：， ， ， ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用加减消元法消去x，再运用加减消元法求得、，然后代入①求x即可； （2）先将两个比例式化成二元一次方程，再与第三个方程联立组成三元一次方程组，最后利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：可化为， 得：④， 得：⑤， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， 把、代入①可得：，解得：， 所以，该方程组的解为：． （2）解：方程组可化为， 得：④， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把，代入③可得：，解得：． 所以方程组的解为． 【题型18 利用三元一次方程组求解】 1．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则______． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则_________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 5．（18-19七年级下·湖北武汉·期末）已知，、、为非负数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先用表示出方程的解，再根据解是非负数，得到关于的不等式组，再求出代数式的最大值和最小值即可． 【详解】解：， 解关于，的方程可得：， 、、为非负数， ， 解得， ， 故当时，有最大值65；当时，有最小值55． ． 6．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是_______． 【答案】130 【分析】此题考查了代数式的最值．将y、z的转化为关于x的表达式，求出u关于x的表达式是解题的关键． 将，联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最小值代入解析式即可得到u的最大值． 【详解】将已知的两个等式联立成方程组， ∴①+②得，． ． 将代入①， 可解得． ∵y，z均为非负实数， ∴． 解得． 设． 当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大． 故当时，u有最大值130． 故答案为：130． 1．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 【答案】A 【分析】本题仿照题干给出的隔板法思路求解，将7个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数 仿照题干给出的示例，将7个1排成一排， 即 ∴7个1之间共有个空隙， 要将7个1分成3组，分别对应，需要从6个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从6个空隙选第一个有6种选法，选第二个有5种选法，两个隔板顺序不影响结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为15， 2．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，可得，根据、是正整数，则是的倍数，可得或，据此即可求解． 【详解】解：方程可化为， ∵、均为正整数， 当时，；当时，， 方程的正整数解为，，有2个． 3．已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】（1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 4．已知有理数满足，则_____． 【答案】16 【分析】先根据第一个方程得到与的关系，再代入第二个方程计算得到结果. 【详解】解：设，， 则， 将式子代入第一个方程得： 化简得：，即， 此时， 将，代入第二个方程得： 合并同类项得： 解得， 则. 5．【问题背景】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“（为整数）系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即此时点的坐标为． 【初步理解】（1）已知点的“2系伴随点”为，则点的坐标为____________． 【深入应用】（2）已知点的“系伴随点”为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】（1）根据“系伴随点”的定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据“系伴随点”的定义列出方程组，即可作答． 【详解】解：（1）根据题意得：点的“2系伴随点”为，即； （2）解：设点的坐标为， ∵点的“系伴随点”为， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 6．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将并化简即可得到，将即可得到； （2）先根据题干的定义列出方程组，再写出的计算式，利用整体思想构造即可． 【详解】（1）解：， 将，得， 两边同除以，得， 将，得； （2）解：∵，， ∴， 将，得， ∴． 1．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ∴根据题意，得， 解得； （2）解：存在，理由如下： 解方程组， 得， 点是“和谐点”， ， 即， 解得， 综上所述，当时，点是“和谐点”． 2．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $