1.1.1共线向量与共面向量新授课第2课时2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦共线向量与共面向量，通过李老师下班位移合成情境导入，衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生理解空间向量的基本概念及判定方法。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，典型例题总结通性通法发展数学思维，分层练习强化数学语言表达。如例2用向量线性运算证明三点共线，提升逻辑推理能力，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第2课时　 共线向量与共面向量 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东 行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老 师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图 所示）. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　共线向量 1. 两个空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a ， b （ b ≠0）， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ，使 ⁠. a ＝λ b 　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线的方向向量 （1）定义：在直线 l 上取 ，把与向量 a ⁠的 非零向量称为直线 l 的方向向量； （2）空间直线的确定：空间直线可以由其上一点和它的 ⁠ 确定. 提醒　（1）0与空间任意向量 a 都是共线向量；（2）向量共 线的充要条件中的 b ≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一. 非零向量 a 　 平行　 方向向 量　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　共面向量 1. 定义： 如图，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l ⁠ ，那么称向量 a 平行于直线 l .如果直线 OA 平行于平面α 或在平面α内，那么称向量 a 平行于平面α.平行于同一个平面的 ⁠ ，叫做共面向量. 平 行或重合　 向 量　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 向量共面的充要条件 如果两个向量 a ， b ，那么向量 p 与向量 a ， b 共面的充 要条件是存在唯一的有序实数对（ x ， y ），使 ⁠. 不共线　 p ＝ xa ＋ yb 　 【想一想】 　向量共面是不是向量在同一平面内？ 提示：不一定，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若 A ， B ， C 三点共线，则 与 共线. （　√　） （2）向量 与向量 是共线向量，则点 A ， B ， C ， D 必在同一 条直线上. （　×　） （3）若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面. （　√　） （4）若 p 与 a ， b 共面，则 p ＝ xa ＋ yb . （　×　） √ × √ × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知非零空间向量 a ， b ，且 ＝ a ＋2 b ， ＝－5 a ＋6 b ， ＝7 a －2 b ，则一定共线的三点是（　　） A. A ， B ， D B. A ， B ， C C. B ， C ， D D. A ， C ， D 解析： 　∵ ＝ ＋ ＝2 a ＋4 b ＝2 ，∴ A ， B ， D 三点 共线. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·商丘月考）若 a 与 b 不共线，且 m ＝ a ＋ b ， n ＝ a － b ， p ＝ a ，则（　　） A. m ， n ， p 共线 B. m 与 p 共线 C. n 与 p 共线 D. m ， n ， p 共面 解析： 　由于（ a ＋ b ）＋（ a － b ）＝2 a ，即 m ＋ n ＝2 p ，即 p ＝ m ＋ n ，又知 m 与 n 不共线，所以 m ， n ， p 共面. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 空间向量共线问题 角度1　共线向量的证明 【例1】　如图，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面， M ， N 分别是 AC ， BF 的中点，则 与 是否共线？ 目录 数学·选择性必修第一册 解：法一　∵ M ， N 分别是 AC ， BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形， ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . ① 又∵ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ， ② ①＋②得2 ＝ ， ∴ ∥ 共线. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　∵ M ， N 分别是 AC ， BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都 是平行四边形， ∴ ＝ － ＝ ＋ ）－ ＝ ＋ ）－ ＋ ） ＝ － ）＝ － ）＝ . ∴ ∥ 共线. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 判断两个非零向量共线的方法 　　判断或证明两向量 a ， b （ b ≠0）共线，就是寻找实数λ，使 a ＝ λ b 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标 向量化简或用同一组向量表达. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　三点共线的证明 【例2】　（2024·福州月考）如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1 中， E 在 A1 D1上，且 ＝2 ， F 在对角线 A1 C 上，且 ＝ .求证： E ， F ， B 三点共线. 目录 数学·选择性必修第一册 证明：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， 因为 ＝2 ＝ ， 所以 ＝ ＝ ， 所以 ＝ ＝ b ， ＝ － ）＝ ＋ － ）＝ a ＋ b － c ， 所以 ＝ － ＝ a － b － c ＝ . 又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b － c ＋ a ＝ a － b － c ， 所以 ＝ ，又 EF ， EB 有公共点 E ，所以 E ， F ， B 三点共线. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法 （1） ＝λ （λ∈R）； （2）对空间任一点 O ， ＝ ＋ t （ t ∈R）； （3）对空间任一点 O ， ＝ x ＋ y （ x ＋ y ＝1）. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝ e1＋ ke2， ＝5 e1 ＋4 e2， ＝－ e1－2 e2，且 A ， B ， D 三点共线，则实数 k ＝ ⁠. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝（ e1＋ ke2）＋（5 e1＋4 e2）＋（ e1＋ 2 e2）＝7 e1＋（ k ＋6） e2.设 ＝λ ，则7 e1＋（ k ＋6） e2＝λ （ e1＋ ke2），∴解得 k ＝1. 1　 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·金华月考）如图所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形， E ， H 分别是边 AB ， AD 的中点， F ， G 分别是边 CB ， CD 上的 点，且 ＝ ， ＝ .求证：四边形 EFGH 是梯形. 目录 数学·选择性必修第一册 证明：∵ E ， H 分别是 AB ， AD 的中点， ∴ ＝ ＝ ， 则 ＝ － ＝ － ＝ ＝ － ）＝ ＝ － ）＝ ， ∴ ∥ 且｜ ｜＝ ｜ ｜≠｜ ｜. 又点 F 不在直线 EH 上，∴四边形 EFGH 是梯形. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 空间向量共面问题 角度1　空间向量共面的证明 【例3】　对于任意空间四边形 ABCD ， E ， F 分别是 AB ， CD 的中 点.试证： 与 ， 共面. 证明：如图，在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 上的点，则 ＝ ＋ ＋ ， ① ＝ ＋ ＋ . ② 又 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， 故有 ＝－ ＝－ . ③ 目录 数学·选择性必修第一册 将③代入②中，并与①相加， 得2 ＝ ＋ ， 所以 ＝ ＋ ， 即 共面. 通性通法 　　向量共面的判定方法：充分利用题目条件将其中一个向量表示成 另两个不共线向量的线性组合，即若 p ＝ xa ＋ yb （ a ， b 不共线）， 则向量 p ， a ， b 共面. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　四点共面的证明 【例4】　如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 DD1的中点， N ∈ AC ，且 AN ∶ NC ＝2∶1，求证： A1， B ， N ， M 四点共面. 目录 数学·选择性必修第一册 证明：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝ b － a ， ∵ M 为 DD1的中点，∴ ＝ c － a . 又∵ AN ∶ NC ＝2∶1，∴ ＝ ＝ （ b ＋ c ）. ∴ ＝ － ＝ （ b ＋ c ）－ a ＝ （ b － a ）＋ （ c － a ） ＝ ＋ . ∴ 为共面向量. 又三向量有相同的起点 A1，∴ A1， B ， N ， M 四点共面. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 四点共面的证明方法 （1）先证三向量共面，即 ＝ x ＋ y ，又三向量有公共点 P ， 则 P ， A ， B ， C 四点共面； （2）若存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得对于空间中任一 点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，有 ＝ x ＋ y ＋ z ， 且 x ＋ y ＋ z ＝1成立，则 P ， A ， B ， C 四点共面. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·宁波质检）已知 A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一 点.若由 ＝ ＋ ＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，则λ ＝（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点，且由 ＝ ＋ ＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，∴ ＋ ＋λ ＝1，解得λ＝ .故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知 A ， B ， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若点 M 满足 ＝ ＋ ＋ . （1）判断向量 ， ， 是否共面； 解： ∵ ＋ ＋ ＝3 ， ∴ － ＝（ － ）＋（ － ）， ∴ ＝ ＋ ＝－ － ， ∴向量 共面. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）判断 M 是否在平面 ABC 内. 解：由（1）知向量 共面，∵它们有共同的起 点 M ，且 A ， B ， C 三点不共线，∴ M ， A ， B ， C 四点共 面，即 M 在平面 ABC 内. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 对于空间的任意三个向量 a ， b ，2 a － b ，它们一定是（　　） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 不共面向量 D. 既不共线也不共面的向量 解析： 　由共面向量定理可知，三个向量 a ， b ，2 a － b 为共 面向量. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B. 向量 a ， b ， c 共面，即它们所在的直线共面 D. 若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ，使 a ＝λ b 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　A中，若 b ＝0，则 a 与 c 不一定共线；B中，共面向量的 定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直 线不一定共面；C中，因为 ＋ ＝0，所以 ＝－ ∥ 正确；D中，若 b ＝0， a ≠0，则不存在 唯一的实数λ，使 a ＝λ b . 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025高二上·西湖期末) 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（ 　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　依题意，，所以. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知 A ， B ， C 三点不共线，点 O 是平面 ABC 外的任意一点，若点 P 分别满足下列关系，试判断点 P 是否与点 A ， B ， C 共面. （1） ＋2 ＝6 －3 ； 解：∵ ＋2 ＝6 －3 ， ∴6 ＝ ＋2 ＋3 ， ∴ ＝ ＋ ＋ . ∵ ＋ ＋ ＝1， ∴点 P 与点 A ， B ， C 共面. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） ＋ ＝4 － . 解：∵ ＋ ＝4 － ， ∴ ＝4 － － . ∵4－1－1≠1，∴点 P 与点 A ， B ， C 不共面. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列条件，能说明空间不重合的 A ， B ， C 三点共线的是（　　） 解析： 　对于空间中的任意向量，都有 ＋ ＝ ，选项A错 误；若 － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ，即 B ， C 两点重合，选项B错误； ＝ ，则 A ， B ， C 三点共线，选项C正确；｜ ｜＝｜ ｜，则 线段 AB 的长度与线段 BC 的长度相等，不一定有 A ， B ， C 三点共 线，选项D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若向量 a ， b ， c 不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是 （　　） A. b － c ， b ， b ＋ c B. a ＋ b ， c ， a ＋ b ＋ c C. a ＋ b ， a － c ， c D. a － b ， a ＋ b ， a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　向量 a ， b ， c 不共面，A项， b － c ＝2 b －（ b ＋ c ）， 因此三个向量共面；B项， a ＋ b ＋ c ＝（ a ＋ b ）＋ c ，因此三个向 量共面；C项，若 a ＋ b ， a － c ， c 共面，则存在实数 s ， t ，使得 a ＋ b ＝ s （ a － c ）＋ tc ，故 b ＝（ s －1） a ＋（ t － s ） c ，这与 a ， b ， c 不共面矛盾，故三个向量不共面；D项， a － b ＝2 a －（ a ＋ b ），因此三个向量共面.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，向量 ， ， 是（　　） A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 解析： 　如图所示，向量 显 然不是有相同起点的向量，A不正确；由该平 行六面体不一定是正方体可知，这三个向量不 一定是等长的向量，B不正确；又因为 － ＝ ＝ 共 面，C正确，D不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知 O 是平面内任意一点，α是任意角，则下列等式一定可以判定 A ， B ， C 三点共线的是（　　） 解析： 　 ＝ x ＋ y 中，当 x ＋ y ＝1时， A ， B ， C 三点共线.因为 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以选项B可以判定 A ， B ， C 三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）下列命题是真命题的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对选项A，由点 A ， B ， C ， D 在一条直线上，可得 一定是共线向量，故A为 真命题；对选项B，由点 A ， B ， C ， D 不在一条直线上，则 是否为共线向量，故B为 假命题；对选项C， 两向量所在的直线是否有公共点不确 定，所以四点不一定在同一条直线上，故C为假命题；对选项D， 由 两向量所在的直线至少有一个公共点 A ，且 是 共线向量，所以三点一定共线，故D为真命题.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·杭州月考）下列条件中，点 P 与 A ， B ， C 三点一 定共面的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由 ＝ ＋ 得点 A ， B ， C 共线，故 P ， A ， B ， C 共面；对于B， ＋ ＋ ＝1，故 P ， A ， B ， C 共面；对于 C、D，显然不满足，故C、D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知空间向量 e1， e2不共线，则使 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线的 k ＝ ⁠. 解析：若 ke1＋ e2， e1＋ ke2共线，则 ke1＋ e2＝λ（ e1＋ ke2），又由 e1， e2不共线，得解得 k ＝±1. ±1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·佛山月考）设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝2 e1＋ ke2， ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，且 A ， B ， D 三点共线， 则 k ＝ ⁠. 解析：由已知得 ＝ － ＝（2 e1－ e2）－（ e1＋3 e2）＝ e1－ 4 e2，∵ A ， B ， D 三点共线，∴ 共线，即存在λ∈R，使得 ＝λ .∴2 e1＋ ke2＝λ（ e1－4 e2）＝λ e1－4λ e2.∵ e1， e2不共 线，∴解得 k ＝－8. －8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，则 和 ＋ 的关系是 向量.（填“平行”“相等”或“相 反”） 解析：如图，取 AC 的中点 G ，连接 EG ， GF ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ），所 以2 ＝ ＋ ∥（ ＋ ）. 平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·南平质检）如图所示，已知斜三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，在 AC1上和 BC 上分别有一 点 M 和 N ，且 ＝ k ， ＝ k ，其中0≤ k ≤1.求 证： ， a ， c 共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 证明：因为 ＝ k ＝ kb ＋ kc ， ＝ ＋ ＝ a ＋ k ＝ a ＋ k （－ a ＋ b ）＝（1－ k ） a ＋ kb ， 所以 ＝ － ＝（1－ k ） a ＋ kb － kb － kc ＝（1－ k ） a － kc . 由共面向量定理可知， ， a ， c 共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 给出下列命题：①若 A ， B ， C ， D 是空间任意四点，则有 ＋ ＋ ＋ ＝0；②｜ a ｜－｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜是 a ， b 共线的 充要条件；③对空间任意一点 O 与不共线的三点 A ， B ， C ，若 ＝ x ＋ y ＋ z （其中 x ， y ， z ∈R），则 P ， A ， B ， C 四点共面.其中真命题的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　①显然是真命题；｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＝｜ a ＋ b ｜或｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜是 a ， b 共线的充要条件，故②是假命 题；对空间任意一点 O 与不共线的三点 A ， B ， C ，若 ＝ x ＋ y ＋ z （其中 x ， y ， z ∈R），当且仅当 x ＋ y ＋ z ＝1时， P ， A ， B ， C 四点共面，故③是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）若空间中任意四点 O ， A ， B ， P 满足 ＝ m ＋ n ，其中 m ＋ n ＝1，则结论正确的有（　　） A. P ∈直线 AB B. P ∉直线 AB C. O ， A ， B ， P 四点共面 D. P ， A ， B 三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 m ＋ n ＝1，所以 m ＝1－ n ，所以 ＝（1－ n ） ＋ n － ＝ n （ － ＝ n 共线.又 有公共起点 A ，所以 P ， A ， B 三点在同一直线上，即 P ∈直线 AB . 因为 ＝ m ＋ n ，故 O ， A ， B ， P 四点共面.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （2024·龙岩月考）已知 A ， B ， C 三点共线，则对空间任一点 O ，存在三个不同为0的实数λ， m ， n ，使λ ＋ m ＋ n ＝ 0，那么λ＋ m ＋ n ＝ ⁠. 0　 解析：∵ A ， B ， C 三点共线，∴存在实数 k ，使得 ＝ k ， ∵ ＝ － ＝ － ，∴ － ＝ k （ － －（ k ＋1） ＋ k ＝0.∵λ ＋ m ＋ n ＝0，①当 k ＝－1时，比较系数得 m ＝0且λ＝－ n ，∴λ＋ m ＋ n ＝0；②当 k ＝0时，比较系数得 n ＝0，λ＝－ m ，∴λ＋ m ＋ n ＝0；③当 k ≠0且 k ≠－1时，可得 ＝ ＝ ，得 m ＝（－ k － 1）λ， n ＝ k λ.由此可得λ＋ m ＋ n ＝λ＋（－ k －1）λ＋ k λ＝0，综 上所述，λ＋ m ＋ n ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， G 为△ BC1 D 的重心，证明： A1， G ， C 三点共线. 证明：连接 GB ， GD ， GC1（图略）， 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . 又 G 为△ BC1 D 的重心，所以 ＋ ＋ ＝0， 又 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，所以3 ＝ ＋ ＋ ， 即 ＝ ＋ ＋ ）＝ ， 所以 ∥ ，即 A1， G ， C 三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·济南月考）在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 M 和 N 分别是正方形 ABCD 和 BB1 C1 C 的中心，点 P 为正方体表面及 其内部的点，若点 P 满足 ＝ m ＋ n ＋ k ，其中 m ， n ， k ∈R，且 m ＋ n ＋ k ＝1，则满足条件的所有点 P 构成的图形 的面积是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：因为点 P 满足 ＝ m ＋ n ＋ k ，其中 m ， n ， k ∈R，且 m ＋ n ＋ k ＝1， 所以 A ， M ， N ， P 四点共面，又因为点 M 和 N 分别是正方形 ABCD 和 BB1 C1 C 的中心，所以 CN ＝ B1 N ， AM ＝ MC ，连接 MN ， AB1，则 MN ∥ AB1，所以△ AB1 C 即为经过 A ， M ， N 三点的平面与正方体的截面，故 P 点可以是正方体表面上线段 AB1， B1 C ， AC 上及其围成的三角形内部的点.所以所有点 P 构成的图形的面积为 × × × sin 60°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 如图所示，已知 A ， B ， C 及 A1， B1， C1分别是异面直线 l1， l2上 的三点， M ， N ， P ， Q 分别是线段 AA1， BA1， BB1， CC1的中 点.求证： M ， N ， P ， Q 四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 证明：连接 MN ， NP ， PQ ， NQ （图略）.易知 ＝ ＝ ， ∴ ＝2 ＝2 . ＝ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＋ ）＝ ＋ ）.（*） ∵ A ， B ， C 三点共线及 A1， B1， C1三点共线， ∴存在实数λ，ω，使得 ＝λ ＝2λ ＝ω ＝2ω ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 代入（*）式，得 ＝ （2λ ＋2ω ）＝λ ＋ω ， ∴ ＝λ ＋（ω＋1） ，∴ 共面. 又 过同一点 N ， ∴ M ， N ， P ， Q 四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $