河南信阳高级中学国际班高考班2025-2026学年高二下学期5月测试（一）数学试题

**基本信息** 覆盖高二数学核心知识，解答题设置概率统计、立体几何、导数应用等综合题型，通过分层设问（如概率题对比有放回与不放回抽样）考查运算能力与推理意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|双曲线离心率、二项式展开等|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3/18|直线与圆位置关系、排列组合等|多选项设计考查逻辑推理| |填空题|3/15|数列递推、椭圆离心率等|知识迁移应用，体现几何直观| |解答题|5/77|概率统计（15题）、导数极值（19题）等|分层设问，结合实际情境（如志愿者服务）考查数学建模与数据意识|

河南省信阳高级中学国际班高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B D D B A B AB ABC ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．364 14． 15．(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可. 【详解】（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3． 每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 所以，， ，， 则X分布列为： X 0 1 2 3 P 则 （2）不放回抽样时，则 ，，， 则Y的分布列为： Y 0 1 2 P 则 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数的符号规律，的系数正负交替，因此系数绝对值之和等价于的各项系数和，令直接计算即可； （2）对原式两边求导，得到含的等式，再令，即可直接得到所求值； （3）先写出通项公式，设第项系数绝对值最大，通过列相邻两项系数绝对值的不等式组，求解得到的取值，再代入通项得到对应项． 【详解】（1）已知， 展开式的通项， 因为，所以， 所以等价于展开式中各项系数之和， 令，得 ． （2）对， 两边同时求导得， 令，得 ． （3）设第项的系数绝对值最大，即最大， 所以，即， 化简得，解得，即， 因为，所以， 所以， 该展开式中系数的绝对值最大的项为． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到为直线与平面所成角，从而求出、，取的中点，的中点，连接、，即可得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为是线段的中点，所以且 因为直线平面，直线平面， ∴， ∵， ∴且， ∴四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又是等边三角形，为的中点，所以， 又，平面，所以平面， 则为直线与平面所成角，即，又，， 所以，则，解得， 取的中点，的中点，连接、，则，， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 19．(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． $ 河南省信阳高级中学国际班高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 3．若随机变量的分布列为，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 4．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 7．已知，其中为函数的导数，则（   ） A．0 B．2 C．2021 D．2022 8．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，圆，则下列命题正确的有（   ） A．直线l过定点 B．若直线l过C点，则 C．存在实数t，使得直线l与圆C相切 D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为 10．若甲，乙，丙，丁，戊五人要前往A，B，C，D四个景区游玩且每个人都必须分配到游玩的景区，则下列说法正确的是（   ） A．若每个景区都必须有人游玩，则一共有240种分配方法. B．若每个景区都必须有人游玩且甲，乙二人不能去同一个地方，则一共有216种分配方法. C．若只能选择两个景区游玩且甲，乙二人必须去同一个地方，则一共有84种分配方法. D．若至多有一个景区没有人游玩，则一共有600种分配方法. 11．已知函数的导函数为，则（   ） A．一定是偶函数 B．一定有极值 C．一定存在递增区间 D．对任意确定的，恒存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．除以得到的余数是________ 13．已知数列的前项和为，满足，则 _______． 14．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 16．（15分）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)求该展开式中系数的绝对值最大的项. 17．（15分）如图，是等边三角形，直线平面，直线平面，且，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $