精品解析：河南新未来联考2025-2026学年高二下学期6月测评数学试题

高二年级6月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（ ）．附． A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数既有极大值也有极小值，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（ ） A. 333 B. 334 C. 335 D. 336 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域是，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 是定义域内的增函数 D. 若，则 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为14 D. 的最小值为 11. 已知数列的前项和为，，，，且数列，为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 记，则对，都有 C. 设，则，且 D. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 13. 设等差数列的前项和为，若，，则________． 14. 已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知奇函数的定义域为，． （1）求在区间上的值域； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 18. 在数列中，，，． （1）求的值； （2）当时，用含的式子表示； （3）令，证明：． 19. 已知函数，且，． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若有且仅有两个零点，求的取值范围； （3）若，且当时，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级6月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得， 由，解得，且， 所以， 即． 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以. 3. 已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（ ）．附． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用作差法并借助中间值比较大小. 【详解】，，， ， 故，故． 5. 设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式、指数函数、一次函数的性质，结合充分、必要性的定义判断选项条件与已知条件的关系. 【详解】，，，即. 又因为是上的增函数，所以． A选项，由是上的增函数，所以，则A不满足； B选项不满足； C选项，则，则可以推出；反之时，不一定成立，所以C选项满足题意； D选项，和的大小关系不确定，所以D不满足题意. 6. 若函数既有极大值也有极小值，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得方程有两个相异实根，，由判断A项；由韦达定理有，，得到即可验证C项，由，为极小值，为极大值， 得到，所以，，所以，故B正确，D错误. 【详解】函数的定义域为,求导得， 令时，依题意，方程有两个相异正实根，， 所以，即，故A错误； 由韦达定理有，，可得，，则，故C错误； 又因为，为极小值，为极大值， 所以，所以，，所以，故B正确，D错误. 7. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（ ） A. 333 B. 334 C. 335 D. 336 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，则，，，尽可能地小，再讨论进行求解． 【详解】因为数列单调递增，且各项均为正整数，若想使最大， 则，，，尽可能地小， 所以取，，，，则 ， 即， 因为数列单调递增，且各项均为正整数， 所以，，，，， 即，，，，， 所以 ， 即，所以， 又因为为正整数，所以的最大值为333．故选A． 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 【点睛】方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域是，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 是定义域内的增函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域是，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得， 所以的定义域为， 即，所以，B正确； 对于C，令， 当增大时，减小，减小， 所以函数在定义域内是减函数，C错误； 对于D，，则， 解得，D正确． 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为14 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 11. 已知数列的前项和为，，，，且数列，为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 记，则对，都有 C. 设，则，且 D. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列，为等差数列得，，进而求得，求得即可判断A，利用裂项相消法即可判断B，先求出，再验证，求，进而判断C，由得，设，求数列的最大项，进而判断D. 【详解】对于A，由数列，为等差数列，则，，即，，而， 则，，解得，，则，，，，，， 即，，则数列，为等差数列，满足题意，故A错误； 对于B，由A知，，则 ，故，故B正确； 对于C，由，，则，， ， 所以，故C正确； 对于D，，由，则，即恒成立，设， 假设数列的第项最大，则，即，解得，而， 则，即数列的最大项为，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为． 13. 设等差数列的前项和为，若，，则________． 【答案】640 【解析】 【详解】等差数列前项和满足， 则，， 解得，故， ， 所以． 14. 已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知函数为对数型复合函数，外层为对数函数，内层为含绝对值的三次函数，需根据对数底数和两种情况分类讨论，结合复合函数“同增异减”的单调性规律，以及内层函数的单调区间、真数恒正的条件列不等式组求解. 【详解】设，令，解得或或，且，令，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 作出函数大致图象如下： ①当时，在区间上单调递减，因为函数在上的单调递减区间为， 所以，解得． ②当时，在区间上单调递增，因为函数在上的单调递减区间为，． 所以，解得． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题属于对数型复合函数单调性求参问题，核心解题方法为“同增异减”原则，即内外层函数单调性相同则复合函数为增函数，单调性相反则复合函数为减函数；遇到底数含参数的对数函数，必须对底数分和两类讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）因为， 两边同时取倒数得：， 即， 所以，所以数列为等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）对已知递推式化简、变形，得出，从而证明数列为等差数列； （2）求出的通项公式，进而求出，进而利用错位相减法求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）可知，数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以， ． 所以①， ②， ①－②得： ， 故． 16. 已知奇函数的定义域为，． （1）求在区间上的值域； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【小问1详解】 依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； 【小问2详解】 ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 17. 已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【小问1详解】 令，可得，结合知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 18. 在数列中，，，． （1）求的值； （2）当时，用含的式子表示； （3）令，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由，且， 得． 设函数， 则，单调递增. 所以，即． 则， 故． 故． 即． 【解析】 【分析】（1）将数列视作函数，利用，从逐层迭代求出，最终得到； （2）对两次套用推出是公比为5的等比数列，求出后代入复合式直接得到； （3）先由第（2）问结论化简求出，构造导数函数得到不等式完成放缩，再对累加裂项消去中间对数项，证得目标不等式． 【小问1详解】 记，由，得． 因为，所以，故. 由，得.由，得. 所以； 【小问2详解】 令，则， 所以. 且， 故是公比为5的等比数列. 所以， 即，且， 所以，即； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，且，． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若有且仅有两个零点，求的取值范围； （3）若，且当时，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当，时，求出，再利用点斜式方程求解即可. （2）分类讨论的取值，利用导数的单调性分析函数极值点，进而得到的取值范围. （3）由及函数单调性推出，得到的上界；再构造并证明其在上单调递增， 从而将条件等价转化为；最后令，利用其单调递减性求得最大值，即得​的最大值. 【小问1详解】 当，时，，， ，， 所以，即， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 当时，，，， 当时，，单调递增， 因为，所以有且仅有一个零点． 当时，令，则，所以单调递增. 当时，.当时，. 因此存在唯一，使，且，所以. 所以在单调递减，在单调递增，且， 所以有且仅有两个零点，所以的取值范围是； 【小问3详解】 ，因为，所以必有， 设，，则， 所以在时，单调递增， 所以，即，， 设，， 所以在上单调递减， 所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $