2007届 高三数学一轮复习 第十一讲 函数的周期性

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数周期性专题，将周期函数定义、最小正周期、常见周期性结论及对称性与周期性关系等核心考点按逻辑层次构建知识网络，通过问题导向的题型设计引导学生自主推导周期规律，形成系统性认知框架。 亮点在于分类分层的题型诊断与自主学习支持，如设置九类必考题型（含周期与奇偶性综合、抽象函数不等式等），学生通过例题演练自主诊断薄弱环节，培养数学思维与表达能力。每个题型配有解题反思引导，帮助个性化知识内化，教师可依据学生答题情况精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第十一讲 函数的周期性 【学习目标】会求周期函数的周期，能应用函数的周期性解决相关问题． 【学习重点】应用函数的周期性解决相关问题． 【学习难点】应用函数的周期性解决相关问题． 必掌握知识点 一、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 二、 函数常见周期性结论: 若函数对于任意的都满足，则为的一个周期， 且 几个常见周期性结论: ①若函数满足，则． ②若函数满足，则． ③若函数满足，则． ④若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． ⑤若函数满足，则． ⑥若,则． ⑦若 三、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 四、对称性与周期性区别 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 必考题型全归纳 题型一 周期 + 奇偶 + 单调性多条件辨析 1．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答. 【详解】显然函数、都是奇函数，AC不是； 当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是； 函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.故选：D 题型二 抽象函数：奇函数 + 周期，解不等式 2．定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集. 【详解】由题意，函数满足，可得， 所以函数是周期为4的函数.又由为上的奇函数，可得， 所以，可得函数的图象关于直线对称.因为当时，， 当时，， 所以，所以， 当， 所以，可得函数的图象，如图所示， 当时， ，解得或， 所以不等式的解集为.故选：C 题型三 周期函数，求区间内方程解的个数 3．函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】根据题意，函数关于点对称，直线对称，进而作出函数图像，易得为周期函数，周期为，再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可. 【详解】解：因为函数满足，所以函数关于点对称， 因为，即，所以函数关于直线对称， 因为当时，，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：   由图可知，函数为周期函数，周期为，由于函数一个周期内，与有2个交点，在上，与有1个交点， 所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.所以关于x的方程在上的解的个数是个.故选：B 题型四 周期 + 对称轴，赋值比较函数值大小 4．已知函数满足，当时，．设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到函数的周期为2，且为偶函数，然后利用周期性和偶函数的性质把自变量化简到区间上，再利用在上为减函数可比较大小. 【详解】∵，∴，∴的周期为2． 又∵，∴为偶函数， ∴，， ．∵，且函数在上是减函数，∴．故选：C 【点睛】此题考查函数的周期性，奇偶性，单调性，利用了函数的单调性比较大小，考查了 对数的化简，考查了计算能力，属于中档题 题型五 周期偶函数 + 导数切线、图像交点综合 5．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．的图象在处的切线方程为 D．和的图象所有交点的横坐标之和为10 【答案】C 【分析】根据函数的对称性、周期性以及切线方程的求解和函数零点的求解，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，则，故可得， 故关于对称，A正确； 对B：因为，又为偶函数，故， 则，即，则的周期为； ，故B正确； 对C：当时，，又为偶函数，故当时，； 当，，则； 即当时，，，又，则， 故在处的切线方程为:，即，故错误； 对：因为都关于对称，故其交点也关于对称； 两函数在同一坐标系下，且当时的图象如下所示： 由图可知，两函数在时有5个交点，也即两函数图象共有5对交点， 又每一对交点的横坐标之和为，故所有交点的横坐标之和为10，故正确. 故选：. 题型六 高斯取整函数（周期、值域、图像交点） 6．已知函数，其中表示不超过的最大整数（例如：，），下列关于说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．的值域为 C．为周期函数且周期 D．与的图象恰有两个公共点 【答案】D 【分析】根据偶函数性质举例计算即可判断A选项，根据解析式求出值域即可判断B选项，根据周期函数定义即可判断C选项，计算求出等于-1、0、1时的x值即可判断公共点个数. 【详解】A选项： ，当时，，当时，，A错误； B选项：时，，， 时，，， 时，，， 时，，， 时，，， 时，，，由于函数的值域为点集，B错误； C选项： 所以的周期为，C错误； D选项：由于的值域为点集合，所以当和当时，的取值和的图象相交. 故选：D 题型七 周期、奇偶抽象命题真假判断 7（多选）．在下列命题中，正确命题有（    ） A．函数的最小值为 B．已知定义在上周期为的函数满足，则一定为偶函数 C．定义在上的函数既是奇函数又是以为周期的周期函数，则 D．已知函数，若，则 【答案】BCD 【分析】取，结合函数单调性可判断A选项；利用函数周期性和对称性的定义可判断B选项；利用函数的奇偶性的性质和周期性的性质可判断C选项；利用函数的奇偶性与单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，因为函数、均为上的增函数， 函数在上为增函数，此时函数在上无最小值，A错； 对于B选项，由已知， 又因为函数的定义域为，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，由已知，且，故， 所以，，C对； 对于D选项，因为函数为上的增函数且为奇函数， 因为，则，可得，所以，，D对. 故选：BCD. 题型八 反函数、函数图像互对称（关于 y=x 对称） 8（多选）已知函数，函数与的图象关于直线对称，直线与函数和的图象分别交于点，，则（   ） A．的图象过点         B．当时，的值域为 C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数解析式直接判断AB，根据反函数的概念判断C，将代入直线，分析可得和是方程的解，由单调递增可知方程至多有一个解进而判断D. 【详解】对于A，因为函数，所以，即的图象过点，A说法正确；对于B，当时，， 结合单调递增可知：的值域为，所以B说法错误； 对于C，因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以，C说法错误； 对于D，因为直线与函数和的图象分别交于点，， 所以，，又由可得， 令，所以和是方程的解， 易知单调递增，所以至多有一个解，所以，D说法正确. 故选：AD 题型九 周期证明；奇函数 + 周期求区间最少零点 9．若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期． (1)证明：若存在不为零的常数使得函数对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数； (2)若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间内的零点的最少个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)4035个. 【分析】（1）令代入，根据周期函数的定义即可证结论． （2）由已知可得是2为周期的奇函数，结合奇函数、周期函数性质，研究此函数在区间内的零点的最少个数． 【详解】（1）因为存在不为零的常数使对定义域内的任意均有， 所以 ，即， 因此，函数是周期函数，且就是函数的一个周期. （2）因为定义在上满足， 由（1）易得：是周期为2的函数，即， 又是上的奇函数，则，所以①， 又，所以，同理：②， 由①②有：，又， 所以此函数在区间内的零点最少有个. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十一讲 函数的周期性 【学习目标】会求周期函数的周期，能应用函数的周期性解决相关问题． 【学习重点】应用函数的周期性解决相关问题． 【学习难点】应用函数的周期性解决相关问题． 必掌握知识点 一、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 二、 函数常见周期性结论: 若函数对于任意的都满足，则为的一个周期， 且 几个常见周期性结论: ①若函数满足，则． ②若函数满足，则． ③若函数满足，则． ④若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． ⑤若函数满足，则． ⑥若,则． ⑦若 三、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 四、对称性与周期性区别 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 必考题型全归纳 题型一 周期 + 奇偶 + 单调性多条件辨析 1．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 抽象函数：奇函数 + 周期，解不等式 2．定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三 周期函数，求区间内方程解的个数 3．函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 题型四 周期 + 对称轴，赋值比较函数值大小 4．已知函数满足，当时，．设，，，则（    ）． A． B． C． D． 题型五 周期偶函数 + 导数切线、图像交点综合 5．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．的图象在处的切线方程为 D．和的图象所有交点的横坐标之和为10 题型六 高斯取整函数（周期、值域、图像交点） 6．已知函数，其中表示不超过的最大整数（例如：，），下列关于说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．的值域为 C．为周期函数且周期 D．与的图象恰有两个公共点 题型七 周期、奇偶抽象命题真假判断 7（多选）．在下列命题中，正确命题有（    ） A．函数的最小值为 B．已知定义在上周期为的函数满足，则一定为偶函数 C．定义在上的函数既是奇函数又是以为周期的周期函数，则 D．已知函数，若，则 题型八 反函数、函数图像互对称（关于 y=x 对称） 8（多选）已知函数，函数与的图象关于直线对称，直线与函数和的图象分别交于点，，则（   ） A．的图象过点         B．当时，的值域为 C． D． 题型九 周期证明；奇函数 + 周期求区间最少零点 9．若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期． (1)证明：若存在不为零的常数使得函数对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数； (2)若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间内的零点的最少个数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $