1.1.1空间向量及其线性运算　第1课时　 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦空间向量概念及线性运算，以滑翔伞受力情境导入，通过类比平面向量推广至空间，构建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于情境化问题链与分层训练，结合数学抽象、直观想象与逻辑推理，如正六棱柱向量化简例题培养几何直观，自我诊断巩固概念，助力学生深化理解，提升教师教学效率。

1.1.1　 空间向量及其线性运算 新课程标准解读 核心素养 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解 空间向量的概念 数学抽象、 直观想象 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的 过程 数学抽象、 直观想象 3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运 算在研究几何问题中的作用 逻辑推理、 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时　 空间向量及其线性运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中， 飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些 力吗？ 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　（1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示 出来？ （2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　空间向量的有关概念 1. 定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量. 2. 长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或 ⁠. 3. 表示法： 大小　 方向　 大小　 模　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为 ⁠的向量 0 单位向量 模为 ⁠的向量 相反向量 与向量 a 长度 而方向 ⁠ 的向量叫做 a 的相反向量 － a 0　 1　 相等　 相反　 目录 数学·选择性必修第一册 特殊向量 定义 表示法 相等向量 方向 且模 ⁠的向量 共线向 量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合（规定：零向量 与任意向量平行） 提醒　单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向， 单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等， 而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等. 相同　 相等　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　空间向量的线性运算 加法、减法 数乘 几何 形式 代数 形式 ＋ 　 － 　 目录 数学·选择性必修第一册 加法、减法 数乘 运算律 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； 结合律： a ＋（ b ＋ c ）＝ （ a ＋ b ）＋ c 结合律：λ（μ a ）＝（λμ） a ； 分配律：（λ＋μ） a ＝λ a ＋μ a ，λ（ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 1. 空间向量线性运算的结果还是向量吗？ 提示：是向量. 2. 由数乘λ a ＝0，可否得出λ＝0？ 提示：不能.λ a ＝0⇔λ＝0或 a ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量平行. （　√　） （2）向量 的长度与向量 的长度相等. （　√　） （3）若 a ＝－ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜. （　√　） （4）5（3 a －2 b ）＋4（2 b －3 a ）＝3 a －2 b . （　√　） √ √ √ √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 化简 － ＋ 所得的结果是（　　） C. 0 解析： 　 － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故 选C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （多选）如图，在正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列向量相等的 是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　易知｜ ｜＝｜ ｜，但 方向相反，故A 不符合题意；｜ ｜＝｜ ｜，但 方向不同，故B不符 合题意；｜ ｜＝｜ ｜，且 方向相同，故C符合题 意；｜ ｜＝｜ ｜，且 方向相同，故D符合题意. 故选C、D. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 空间向量的概念辨析 【例1】　（多选）下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b C. 若空间向量 m ， n ， p 满足 m ＝ n ， n ＝ p ，则 m ＝ p D. 空间中任意两个单位向量必相等 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量 a 与 b 的方向不一定相同； B为真命题， ＝ ；C为 真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位 向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B、C. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 空间向量的概念辨析 　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相 关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模 相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （2024·烟台月考）如图所示，以长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中： （1）试写出与 是相等向量的所有向量； 解： 与向量 ，共3个. （2）试写出 的相反向量. 解：向量 . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 空间向量的加法、减法运算 【例2】　在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，化简 － ＋ ＋ ＋ ，并在图中标出化简结果的向量. 目录 数学·选择性必修第一册 解：在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，四边形 AA1 F1 F 是平行四边形，所以 ＝ . 同理易得 ＝ ＝ ＝ ， 所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图. 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，化简 ＋ － ＋ ，并在图 中标出化简结果的向量. 解：根据六棱柱的性质知四边形 BB1 C1 C ， DD1 E1 E 都 是平行四边形， 所以 ＝ ，－ ＝ ＝ ， 所以 ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法 运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、 减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用 空间向量的自由平移获得运算结果. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 如图所示的是平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1，则 （1） ＋ ＋ ＝ 　 　； 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） － ＋ ＝ 　 　. 解析： － ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝ . 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 空间向量的数乘运算 【例3】　（2024·南京质检）如图所示，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1 中， O 为 AC 的中点. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）化简： － － ＝ 　　； 　 解析：（1） － － ＝ － ＝ － ＝ . （2）用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 　. ＋ ＋ 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角 形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 如图，在四面体 ABCD 中， M ， N 分别是 AD ， CD 的中点，则 （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝（　　） 解析： 　连接 BM ， BN ，如图所示.因为 M ， N 分别是 AD ， CD 的中点，所以 ＋ ）－ ＋ ）＝ － ＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 P 在 A1 C 上，且 ＝ . 若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝（　　） B. 1 解析： 　如图， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ）＝ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，所以 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，所以 x ＋ y ＋ z ＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 解析： ． 1. (2025高二上·宝安期中) 正方体中，化简＝（　　） A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＜ b B. 若 a ， b 为相反向量，则 a ＋ b ＝0 C. 对于空间内任意一个向量 a ，存在λ∈R，使得λ a ＝0 解析： 　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错； 相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量 a ，存在实数λ ＝0，使得0· a ＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·郑州月考）已知空间向量 a ， b ， c ，化简 （ a ＋2 b －3 c ）＋5 －3（ a －2 b ＋ c ）＝ 　 a ＋ b － c 　. 解析：原式＝ a ＋ b － c ＋ a － b ＋ c －3 a ＋6 b －3 c ＝ a ＋ b － c . a ＋ b － c 　 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 空间中任意四个点 A ， B ， C ， D ，则 ＋ － ＝（　　） 解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 下列命题中为真命题的是（　　） B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面 C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D. 不相等的两个空间向量的模必不相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对于选项A，只有平行四边形才满足；对于选项B， 其终点构成一个球面；对于选项C，空间非零向量能用空间中的 一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D， 在空间中向量 a 与向量 b 不相等，有可能它们的模相等，但方向 不同，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 在平行六面体 ABCD -A'B'C'D'中，与向量 的模相等的向量有 （　　） A. 7个 B. 3个 C. 5个 D. 6个 解析： 　｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜ ＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·开封月考）如图，在空间四边形 ABCD 中，设 E ， F 分别是 BC ， CD 的中点，则 ＋ （ － ）＝（　　） 解析： 　因为 － ＝ － ）＝ ＝ ＋ － ）＝ ＋ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为 A1 C1的中点，若 ＝ a ， ＝ c ， ＝ b ，则 ＝（　　） 解析： 　因为 M 是 A1 C1的中点，所以 ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＋ ）＝ － ＋ ＝－ a ＋ b ＋ c .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·洛阳质检）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， 下列各式中运算的结果为 的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对于选项A，（ － ）－ ＝ － ＝ ；对于选项B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ； 对于选项C，（ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；对于选项 D，（ － ）－ ＝（ － ）－ ＝ ＋ ＝ ，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 如图所示，在三棱柱 ABC -A'B'C'中， 与 是 向量， 与 是 向量.（用相等、相反填空） 解析：由相等向量与相反向量的定义知： 是相反向量. 相等　 相反　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·杭州月考）已知空间中任意四个点 A ， B ， C ， D ，则 ＋ － ＝ ⁠. 解析：法一　 ＋ － ＝（ ＋ ）－ ＝ － ＝ . 　 法二　 ＋ － ＝ ＋（ － ）＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＝ ，若 ＝ x ＋ y （ ＋ ），则 x ＝ ， y ＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ），所以 x ＝1， y ＝ . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 如图所示，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 是 BB1的中点，化简下列 各式： （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ； 解： ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （3） ＋ － . 解： ＝ ＝2 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ∴ ＋ － ＝ － ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·泉州月考）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平 行四边形，点 E 为棱 PC 的中点，若 ＝ x ＋2 y ＋3 z ， 则 x ＋ y ＋ z ＝（　　） A. 1 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋（ － ），所以2 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以 x ＝ ，2 y ＝ ，3 z ＝ ，解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，所以 x ＋ y ＋ z ＝ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的中心为 O ，则下列结论中 正确的有（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ O 为正方体的中心，∴ ＝－ ＝－ ＋ ＝－（ ＋ ＋ ＝－ （ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝－（ ＋ ＋ ＋ ），∴A、 C 正确；∵ － ＝ － ＝ ，∴ － － 是两个相等的向量，∴B不正 确；∵ － ＝ － ＝ ＝－ ，∴ － ＝－（ － ），∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 在空间四边形 ABCD 中，连接 AC ， BD . 若△ BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 ＋ － － ＝ ⁠. 解析：如图，取 BC 的中点 F ，连接 DF ，则 ＝ ＋ － － ＝ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·广州月考）如图，已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1. （1）化简 ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 ＋ x ＋ ＋ ＋ ＝0，则 x 可以是图中有向线 段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 解：因为 ＝ ＝ . 所以 ＋ x ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ x ＋ ＋ ＋ ＝0. 所以 ＋ x ＋ ＝0， 所以 x ＝ . 又因为 ＝ ＝ ＝ ， 所以 x 可以是 中的任一个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城 市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳 楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海 楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的 正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为 ，则 ＋ ＋ ＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图，延长 EA ， FB ， GC ， HD 相交 于一点 O ，则 ＝ ＝ ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·苏州月考）在平面四边形 ABCD 中， E ， F 分 ， 所 成的比为λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （1）拓展到空间，写出空间四边形 ABCD 类似的命题，并加 以证明； 解： 在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分 所成的比为 λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ .证明如下： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ）＋ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ a ， BC ＝ b ， AA1＝ c ， E ， F 分别为 AB ， A1 C 的中点，利用上述（1）的结论表 示 . 解：由（1）的结论可得 ＝ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $