精品解析：山东省聊城第一中学新校区2026届高三3月调研测试数学试题

新校区2026届调研测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得，所以， ， 故选：C． 3. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 4. 已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 6. 在中，，，若动点满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积运算性质化简，借助二次函数性质求得最值. 【详解】由， 可得 ， 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 7. 已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成角的余弦值为，则（ ） A. 圆锥的母线长为3 B. 圆锥的高为1 C. 圆锥的体积为 D. 圆锥的侧面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面角得到母线长和高，从而得到体积和侧面积. 【详解】如图所示的圆锥中，底面半径，母线与底面所成角的余弦值为． 由题意知，与底面垂直，即为圆锥的高， 则为母线与底面所成的角，即， 所以，则， 则圆锥的母线长为3，高为，故A正确，B错误； 则圆锥的侧面积为， 圆锥的体积为，故C正确，D错误． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确. 【详解】由题意知，由双曲线方程得，即. 又，故，焦点到渐近线的距离. 由条件，故选项A正确； 易知，，，过作垂直于，垂足为. 如图，过作于. 由，且，得. 又， 则，与不重合。 故，故选项B错误； 在中，，，， 则，即， 解得，则，所以，故C选项正确； ，故D选项正确． 11. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合三角恒等式和三角形的正弦定理的边角转化、余弦定理，分别对每个选项进行化简计算从而进行解答. 【详解】选项A：因为， 所以由三角恒等式可得， 即， 所以由正弦定理可得，故选项A正确； 选项B：由余弦定理可得， 由A可知，代入可得 ，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，故选项B正确； 选项C：由余弦定理可得， 由A可知， 所以，由正弦定理可得， 所以，故选项C错误； 选项D：由A可知， 因为， 所以， 因为， 所以． 因为为钝角， 所以，即， 因为， 所以，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 13. 已知为数列的前项和，若，则________. 【答案】11 【解析】 【分析】利用与的关系计算求解即可. 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 14. 有三张卡片，一张标有数字1，另外两张标有数字2，每次有放回地随机抽取一张卡片（每次抽取是独立的）.规定：若存在，使得标有数字的卡片被抽取出次，则停止抽取卡片．设被抽取出的卡片上的数字总和为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先列出的分布列，再计算. 【详解】根据题意，抽取出标有数字1的卡片的概率为， 抽取出标有数字2的卡片的概率为． 根据抽取的总次数，可分为以下三类情况： ①抽取2次，有一种情况：1，1， ②抽取3次，有三种情况：1，2，1；2，1，1；2，2，2， ③抽取4次，有六种情况：1，2，2，1；2，1，2，1；2，2，1，1；1，2，2，2；2，1，2，2；2，2，1，2． 由以上枚举，随机变量X可取：2，4，6，7， ， ， ， ， 故X的分布列为 X 2 4 6 7 P 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 16. 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； （2）用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）工厂生产班次与产品质量有关 （2） 0 1 2 ； 【解析】 【小问1详解】 设零假设：工厂生产班次与产品质量无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即工厂生产班次与产品质量有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． 【小问2详解】 依题意，从全部产品中随机抽取出一个优秀品的概率为， 从全部产品中随机抽取出一个早班产品的概率为， 由已知的可能取值有， 故随机变量， ，， ， 则的分布列为 0 1 2 ． 由列联表可得， 所以． 17. 如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． （1）若平面平面ABCE，证明：平面； （2）若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】（1）在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质以及勾股定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则. 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线平行于直线，理由如下： 由（1）知，，则，．设点，， 则直线的方程为． 令，有， 得． 又， 则． 因为点在椭圆上，满足，即， 代入得， 显然直线与不重合，故直线平行于直线． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）椭圆左右顶点的距离求出的值，再由面积最大值求出的值，即可求出椭圆的方程； （2）（ⅰ）设切点，利用椭圆切线方程公式写出的方程，将代入切线方程，求出坐标，分别计算，利用椭圆方程化简，求出，进而得到两直线的位置关系； （ⅱ）法一：设，结合切线与椭圆方程表示，联立得，化简目标比值，利用均值不等式求最值； 法二：以切点横坐标为变量，联立直线得，借助椭圆方程消参构造单变量函数，求导判断单调性，算计最大值. 【小问1详解】 依题意，当点位于上、下顶点时，面积最大， 则，得． 又因为， 所以，， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为直线平行于直线， 所以． 方法一：设点的坐标为，， 椭圆在点处的切线方程为，代入点的坐标得，故． 代入椭圆方程得， 整理得， 故， 则， 故． 又，所以， 故直线的方程为，直线的方程为． 联立得， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 方法二：由题意知， 则直线PA的方程为， 直线QB的方程为． 联立可得 得， 故． 设函数，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得最大值为． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． （1）证明：； （2）若，证明：当为偶数时，； （3）若，证明：当时，． 【答案】（1）证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即． （2）证明：已知，先证明，即证明， 记，则，于是在上单调递增． 当时，，即；当时，，即. 易知在单调递减． 因为，所以， 即，于是， 因，，则． 依次反复操作，易推得，，且，①． 于是当为偶数时，． （3）先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即． 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，． 【解析】 【分析】（1）构造单调函数，利用零点存在与单调性锁定零点区间，快速证得; （2）先归纳得到数列奇偶项分处两侧，再构造递增函数证相邻两项和小于，偶数项求和放缩即得结论； （3）根据(2)问结论，构造函数，借助函数的单调性得到相邻两项和上下界，再分奇偶对分类放缩求和，结合的范围完成不等式证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新校区2026届调研测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，若动点满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成角的余弦值为，则（ ） A. 圆锥的母线长为3 B. 圆锥的高为1 C. 圆锥的体积为 D. 圆锥的侧面积为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 11. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 13. 已知为数列的前项和，若，则________. 14. 有三张卡片，一张标有数字1，另外两张标有数字2，每次有放回地随机抽取一张卡片（每次抽取是独立的）.规定：若存在，使得标有数字的卡片被抽取出次，则停止抽取卡片．设被抽取出的卡片上的数字总和为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 16. 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； （2）用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 17. 如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． （1）若平面平面ABCE，证明：平面； （2）若二面角为120°，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． （1）证明：； （2）若，证明：当为偶数时，； （3）若，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $