期末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高二数学期末复习卷聚焦全册综合，以航天科研、新能源汽车等真实情境为载体，融合排列组合、概率统计、回归分析等核心知识，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，考查数学建模与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列组合、独立性检验、二项式定理等|第1题航天科学家安排考查分类计数原理，第8题围棋比赛概率体现情境化设计| |填空题|3题15分|回归残差、方程非负整数解、条件概率|第12题残差计算强化模型应用，第14题抽奖问题结合条件概率| |解答题|5题77分|独立性检验与分布列、回归模型比较、概率期望综合|第16题分层抽样与分布列融合，第19题新能源汽车满意度结合正态分布与期望，贴合高考命题趋势|

2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 全册综合 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 2．（25-26高二下·浙江台州·期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）的展开式中的系数为（      ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“春种一粒粟，秋收万颗子”说明春天是播种的好时节，玉米种子每粒发芽的概率都为0.9，现某实验小组播种了1000粒玉米种子，一段时间后对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 6．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 7．（25-26高二下·上海·期末）某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山西阳泉·期末）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件，“乙获胜”为事件，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B．残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C．线性回归直线必然过样本中心点 D．已知，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 10．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 11．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 13．（2026高三·全国·专题练习）方程的非负整数解中，满足的解的个数为__________. 14．（25-26高二下·浙江湖州·期末）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·天津南开·期中）设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．（25-26高二下·上海·期末）为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 (1)补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． (2)为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（25-26高三·全国·一轮复习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 18．（25-26高二下·浙江金华·期末）学校社团招新设置个集章点，编号为1，2，…，n，每号点初始有1枚红色印章、1枚蓝色印章.按以下规则流转： ①工作人员向1号点随机放1枚印章，红、蓝概率各为0.5； ②2号点从1号点的3枚印章中随机取1枚，3号点从2号点的3枚印章中随机取1枚，依此类推，直到号点从号点随机取1枚； ③最后从号点的3枚印章中随机移除1枚，完成一轮集章． (1)求第一轮集章结束后，1号点恰好有2枚红色印章的概率； (2)当时，记第一轮集章结束后2号点红色印章数量为，求的数学期望； (3)记第一轮集章结束后号点的红色印章数量为，求的数学期望． 19．（25-26高三·全国·一轮复习）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 0 1000 2000 3000 4000 0 1000 2000 3000 4000 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 全册综合 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 【答案】C 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解． 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校安排两个元素，其中不含丙，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，有种分配方法； 所以不同的安排方式有种． 2．（25-26高二下·浙江台州·期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】B 【分析】使用独立性检验的判断方法求解. 【详解】，说明变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过. 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）的展开式中的系数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二项展开通项 所以 令，解得, 展开式中的系数. 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“春种一粒粟，秋收万颗子”说明春天是播种的好时节，玉米种子每粒发芽的概率都为0.9，现某实验小组播种了1000粒玉米种子，一段时间后对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】设没有发芽的种子数为，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解. 【详解】设没有发芽的种子数为，则有， 由题意可知服从二项分布，即, 则，所以. 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 【答案】B 【详解】∵ 数学成绩服从正态分布，∴ 正态分布曲线关于直线对称. ∵ ，∴ . ∴ . ∴ 按分层抽样抽取份试卷时，应从分以上的试卷中抽取份. 6．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 7．（25-26高二下·上海·期末）某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相关系数接近1时样本点极接近回归直线的性质即可求解. 【详解】由相关系数可知变量线性相关性极强，样本点应极接近回归直线： 当时，预测值，则9.4更接近预测值； 当时，预测值，10.2更接近预测值. 故模糊的数据可能是. 8．（25-26高二下·山西阳泉·期末）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件，“乙获胜”为事件，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B．残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C．线性回归直线必然过样本中心点 D．已知，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】BCD 【分析】选项A利用相关系数的概念求解即可，选项B利用残差平方和的概念求解即可，选项C利用变量，的均值一定在回归方程的图象上求解即可，选项D利用小概率原理求解即可. 【详解】对于A，已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1，故A错误； 对于B，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，故B正确； 对于C，线性回归直线必然过样本中心点，故C正确； 对于D，，可判断变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05，故D正确. 10．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 11．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 【答案】AC 【分析】利用二项式定理以及对变量取特殊值可解. 【详解】令，则. 所以. 由二项式定理可得展开式的通项，且. 对于A，，故A正确； 对于B，令，得. 令得 所以，即，故B错误； 对于C，对两边取导数， 得. 令，得，故C正确； 对于D， . 因为(，，)， 所以除以7的余数为2.今天是星期二，天后是星期四，故错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 【答案】 【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，即可得到残差. 【详解】将代入，， 去除两个样本点和后，所以，，， 故去除样本点和后的回归直线方程为， 当时，，则样本的残差为． 13．（2026高三·全国·专题练习）方程的非负整数解中，满足的解的个数为__________. 【答案】55 【详解】方法一： 无约束的解个数为：. 利用容斥原理先找到不满足约束的解的个数为：. 可得满足，，的解的个数为：. 方法二： 令，，， 等价于求解的非负整数解个数，其个数为. 14．（25-26高二下·浙江湖州·期末）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______． 【答案】 【分析】通过贝叶斯公式和全概率公式求解. 【详解】①由题意得，. 在的前提下，另一个奖品在中，若在中，则， 若在其余位置，. 则. 在的前提下，令两个奖品在中，. 则. 所以. 所以. ②由题意得，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·天津南开·期中）设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【详解】（1）令，则有， 即； （2）令，则有， 即， 又， 则； （3）对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 16．（25-26高二下·上海·期末）为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 (1)补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． (2)为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 16 76 少于12小时 40 64 104 总计 100 80 180 有99.5%的把握认为高中生数学成绩与每周自主学习时间有关联. (2)的分布列为 X 0 1 2 3 P . 【分析】（1）由题意补充完整列联表，并求得卡方值，与7.879进行比较，即可判断相关性； （2）确定的可能取值0，1，2，3，求得相应的概率得的分布列，再根据期望公式求得期望. 【详解】（1）列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 16 76 少于12小时 40 64 104 总计 100 80 180 设原假设 ：数学成绩与每周自主学习时间无关.. ∴有的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； （2）数学成绩高于120分的学生共有人， 其中，每周自主学习时间大于12小时：60人；每周自主学习时间不足12小时：40人. 按比例分层抽取10人，则 不少于12小时：人；少于12小时：人. 又因为这10人中恰有1人每周自主学习时间大于16小时，所以10人可看作三类： 大于16小时：1人；少于12小时：4人；其他：5人. 从10人中任取3人，总取法数为. 的可能取值0，1，2，3， ，， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为：. （2）（i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当时,（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 18．（25-26高二下·浙江金华·期末）学校社团招新设置个集章点，编号为1，2，…，n，每号点初始有1枚红色印章、1枚蓝色印章.按以下规则流转： ①工作人员向1号点随机放1枚印章，红、蓝概率各为0.5； ②2号点从1号点的3枚印章中随机取1枚，3号点从2号点的3枚印章中随机取1枚，依此类推，直到号点从号点随机取1枚； ③最后从号点的3枚印章中随机移除1枚，完成一轮集章． (1)求第一轮集章结束后，1号点恰好有2枚红色印章的概率； (2)当时，记第一轮集章结束后2号点红色印章数量为，求的数学期望； (3)记第一轮集章结束后号点的红色印章数量为，求的数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）明确1号点初始有1红1蓝，要最终恰有2枚红色印章，需先确定向1号点放入印章的颜色要求，再确定2号点从1号点取走印章的颜色要求，两个事件相互独立，用分步乘法计数原理计算概率； （2）确定的流程，求出 2号点从1号点取来的印章是红或蓝的概率各为0.5，由于移除是随机的，得到移除1枚印章是红或蓝的概率各为0.5；得到，进而计算. （3）由（2）同理可求得，进而求出. 【详解】（1）若要“第一轮集章结束后1号点恰有2枚红色印章”，则应从1号点放入红色印章，移除蓝色印章，则； 第一轮集章结束后1号点恰有两枚红色印章概率为. （2）当时，流程为：1号点2号点移除1枚. 2号点初始有1红1蓝，记为2号点从1号点取来的1枚印章，为从2号点移除的1枚印章. 若1号点放入红色印章（概率为），1号点有2红1蓝，则取走红色的概率是，取走蓝色的概率是； 若1号点放入蓝色印章（概率为），1号点有1红2蓝，则取走红色的概率是，取走蓝色的概率是. （Y=红），（Y=蓝）. 2号点取来的印章是红或蓝的概率各为0.5. 移除是随机的，是红或蓝的概率各为0.5. 2号点得到后，共3枚印章，最后随机移除1枚，则2号点最终的红色印章数等于初始的1枚，加上取来的（红色算1，蓝色算0），再减去被移除的（红色算1，蓝色算0），即. （3）由（2）可得，对于任意号点，从号点取来的那枚印章，其是红或蓝的概率始终各为0.5. 号点初始有1红1蓝，记为号点从号点取来的1枚印章，为从号点移除的1枚印章. 移除是随机的，是红或蓝的概率各为0.5. 由（2）同理可得，则 19．（25-26高三·全国·一轮复习）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)32 (2)8186 (3) 0 1000 2000 3000 4000 ，1100 【分析】（1）利用方差合并公式求方差即可； （2）由正态分布特殊区间的概率及其对称性求区间概率，进而估计区间人数； （3）由题意Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $