精品解析：湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题

2025-2026学年度下学期教学质量检测题 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在以下的人数为（ ） A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为， 则女生人数为，由比例分配的分层随机抽样方法可知， 120人的样本中女生人数为， 所以高一年级女生身高在以下的人数为. 2. 如图，的斜二测画法的直观图为等腰直角，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】D 【解析】 【详解】在等腰直角中，因为，，所以，， 由斜二测画法可知，，，所以A和B正确，D错误， 又的面积为，故C正确. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面 D. 若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，棱台是由一个“平行”于棱锥底面的平面去截棱锥得到的， 而题目中截面与底面位置关系未知，故A错误； 对于B，垂直于同一直线的两条直线平行､相交或异面，故B错误； 对于C，如图，，， 在内作直线垂直于与的交线，在内作直线垂直于与的交线， ，， ，又，，，，，，故C正确； 对于D，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面，故D错误. 4. 已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的平移求出解析式，由为偶函数，结合正弦型函数的性质求解. 【详解】由题意可得，其为偶函数， 所以，则， 又，故的最小值为. 5. 已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由向量的加减运算可知，与不共线，可以作为平面内的一个基底， 所以（1）正确； 因为，所以，所以， 所以（2）正确； 因为，所以，所以（3）错误； 因为，所以，故（4）正确. 6. 如图，在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，D､E分别在边､上，设，则（ ） A. B. C. D. x与y的大小与θ取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得，由正弦定理得，结合两角和差的余弦公式对进行化简，可得. 【详解】在中，由余弦定理可得， 由正弦定理可得， 所以 . 7. 如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据侧面展开图为半圆得出轴截面为等边三角形，再结合计算边长，进而应用圆锥体积计算两部分的体积求解. 【详解】因为圆锥SO的侧面展开图为半圆，所以其轴截面为等边三角形， 设其边长为.过C作与点D，则曲面是以CD为底面半径，OC为母线的圆锥的侧面. 在中，； 在中，. 圆锥SO的体积为， 曲面上方的几何体的体积为，所以两部分的体积比为. 8. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，再利用余弦定理和同角关系得出，最后结合面积公式和一元二次函数求最值. 【详解】由以及正弦定理得， 即， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 等号成立时， 故面积的最大值为. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数z对应的点位于复平面的第一象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以，. 选项A，，正确. 选项B，虚部为，错误. 选项C，，属于纯虚数，正确. 选项D，对应点为，属于第一象限，正确. 10. 正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若过点的截面与平面平行，则截面多边形的周长为 D. 若点在平面内的投影为点，则点的轨迹为圆弧 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直推导到线线垂直； 连接，转换为求，已知直角三角形的两边求第三边，已知夹角两个邻边求出余弦值； 画出截面，可知截面为边长的正六面体，相加算出周长； 为棱上的动点，平面绕直线旋转，点到该平面的垂足的轨迹是点在绕轴旋转的平面上的投影集合，则该轨迹是以为轴、以点到轴的距离为半径的圆的一部分，即为圆弧. 【详解】在正方体中，面对角线面面，所以，A正确； 连接， 在正方体中，面，即在平面内的射影为， 所以即为所求的线面角，在直角中，， 故， 在直角中，，故，，B错误； 过点E与平面平行的截面交中点、中点、中点、中点、中点， 构成正六边形，其边长为，则截面多边形的周长为，C正确； 因为点在平面内的投影为点，所以平面， 又因为平面，所以, 所以点在以为直径的球面上， 同理可得点在以为直径的球面上， 是以为直径的球面公共点， 又因为两个球面的公共点为圆，且在平面内， 所以的轨迹为圆弧，D正确. 11. 设，若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由得，所以，得 ， 而，故，即，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由二倍角公式，，C错误； 对于D，根据AB的结论，，D正确. 三､填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 已知向量若平行于，则实数__________. 【答案】-2 【解析】 【详解】由题意，若与平行，则，解得. 13. 在中，角A、B、C满足其外接圆半径为1，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过正切的性质以及正弦定理求解. 【详解】在中，因为， 所以， . 又因为， 得，故， 又因为正弦定理， 所以. 14. 正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的对称性，取对角面转化为平面几何问题. 内切球半径已知，由球心距与半径关系建立方程，解出小球的半径，再代入球的表面积公式. 【详解】如图，是正方体的对角面，圆是球与球的大圆， 设球与球的半径分别为，由题意可得，由及相似关系可得， ，故， 所以球的表面积为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，分别为边､上的动点. （1）若，求的值； （2）若在方向上的投影向量为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，从而，然后由三点共线得到，利用待定系数法即可求解； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，从而得到在方向上的投影向量为，令即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 因为，即为靠近的三等分点，由于三点共线，所以， 又因为若，所以， 又因为三点共线，，所以， 所以，解得， 所以，故. 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，设，，由于若，所以，，， 故在方向上的投影向量为， 令，所以当，即时，， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 16. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知. （1）若B为锐角，试判断的形状； （2）若B为钝角， （i）D在上，且，求角C； （ii）求的最大值. 【答案】（1）为直角三角形. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换结合条件可得，从而得出为直角三角形； （2）（i）由正弦定理构建方程求解；（ii）转化为三角函数的最大值问题. 【小问1详解】 在中，由得，又， 故，显然C为锐角. 若B为锐角，由得，即， 所以为直角三角形. 【小问2详解】 若B为钝角，则， （i）设，则，, ，为直角三角形，， , ，又，故, 在中用正弦定理，代入 得， 在中用正弦定理, ， 所以， 所以，得, ，， 故，； （ii）为钝角，， ， 当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 17. 如图，正方体的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求异面直线与AC所成角的大小； （2）证明：平面 【答案】（1） （2） 连接，，取的中点G，连接，， 在正方体中，平面，， 又，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在正方形中，为的中点，G为的中点， 所以， 所以，， 因为，所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面． 【解析】 【分析】（1）构造中位线将异面直线夹角转化为共面角，利用勾股定理算出三角形三边，再通过余弦定理求出该角大小； （2）分两步证明垂直平面内两条相交直线：先证，再作辅助线并证明，最后用线面垂直判定定理完成证明． 【小问1详解】 （1）取AB中点P，连接，，， 因为E为BC的中点，所以PE为的中位线， 所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以. 所以异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 略 18. 已知 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，，求边上的高的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，同角三角函数关系式，二倍角的正、余弦公式及辅助角公式化简可得，从而求得的最小正周期及单调递增区间； （2）先由，求得，再利用正弦定理及三角形面积公式将表示成的函数，根据的取值范围，求得高的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期为. 由得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以. 因为，故的外接圆直径为. 又， 故 ， 因为为锐角三角形，所以， 故， 所以. 所以. 即高的取值范围是. 19. 如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱的母线，为下底面圆O的直径，D为上的动点（异于B，C）. （1）若点M为的中点，证明：点M为三棱锥的外接球的球心； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值； （3）若P为圆柱侧面上的动点，求的最小值. 【答案】（1）因为为圆柱的母线，为底面圆的直径，所以. 在中，M为斜边AC的中点，所以. 又为上的动点，BC为底面圆O的直径，所以. 又因为，所以面ABD，故， 在中，M为斜边AC的中点，所以. 所以，所以为三棱锥的外接球的球心 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1） 证 M 为外接球球心，即证证 M 到四顶点距离相等，由母线垂直底面结合直角三角形斜边中点性质和直径所对圆周角为，得 （2） 体积公式中为定值，当面积最大时体积最大。由三垂线法找二面角的平面角，算出两条直角边长，先求正切，再换算正弦 （3） 拆分向量展开点乘，化简消去交叉项。三角恒等变形，求角度部分最小值。均值不等式求模长乘积最大值，两部分合在一起求整体最小值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，为直角三角形，斜边， 所以，故时等号成立）. 又时等号成立）， 所以为的中点时三棱锥的体积最大. 连接DO，则面ABC，过O作于点P，连接DP， 则为所求二面角的平面角， 又，所以. 故当三棱锥的体积最大时，二面角的正弦值为. 【小问3详解】 过点P作与轴垂直的平面圆N，母线AB与圆N交于，过D的母线与圆N交于，过P的母线与上底交于，与下底交于，则， 所以 设，则， 所以， 因为 （当且仅当，即时，等号成立）， 又（当且仅当时等号成立）. 所以， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期教学质量检测题 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在以下的人数为（ ） A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 2. 如图，的斜二测画法的直观图为等腰直角，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面 D. 若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线 4. 已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，D､E分别在边､上，设，则（ ） A. B. C. D. x与y的大小与θ取值有关 7. 如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数z对应的点位于复平面的第一象限 10. 正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若过点的截面与平面平行，则截面多边形的周长为 D. 若点在平面内的投影为点，则点的轨迹为圆弧 11. 设，若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 已知向量若平行于，则实数__________. 13. 在中，角A、B、C满足其外接圆半径为1，则_____. 14. 正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，分别为边､上的动点. （1）若，求的值； （2）若在方向上的投影向量为，求的最小值. 16. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知. （1）若B为锐角，试判断的形状； （2）若B为钝角， （i）D在上，且，求角C； （ii）求的最大值. 17. 如图，正方体的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求异面直线与AC所成角的大小； （2）证明：平面 18. 已知 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，，求边上的高的取值范围. 19. 如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱的母线，为下底面圆O的直径，D为上的动点（异于B，C）. （1）若点M为的中点，证明：点M为三棱锥的外接球的球心； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值； （3）若P为圆柱侧面上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $